Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 46
Текст из файла (страница 46)
240 где а — внешняя нормаль относительно /Л б д Э д Заметим, что — = —, — —, — соответственно в (9.11), (932), (9.13), а бу' бу'бх причем в (9.12) и (9.13) производные понимаются как нижние пределы разностных отношений. Доказательство леммы см. в задаче 2; далее потребуется только часть (1) . В дальнейшем используется следующий результат типа теоремы Фрагмена— Линделефа. Л е м м а 9.9. Предположим, что /.
й > О, если х > О, 0 < у < 1, ф~'М, если х>0,0<у< 1 (М>0), д(х, О) < О, и(х, 1) < О, если х > О. Пе м ма 9.11.Если Л> 29,той(0) <' (и,следовательно, й< 1). Д о к а з а т е л ь с т в о, Предположим, что lс(0) . Рассмотрим функции и„(х,у) и(х+ л,у) (л = 1, 2,...). Они удовлетворяют условиям !.и„= 0 , в (х>1 — и,О<у(1), !'Уи„!<С1 и„(х, 0) = О, если х» —.л, 1 ди„ и„=Д, — — >Л, если у = 1,х> — л; у ду здесь использовано (9.11).
Поэтому для подпоследовательности имеем: и„-+о равномерно в компактных подмножествах (О < у'<1) и Ап=О в (0<у<1), п (х,О) = О, если — ( х < д с=Я, — — >Л,если — <х<,у= !. 'у ду По следствию 9.! 0 с ю (',!уз, и поэтому 1 дс — — = 20. у ду Таким образом, 2 Д > Л; приходим к противоречию.
Завершение доказательства теоремы 9З. Мы уже знаем, что 0 <й < 1 и х(у), если у 4 й. Но тогда свободная граница удовлетворяет условию пологости иэ 4 4 для всех значений х = х (у) таких, что х > хе, причем хе достаточно большое. Следовательно, для х >хе свободная граница может быть 1 записана в виде у =т(х) с — ее <т (х) <О, где ее — произвольное малое положи. тельное число, при условии, что хе достаточно большое. Таким образом, (9.9) имеет место. В силу теоремы 1.4 из гл.
2 !т"(х)! <С, если х:х„ (9.14) !Пи!+!Вти~ <С в (и>0) Г! (х>х,), Напомним, что и (2 на у =т(х). (9.15) 1 ди — — =Л у ди Для любой последовательности х„рассмотрим функции и„(х, у) = и(х + л, у) . Тогда для подпоследовательности имеем: и„- с равномерно в компактных подмно. жествах (0 < у < 1), и в силу (9.9), (9.14), (9.15) и эллиптических оценок Ьс=О в (О(у<л), с(х, 0) = О, если — < х < 1 дс о=Я, — — =Л, если — (х <',у=я. 'у ду 241 1б. А. Фридман Используя следствие 9.10, имеем о =!'„7у'/Ьз, и поэтому 2(47й~ =Л. Таким образом, й = йл и доказательство теоремы 9.3 закончено. Л е м м а 9.12.
Есаи Л 4 2(2, то х л „-ь До к азате л ьот в о. Предюложим, чтохл „-+х <' для Л =Л„4 212. Тогда для подпоследовательности имеем: ил„д,-+о равномерно в компактных подмножествах 12 и о есть минимизирующая функция, соответствующая Л = 212. По лемме 8.4 о ( й в й и позтому согласно теореме 6.1 (адаптироваиной к ь) 1 до о = (Е, — — = 2(2 на у = 1, х > х . а. Ввиду единственности решения задачи Коши о(х,у) =(еуз всюду в й, что невозможно. Задачи 1. Доказать (9.4) .
(У к а з анне.См.лемму 3.6.! 2. Доказать лемму 9.8. 1У к а з а н и е. Используйте метод доказательства теоремы 2.5.) з 10. Монотонность и единственносп Покажем,что ул.а (и~) +Зл,н (из) = ул,и(оь) +Зл,н(оз) . (!О.1) Действительно, если мы распишем обе части, то увидим, что достаточно доказать, чтс для любого 0 ( 72 (» 1 / — (!'Чи,(з +!с7и !з)= па" (и<я) у 1 )' — (! 17о,!3!+ !Ч и !2), Оно ( <я) у (! 0.2) 7 ди, ' ди, Л Л 17 — .— )= Пт„,ло)о(ч<л) ~, ду ' Эу / г до, Воз ') =Л ) — +— <п„ло1о(- л) Л ау ау,7' (10.3) 242 С настоящего момента полагаем а = д (см.
рис. 14) . Те ор е ма 10.1. Задача Зл н имеет единственное решение ил „, удовлстворяюи!ее (9.5) . Доказательство. Предположим,что йл „вЂ” другое решение,н положим и~ =ил,я из =йл,и Введем функции о, = тш(и,, из) = и, д из, оз = пих(иыиз) =и, ч' из. Х У( (и, <0) + 1(иг < |2)) !яи!О) г| (х < я) Х У(2»,<»2)+1», »2)) (10.4) (а„то)о(.
<и) Теперь (10.2) и (10.4) очевидны, а (10.3) сводится к очевидному соотношению: и я Х (и, (х, 1) + и,(х, 1)) |»х = Х (о, (х, 1) + оа(х, 1)) с)х. Так како; ~ Ки, то Уь „(и) ) <Уь „(о| ), так что в силу (10.1) иь.и(иг) =ил,и("г) ° (! 05) Покажем, что если О < и | (Х ) = иг (Х ) < Д, то (10.6) либо и, >из, либэ из >и, в окрестности Х Действительно, пусть »г — круг с центром Хс такой, что 0 < и; < Д в»г для | = 1, 2, и пусть ю определяется условиями Ею=О в и|=и, вне И Если (10.6) не выполняется в !', то ог не является решением уравнения Ро, = 0 в»ги Х < Х !з !р !а У У г у либо и| Э иа В Йи, либо ит >и, в Йи.
(10.7) Рассуждения, приведенные выше, не дают единственности, но онн могут быть применены к соплам общего вида (нс только к тем, которые удовлетворяют (8.1)). Далее мы используем несколько модифицированные рассуждения для доказательст- ва единственности, когда сонно есть у-график. Если и,, и, — два решения, продолжим и, полагая и = Д вправо от |гг и и = 0 влево отх = --И. Для е > 0 определим и | (х, у ) = и | (х — е, у), г г с, = и, г'г из, с, = и г '4 и, и обозначим Уь функционал Уь и, соответствующий йи, Р', полученным из гги, А,и Р прн отображении х — х + е. Покажем, что ')ь, и(и|)+ гь, и(иг) )ь, и(о|) + )ь, и(оа) (10.8) Следовательно, 'гь и(иг) < ил, и(с| ) = ил, и(и| ); пришли к противоречию, так как юЕК„.
Из (106) следует, что если и, Рйг, то соотношение 0 < и|(Х ) = иг(Х ) < Д не может выполняться в произвольной точке Хе б ьт, иначе по принципу максимума и, = и, в окрестности Хе и, в силу единственности продолжения, также в й„; здесь используется (следующий из (95)) факт, что множества (О <и|<»2) связны. Заключаем что Доказательство фактически такое же, как доказательство (10.1) и зависит от выбора а = и. Отметим сначала, что и', минимизирует функционал У,', и и, принадлежит л,« соответствующему классу допустимых функций, иг ЕК«.
Следовательно, Ул, «(иг) = Ул, «(иь) Ул.«(иг) = Ул, «(сг) (10.9) Полагая е -~ О, получаем и, < и,. Аналогично показывается, что иг > и, . Те о рема 10.2 Если Л, <Лг, го 1 1 (Д вЂ” ил,, «) > — (1«з — ил„, «). 1 Лг (10.10) До к аз а тел ь ство. Положим 1 и;.= — ((У- ил««) г и, =иг~У и,, сг =и, А и„ Улг «(иль «) = Л,'.У(и,).
Тогда, как и в доказательстве (1О.1), У(ию) + У(иг) = У(с~) + У(ег). (10,11) Так как 0 < Л; иг ~ (У. то 0 < и; ь Д/Л«так что (У вЂ” Лги; принадлежит К«. Следовательно, Ул««(или «) < Ул. «((2 — Лг о;) = Л,. У(и;) низ (10.11) выводим, что У(иг) = У(иг). Теперь, как и ранее, можно показать, что либо и, > и,, либо и. > и, всюду в й«. Поскольку (по теореме 9.3) и, > и, в некоторых точках (х, у) таких, что х -+ получасм (10.10) . С л е д с т в и е 10.3. Еощ 21У < Л, < Лг, то "л, .
«( У) > 'ел,, «(У) (10.12) если 1гл < у <1, йл (У)> — а. До к а э атал ьст во. По теореме 102 гел,, «(У) > "л,, «(У). Для доказательства строгого неравенства предположим, что хо = йл,, «(уе) = 1ел,, «(уе) > — а. Тогда по принципу строгого максимума (используя задачу 1) имеем (хе Уо). Действуя, как и выше, заключаем, что либо и,' > иг всюду, либо и; ч, иг всюду. Однако, так как и,' < иг в некоторых точках из гт«, то иг (х — е, У) < иг(х,у) Так как (хо, уо) лежит на обеих свободных границах, то 1 1 д — — — илло = 1 в (хо, уо) (г= 1 2): Л; у ди приходим к противоречию.
Л е м м а 10.4. Если Х„-+ Х, Л > 2 Д, то ил, о -+ ил,о слабо в Н1ос и л.в.; ыт л о Лл „(у)- !гл и(у) дяя катгдого у Е(йл, 1]. (10.13) (1034) До к а затея ь от в о. Применяя доказательство леммы 3.6 для любой подпоследовательности ил „, такой, что о,о ил„,о и слабо в Н~оо ил.в., г,г имеем: иг есть функция, минимизирующая 1л а.~Ввиду единственности получаем утверждение (!О.!3). Из леммы 3.6с) вытекает (!0.14) лри у < 1. Дпя доказательства (10.14) при у = 1 предположим противное.
Тогда для подпоследовательности имеем: ггло о(1) 1гл,о(!)+ р, РФО. Если ]! < О, то по теореме 6.! дил, о(х, 1 — 0) — = Л, у ду если !ел „(1) + 11 < х < Фл „(1), так что ввиду единственности решения задачи Коши ил, = !аут ° где Д = 2Х; пришли к цротнворсчию.
Если 11 > 0 и 1сл „(1) <О, то можно опять применить доказательство теоремы 6.1 и получим дил а(х, 1+0) — = О, у ду хл о= ггл (1)Е(0, ), если Л > 2 Д, Л вЂ” 2 Д достаточно мало, и ло следствию 8.7 хл о ( О, если Х > Л, где Х не зависит от а, и. О и редел е ни е 10.1: ло =(Л, Х>20, хл „>0), ~,, =-. ( Л; Л > 2 Д, хл „< О), Х„= ацр(Х; ХЕ Е'„).
Как отмечено выше, 2(г < Ло ( Х, Х не зависит от д. (1 0.15) 245 если « л „(1) < х < О, что опять же приводит к противоречию. Если 11 > О н игл „(! ) > > О, то приходим к противоречию с леммой 5.2 (см. замечание 5.3). По лемме 9.11 Из следствия 10.3 имеем г'н =(Л; 2Я<Л<Лн», 2'„=( Л; Лн <Л«). (10.16) Выберем Л = Л/2(г в лемме 9.1 и обозначим С* соответствующую константу С. Если ЛЕ го', то Л < Л, хл и > О, и лемма 9.1 показывает, что свободная границатогда должна лежать в ( х > — С'». Полагая ао =!+С', д>ао, (10.17) имеем следуяяцее утверждение.
Л е м м а ! О 5. Если Л е Ен', то свободная граница яеясит в ( х > 1 — ао) . Таким образом, свободная граница не пересекает ЭП. Завершим этот параграф оценкой градиента вблизи начальной точки свободной границы. Л е м ма 10.6. Пусть Хл „=(хл „, 1). Тогда для некоторого В > 0 ~ 4»ил,н(Х)~ <С в й Г1 Вя(Хл „), (10.18) где С вЂ” константа, не зависящая от д. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = 1Х вЂ” Хл „!.
Достаточно установить оценку ! 'о и(Х)1 < С в й г! ( 1) < т < 20» (1О.! 9) для достаточно малого д (с С, не зависящей от !)) . Положим ! и»(Х)= — и(Хл „+ !5Х) 1 5 в В=~Х; — <»Х» < —, Кл +~3Хей 2 2 ' ! и пусть С=(Х 1<»Х»<2 Хл,я+ ОХАЙ) Тогда 1 ди~ и» = Д», — — = Л на свободной границе 'у й и 0<и»<(г», где (г» = Дф.
Можно применить теперь доказательство леммы об ограниченности градиента (лемма 5.1 и замечание 5.2) к (2» — и» с В, С вместо Р, й соответственно. Выводим, что! ч и» ~ <С в В, и получаем (10.19). Задача 1. Пусть ьоо — подобласть й, ограниченная ( у = 0), кривой Фо в ( у > 0» и прямолинейнымотрезкомх =хо (возможно,что хо =+ ). Пусть Еи>0, и<М в йо, и < 0 на ( у = 0 ) и на Дго. Тогда и < 0 в йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
