Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Применить принцип максимума к иг/у.] й 14. Плоские симметричные струйные течения Задача о плоской симметричной струе есть двумерный аналог об осесимметричной струе. В условиях (8.2) — (8А2) сделаемследуюшне изменения. Положим д'и д'и Ли=Ли= — +— дхг ду' и заменим (8.11) на условие ди — = Л на Ге.
дг Тво ре ма 14.1. Если Лг удовлетворяет (8.1), го существует решение задачи о плоской симметричной сгруе. Т е о р е м а 14.2. Решение единственно, если ЛГ удовлетворяет условию (12.2). Доказательства аналогичны доказательству теорем 8.1 и 12.2. Заметим, что в данном случае и(х,у) - Лу при х— в множестве ( и ( Ц ] и "асимптотическаи высота" струн есть й = 1е/Л. Задачи 1. Доказать, что число ~очек перегиба свободной границы не превосходит ЧИСЛа ТОЧЕК ПЕрЕГИба гЧ ПЛЮС ВОЗМОЖНОГО ПЕрЕГИба ВтОЧКЕ ОтСОЕдИНЕНИя.
ЗДЕСЬ точка перегиба подразумевается как точка максимума или минимума угла й меж. ду касательной к кривой и осью х. 261 (У к а з а н и е; В = агс !й (и„/и ), !и и, = 1п ! !7и ! + !В, поэтому В не может принимать локальный экстремум в точке границы. Если В(А!) — локальный максимум для В, рассматриваемый на Г, изучите область (В <В(А )), связанную с Ао и проделайте то же самое для локального минимума.1 2.
Показать, что если Л! задано уравнением у = я(х), где я(х) монотонно убывает, то Г задается уравнением у = Г(х), где у'(х) монотонно убывает. (Указа ние. Используйте симметризацию по направлению у, при которой х+и и(х,у) < 0 х(г„) +и ниже п„(см. рис. 14).) 15. Асимметричные струйные течения В этом параграфе мы рассматриваем плоские течения, которые не обязательно симметричны. Сопла образовано двумя кривыми Л',, Л!т, которые удовлетворяют следуюшим условиям: Л;: Х=Х,(г)=(х!(г),у,(г)), 0<!< где хг(г), у!(т) — функции кусочно класса С ьа (0<а<1), х;(г) <х~(0), '7Хс(т а 0)ФО.
каждая прямая х = сопят = с либо не пересекает Л!г, либо пересекает (15.1) в одной точке нли пересекает по одному отрезку, и уз < у „если (с, у~) е Л'д х,(0) =хз(0) =0 и открытый интервал Х,(0)Х,(0) не содержит точек из Л!, !эата, х~(т)-ь — ', если г- "'. О п р е д е л е н и е !5.!. Задача обасиммегричной струе состоит в отыскании функции и, непересекаюшихся кривых Гы Гз класса С', положительного числа Л и вектора е = (е,, ез ), где е, ) О, таких, что Г; начинается в Х;(О), Г;ОФ! класса С' в окрестности Х; (О), (15.2) Г! задана уравнением у,=!Ях), 0<х < тЛи = 0 в области, занятой жидкостью, которая ограничена Л', !Э Г ~ и Мэ !.! Гз., и равномерно непрерывно дифференцируема в пересечении окрестности (15.3) Г; гэ(Х(0)) с областью, занятой жидкостью; (15.4) ! ди — = Л на Г,; ди 1 на Л!, О Г,, и = -1 на Л;!3Г,; (15.5) (15.6) 262 Таким образом, Л~ есть х-график и Л', лежит выше Л'т.
Возьмем для простоты А = Х, (0) = (О, 1), В = Хт (0) = (О, -1). 71(х) — )з(х) -+ Н х/1 + Й (с! — сопзг), 7) (х) ~ О, если хгде !а о = ез/е,, (15.7) Из зтих условий следует, что Х4 = 2, (!5.8) струи. Определим функции р, Ф следующим образом: Ью=О вВ, р(х,у) = 1, если х <О, (х,у) лежитвыше Лг,, у(х, у) = — 1, если х < О, (х, у) лежит ниже Л'з, ~р(х,у) = — 1, если (х, у) ЕАВ щй~; (15.9) ЛФ=О в В, Ф(х, у) = 1, если х < О, (х, у) лежит выше Лг,, Ф(х,у)= — 1, если х<0. (х,у) лежитниже Лгы Ф(х,у) =1„если (х,у)ЕАВ ОЯ~~.
(15.10) Мы требуем, чтобы обе функции были ограничены, что единственным образом определяет функции (по теореме Фрагмена — Линделефа) . Отметим, что — 1<р<Ф<1 вВ, р субгармоническая в Й, Ф супергармоническая в ьс. По принципу максимума р„> О, Ф„> 0 в Ри тем самым для любого и > 0 сущест- вует функция йа (у) класса С', удовлетворяющая условиям й„(у) возрастает по у, р( — и,у) <йя(у) <Ф( — и, у) тле д — асимптотическая ширина струи. Заметим, что, вообще говоря, функция тока может быть нзита такой, что и = а Д на Г!, для простоты, однако, мы нормализуем ее, положив 0 = 1. Т е о р е м а 15.1. Для любого сопла ЛГ, удовлетворяющего (15.1), существует решение (и, Г, й) задачи об асимметричной струе.
Этот результат справедлив также, если послепнее условие в (15.1) опустить; см. задачу 1 из й 17. Доказательство теоремы 15.1 начинаетси в зпом параграфе и кончается в й 17. Из теоремы 15.1 мы получим следующий результат для симметричного сопла. Т е о р е м а 15.2. Если Л', удовлетворяет (15.1) и лежит выше оси х, то существует решение задачи о плоской симметричной струе с соплом ЛяЖ,. Здесь опять же последнее условие в (! 5.1) можно опустить.
До к аз а тел ьста о см. в задаче 2 из й 17. Для вариационной постановки обозначим область, ограниченную Л',, Фз и В отрезком —, а Гт — область ВЯЗАВ !.! В~., где Н~~ = ( (х, у); х > 0); А — раструб АВ Введем классы допустимых функций ( ЕН1,2(из) Ч ~ «ф» Ка (иЕК, и( — и,у)=па(у)» и положим ье„= ье тт ( х > — и». Для любого единичного вектора е = (е,, ет) обозначим е вектор, полученный из е вращением против часовой стрелки на угол я/2. Для любых Л > О, и > О и единичного вектора е = (е,, ет ) такого, что е, > О, введем функционал /л е и(и) ./ 1ети Ле /(до~ < ~»! Вх ВУ (15.11) ~» и рассмотрим следующую задачу.
3 апач а /л е „, Найти функцию и =ил,е и ЕК„такую, что "тл,е,и(и) ш»п /л,е,а(и) енкр (15.12) 3 а м е ч а н и е 15.1. Если в определении К положим р — = — 1, ф ы 1 и заменим /П„1< ь» в (15.11) на /П„1«,) о(„» о», то возникнет трудность в доказательстве леммы 17.1. Если 5 — бесконечная полоса в направлении е с шириной 2/Л и й(Х)= — 1+д»ат(Х, д,Я) для Хе В, где д, Я вЂ” нижняя из двух прямых, ограничивающих Я, то можно определить функцию ио в К„, которая совпадает с й в Я О ( х > 1», такую, что /л,е,и(ио) < ~.
Следовательно, существует решение задачи Ул е „. С цомошью перестановки в воз. растаюшем порядке по у можно построить решение и, для которого и О (см. лемму 9.2); мы будем иметь дело, начиная с зтого момента, только с такими решениями. (В з 17 будет показано, что задача Ул „имеет единственное такое решение.) Отметим также (см.
задачу 1), что клич„гармоническая в /Л (15.13) Определим и(Х) = Вщ Т" и, «-о в,(х» (15.14) если предел существует, и положим и = О на множестве Т (меры нуль), где предел не существует; ниже будет показано, что Т вЂ” пустое множество. Л е м м а 15.3. Существует положительная константа с (не зависящая от Л, и) такая, что если В„(Хо) С леа, то 1 — У (1+и) > Лс (15.15) влечет 1+и>0 в В„(Х ). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим класс К функций й Е Н'з (В„(Хо)), удовлетворяющих условиям й = и на дВ„(Хо), й > и п.в. Пусть й — решение вариа- пнонного неравенства ш!и У >7Ь!з = ) >Ь!2 ЬЕК, ь ц к в,!х') в„!хо> Тогда Ь супергармоническая (возьмем Ь = Ь + е(, где ! Е С„(В, (Хс)), ь > О) и Ь < Ф (иначе супергармоническая функции ппп (Ь. Ф) будет давать меньшее значение для функционала).
Очевидно также, что Ь ~ !е и Ь = и п.в., где и = 1. Продолжая Ь, равной и вне В„(Хе), получим допустимую функцию. Отсюда следует, что >~7и — Ье У( „,<,)>з < !' >ч"Ь вЂ” Хе~!( „, ,)>з в !х') в„<х'> и, таким образом, ! т>(Ь вЂ” и)>з < ( >т)(!+и) >з в„!х' > в„(ха) (15.1б) У !7(!+Ь)!3 < Ьз >' Т ), в„!х' > (~ '~" поскольку Ь ) — ! в В„(Хс) . Теперь для оценки левой части (15,1б) можно действовать так же, как в лемме 3.1, используя тот факт, что Ь + 1 супергармоннческая, и, таким образом.
получим, что в„!х ) (""=') ) Г .=О. Из (15.16) мы затем выводим, что н = Ь п.в. в В„(Хе). Так как Ь супергармоническая, то Ь ( Ь(Х) )Гх Е В„(Х ), в,!х> следовательно, (ввиду определения (15.14)), то же верно для и, и и = Ь всюду в В„(Хе) . В частности, и ) — 1 в В„(Хе), откуда получаем утверждение. Покажем, что (и = 1) и ( и = — 1) — замкнутые подмножества й„. (15.17) Действительно, если Х" -+ Хе, и(Х") = -1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
