Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Д д к а з а т е л ь с т в о. Предполомснм, что Г, = ф. Тогда и < 1 в Ив~!1 и по лемме 16.4 существуег последовательность Х„= (х„, у„) в Г, такая, что хе КС 2Ь9 уп -~+ . Но тогда по лемме 16.2 е = (О,!). что противоречит сделанному предположению относительно е. Л е м ма 16.6. Если е= (О, -1), то Г, = ф. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Гз зь ф, то но леммам 16.! и 16.2 для любой последовательности Х„= (х„, у„) Е Г, такой, что ! Х„!, мы должны иметь х„ у„. — ', — — — О.
! уп! Действительно, иначе существует последовательность точек У„на Г„с наклоном не меньше а (а — некоторое отрицательное конечное число) такая, что ! У„! - . Но это противоречит леммам 16.1 и 16.2. Отсюда следует, что Гз лежит ниже любой прямой у = ах + !5 с произвольным а, — < а < О, н подходящим !3. Легко видеть, что прямая! такая, как в лемме 16.3, может быть построена; получили противоречие с леммой 16.3. Л е м м а 16.7. Если е Ф а(0.
1), то Г, связна и (, (х) имеет конечные значения для всех 0<х <' . Д о к а з ат ел ь ство. По лемме!6.5 Г, непусто. Рассмотрим максимальный интервал (а < х < Ь), на котором Г,(х) имеет конечные значения. Если Ь (, то Г, не может иметь конечный предел при х 1 Ь, так как Г, — гладкая кривая. Следовательно, !Г1(х) ! -+ ', если х !'Ь; это означает (по лемме 16.2), что е вертикально.
Таким образом, мы доказали, что Ь = . Доказательство, что а = О, аналогично. Л е м м а 16.8. Если е = (О, — 1). то Г, связна, (',(х) конечна на некотором интервале(0<х< Ь) (Ь <») и)'~(х) - —,еслих 1 Ь. До к а з а т е л ь с т в о. По лемме 16.5 Г, Фф. Для максимального интервала (с < х ( д), на которомГ,(х) конечна. согласно лемме 16.2 имеем Г,(х) -+ —, если х 1 с! при условии, что д< Г, (х) -+ —, если х ь с при условии, что с > О. Кроме того, так как Г, = ф (по лемме 16.6), в силу леммы 15.5 д < ~. Если с > О, то приходим к противоречию с леммой 5.2.
в области (с ( х < А -~ < у < — уе), где уе достаточно большое. Заключаем, что с = О, и доказательство закончено. Итак, справедлива Т е о р е м а 16.9. (1) Если вектор е невергинальный, то Г,, Гз непусты и представимы уравнениями у = Ях), 0<х( где Ях) непрерывны, ез !",(х) - — при х е, ЯО) =— !!лт Ях) сушествует х 10 и Л (0) — ) з (0) > с/Л > О (с > 0). (й)Если е= (О, 1), то Г, = ф, Гз Ффи Гт представимо ввиде у- ут(х), 0<х<Ьз (Ьт < ), 270 где Тз(х) непрерывна, УЗ(Х) е +ее, УЗ(Х) — Ьеь При Х ! Ьг Уз(0) ге Иш У;(х) существует. х!О (гП) Если е= (О, — 1),то Гз =!Ь, Г, Фф и Г, представимоуравнением у=Т!(Х), О« Ь, (Ь,< ), где /'!(Х) непрерывна, У!(Х) — —, У"!(Х) — — при х )Ь, У!(0) — = 1пн Уе(х) существует.
хье Используя теорему 1ей из гл. 2, мы, кроме того, можем вывести, что в случае (1) ! с! !Ях) < С (1<х< ) с!х ' для любого У Э 2. Теоремы о гладкой стыковке из 5 1! также справедливмв рас- сматриваемом случае с теми же доказательствами. з 17. Монотонность, непрерывность и сушествонанне для задачи об асимметричной струе Л е м м а ! 7З. Пусть е = (е!„е! ), е = (е„ез ) — единичные векторы, е, 20 О, е! > О, такие, что е получен из е вращением против часовой стрелки на неотрицательный угол, меньший я, Тогда ил,е,х:в иЛ,е,а.
(17.1) Здесь и, = ил „и и, = и - — минимизирующие функции в задачах Ул е а и е и Л,е,а У вЂ” соответственно. Л,е,а Доказательство. Пусть оз = и! Ч из, о! =и, Ли,. Покажем, что Ул е а(из) +Ул (из) Ул,е,а(и!) +Ул е а(оз). Действительно, если е = е, то доказательство такое же, как в 5 1О.
Предположим, что е Ф е. Обозначим !з, 1з прямые в направлениях ел, е соозветственно, проходящие через точку Хь = (хе, уе); Хе берется на луче, исходя!цем из начала координат в направлении е + е. Обозначим П; полуплоскость, ограниченную 1;, содержащую начало координат, и положим я — изПП ПП 50 — я2з с По теореме 16.9 можем выбрать ! Хе ! достаточно большим, так что множеетва ()и!1<1)ГЗЯ0(1 из'1<1)!З50 не пересекаются и 11 и, ~ < 1 ) О Я~ ограничено и на хо>штся на 271 положительном расстоянии от 1г, тля (1, 1) = (1, 2) нли (1„1) = (2, 1) . Пусть Яи = (Вг.гЯ) О ( х ) — и ) .
Тогда можно записать: 1л,е и (и~)= Х + 1 = тг(гт)+ 7г(ги). яи Заметив, что и, = и,, иг = иг в Я~, остается доказать (17.2) дпя Уг. Отметим, что для и =и;,иг .1,(ге) = Х ([ Чгч!г + Лгу(! „~ < г) ) яи ди — 2 ! е ("') + !о(гч) я„а! где! имеет то же направление, что 1, (х.е. е,если ж =и~ нли ге = о г),либо ! имеет направление 1г (тя. ег, если и = иг или гч = ог) Так как (17.2) имеет место пгхя функционала!, то осхается доказахь, что (17.3) Записывая аде! аих ) — =([ог), )' — ' = ([их[, яи д!! яи д1( где правые части в каждом равенстве суть одномерные интегралы, н замечая, что [пг[ = [иг[, так как ох = их в тех точках Я„, в которых оценивается [... [,получаем (17,3). Доказав (17.2), мы можем завершить доказательство леммы !7,1 теми же рассуждениями, что использованы в доказательстве теоремы 10.1.
Л е м м а 17.2 Существует единственное решение ил и задачи Ул е „., удовлетво!нгющее условию аи ~ О. ау Д о к а з а т е л ь с т в о. Если и „из — два решения, то положим и', (х, у) = и, (х, у — е), ог =иг Лиг, от=нег Чиг, Мы можем установить аналог (10.8) для ел „, „таким же доказательством и затем дейсгвовать, как в доказательстве теоремы 10.1 . Обозначим Г 'л, свободные границы для ил, и, таким образом, л,е,я 1 л е ьл у 7 л е и(х) 1 л,е.и ~ ! л.е,и. Л е м м а 17.3. Если е = (1, О), то существует положительная константа с та- кая, что для всех й, достаточно малых (скажем, Х ( ле) с с Хл е и(0) > его,еле(0) < (17.4) еде си Ле не зависят от и Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из теоремы 16В имеем / ь,е,н(0) — / ь,е,л(0) > Л позтому если утверждение неверно, скажем, для /а, то для любого малого е > 0 нижняя свободная граница выходит из х = О, у Э вЂ” е/Л, а верхняя свободная грани- ца — из х= О,у>2е/Л.Пусть е 4е б' ~ (х,у); — <ха +уз < —, х>0 л л' б б'Л (и= — 1) . Тогда часть деб границы дб состоит из дуг нижней свободной границы, а остальная часть д, б границы дб — из дуг окружностей д б' и Ьтрезка е 2Е) Л Л!' х=О, — <у<— Ввиду леммы об ограниченности градиента (примененной к и/Л) имеем тогда !0и!'аСЛ в б, 2 = и(0, у ) — и(Х" ) < /' ! 1!и ! < СЛ вЂ” = Се, У Л что невозможно при достаточно мытом е.
Л е м м а 17.4. Если вектор е невертикальный, то либо 1 </ ь,е и (0) </ й е н (0) < 1, (17.5) пнп ( ! — /'ьа „(0), г ( е „(0) + 1 ) <— Л (17.6) для всех достаточно больших Л; С вЂ” константа, не зависяиагя от е, И. Доказательство. Пусть ньен, 1 =1 ь еи. Так как 1 2 — (! +и)<— Э ве(х'1 г то ввиду леммы о невырожденностн имеем: если Хе Е Гз, то Ве!ь (Хе) должен пересекать (и = 1) (иначе ! + и = 0 в окрестности Х'); здесьс положительно и не зависит от И, е. Аналогично, если Хе Е Г', то Ве/ь(Хе) пересекает (и = — 1) .
Следовательно, если утверждение леммы неверно, то Ве1ь(Аа) пересекает Г', скажем, в Х'; В о(А,) пересекает Г', скажем, в Х', 18. А. Фридман ггз где Сне зависит от Л. Возьмем точку (О, у ) к дб, т.е. е/Л < у < 2е/Л, и соединим ее с точкой Хе на д еб дугой окружности у, лежащей в б. Тогда где Аг — начальная точка Г'. Но зто приводит к ситуации, противоречащей лемме об ограниченности градиента. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м а 15.! . Теперь мы имеем все необходи- мое для завершения доказательства теоремы 15.1. Будем говорить, что Л принадле- жит множеству Ел, если существует иевертнкальный вектор е такой, что (л', „(О) >1, (л', „(О) < — 1. Пусть Л„= зпр(Л; Л Е Е„) .
По лемме 17З Е„непусто и содержит все Л, доста- точно малые. По лемме 17.4 Л„< С для некоторой положительной константы С, не зависящей от д. Используя лемму 17.2, мы можем установить, так жс как в лемме 10.4. что ил, „непрерывно зависит от Л,д, е.
Более точно, если Л„-е Л, д„-ел, е„ее, (17.7) то нл„,е„,и» нл.е,я слабо в Н~ое и пв. 1,з Хл (х) 7'л „(х) длявсех х>0. Если е вертикальный, скажем, е = (О, 1), то (17,8) для 1 = 1 поннмаетсяв смысле, чтоХл е е + Теперь йусть Л» Е Ен, Л„1 Л„и возьмем е„так, что 7'л„е «(0) < — 1, Хл„,е„,„(0) >1, е„е„. По непрерывности имеем Улюел н(О) > ! ° У ля,ею л(0) < — 1 ° (17.9) Покажем, что (17.10) конечно. Действительно, предположим для примеюбого е = (е,, ез) такого, что е1 > О, имеем если х > О.
(17.1 1) Поскольку 7'л' р „(0) > 1 (ввиду (!7.9), (1781)), мы можем взять Л > Л„с ма- ле,и яымЛ вЂ” Л,так что и Г', ч „(О) < — 1, 7", и „(О) > 1 (опять же ввиду непрерывности). Таким образом, ЛЕ Е„; пришли к противоречию, пос~оль~у Л>Л„.
Дгказав (17.10), можно легко показать, что должны выполняться равенства в (17.9). Действительно, предположим, например, что 7(„,л „(О)> !. Пусть е = (ен ез) (где е, > О) — вектор, полученный вращением е по часовой стрелке. Если ! е — е! мало, то по непрерьвности 7,', (О) >1. 274 е„невертикальный и, таким образом, 7'л е л(0) е,еюи ра, что е = (О, — 1) . Тогда для л алые ее(х)> УЛ е ч(х) В самом депе, неравенство гое неравенство выводится так Теперь выберем ! е — ее ! Л -,„(о)< 2. "> " следует из монотонности (лемма !7.!),а строже, как в доказательствах следствий 10.3 и 11.5.
достаточно малым, так что по непрерывности Ввиду строгой монотонности (см. (17.11) ) имеем также 7', р„(О)<-1. Но тогда, как и выше Л б Х„, если Л) Л„и Л вЂ” Л„достаточно мало; пришли к противоречию. Мы завершили доказательство непрерывной стыковки для иь, л. Как и в юаи и' а 11 можно установить гладкую стыковку в точках А и В. Для завершения доказательства возьмем последовательность и = и„- » и положим Лч Лл» ° е» ела ° Тогда лля подпоследовательности имеем Л„- Л, е„-+е и нь „,,„„-~л слаб~ в Н~'„, Мы можем теперь доказать, что имеет место непрерывная стыковка цля и (венцу тех же аргументов, что были использованы в доказательстве (17.8) ) . Отсюда также следует, что е невертнкальньй. Доказательство того, что и есть решение задачи о струе может быть получено известными рассужцениями (см.
3 12) . Задачи 1. Обобщить теорему 15.1 на случай, когда последнее условие в (15.1) опущено. [ У к а э а н и е. Аппроксимировать соило соплами, уцовлетворяющими (15.1) .] 2. Доказать теорему 15.2. [У к а з а н и е. Пусть Ж, — отражение Ж, относительно оси х. Ввиду единственности нх,е,я(» у) лх,г,л(х у) при условии, что е = (1, О) и И„( — у) = — й„(у). Выберите Л с гладкой стыковкой в А.
3. Обобщить результаты задач 1 — 4 из гл. 12 на асимметричный агучай, предполагая, что М, ОЛ~т лежит в секторе с раствором 0 е < я. [У к а з а н и е. Рассмотрите я (и, — из) +(Ссоз аВ уг и докажите, что С / я а ~Х~" [, бе С ! 'р(и~ — ит) ! < 1 1Х1а ' 4. Обозначим гч; отражение Ф~ относительно оси х и предположим, что Ф; лежит выше тую Доказать, что для любого решения (и, Г, Л, е) залачи о струе, полученного процедурой, описанной в этом параграфе, ет > О, если е = (е,, е, ). йсау Рис. !5 (У к а э а н и е.
Нусть и, = их е „, ео = (1,0). Тогда и'(х, у) = — и~ (х, — у) решает задачу Уь „дэя отраженного сопла М', обозначим эту задачу эЛ „ ,ею, я .еа,я. Тогда и' А и, принадлежит классу К„, а и' Ч и| — классу К„, соответствуюшсму Н". !!оказать (см. доказательство леммы 17.1), что и" д и, =и; (17.12) 11еизвестпыми параметрами являипся Л и значение а функции и на стенке х = = а (- 1 < О < 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
