Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 55
Текст из файла (страница 55)
'~ 2(а ь 2) )г/2 ! ~ / - ~!оо(Х)~ дХ г ( Взг(А) !Х вЂ” А ! 287 Разделив на И и устремив И к нулю, приходим к (19.2). Оценка и (Х) дая всех Х следует иэ неравенства Харлана (см. задачу 1) . Л е м м а 19.2. Если ао ) 2я!3, то для любого 1е ) О существует достаточно малое Х > О такое, что Так как р(х) < О, если О < х < а, мы может выбрать ! настолько коротким, что точек свободной границы вьшю А В! не будет; хаким образом, ио ( (е, Еи = О в 1)'. По принципу максимума тогда и<Я вЂ” иовП'. (19.3) По лемме 3.1 н замечанию 2.1 имеем: если существует точка свободной границы в В 1з (Хо) Лдя некоторсй Хо Е 1 вблизи А(то = 1Хо — А! О < е < 1) (19.4) шах ъ/Π— у < вот 1х„! У. ((3 — «) < С авот (х,) о о ' ~ во е, 1з(0 ( Сего э!его, если а = ао; ( Сего ч/то, если а ) ао; (195) здесь С вЂ” константа и В„(1) — т-окресхносхь 1.
Рассмотрим сначала случай, *огне а < т и гармоническая функция в 1а' = 11' О ( у < 6 ) кая, что хоо (г на осн у, юо = О всюду на Жг. !У вЂ” у-график вблизи А. Пусть но†(для некоторого малого 6 ) 0) та- Тогда ио„< О, хак что 1 Ехоо = хеох Э' О. х Таким образом, по принципу максимума ю) юо И, О„(а)<О. До к а затея ь от в о. Если утверждение неверно, то ввиду непрерывности свободная граница у = р (х) для ио = ио д „начинается в А (по лемме 183 а (х) < < О, если О < х ( а) . Покажем, что хогда придем к противоречию.
Пусть 1 — охрезок прямой, начинающийся в А и содержащийся в П'„так, что не существует точек свободной границы, сходящихся к А и лежащих выше 1. Обозначим Ах ~яви Ьх) концы 1; пусть В! = (О, 1) . Обозначим П область, ограничен. ную Л1„, 1, А В! и прямыми у и + 1, х = О; пусхь а — угол между !'1„и 1 в А. Пусть и — решение задачи Ав = О в11', ю = (Š— ио на Ю*~т'(Т' = ! О А!В), ю =Онат'. Сравнивая, получаем и'о > согщ~з1п(лб/а) (со > 0), что дает нижнюю оценку дпя ю в Ва.
Если а > л или /У не является у-графиком, то пусть у" — дуга в В*, начинаю. щаяся в А и образующая угол а = ш1п(а, л) с у' в А. Пусп Р" — область, ограни- чейная у', у*' и ЬВя(А) дпя некоторого достаточно малого /1, так что Р" С Р'. Теперь мы можем повторить построение ио относительно В" и опять получим нижнюю оценку дпя иг.
Из зтих нилпщх оценок и (193) заключаем, что если го мало, то («г — ио) > с|его / (с1 > О), ав,„(х,) о о'Лвогйа(л позтому ввиду (19.5) Сг з/т,/~ > гоцу еащ а = а Сг /т > гош, если а > ао, усуи некоторой константы С. Поскольку ао > 2л/3, мы получаем противоречие в обоих случаях, при условии, что е достаточно мало, если а = ао, и при условии, по го достаточно мапо (е фиксировано, скажем е = 1/4), если а > ао.
(Отметим, что г/есть у-график вблизи А, саги ао ( л.) Такимобразом, (19А) не может быль выполнено. Но если мы выберем / с наклонам -Ю(х) й= 1пп — — — Ь (Ь >0), , а — х то тот факт, что (19,4) неверно дпя некоторого е > 0 и любого малого г, влечет '«о (х) 1пп ( /с — е, „—,а — х т.е. е ( Ь, что невозможно, если Ь достаточно мало (так как е не зависит от Ь). Зто противоречие завершает доказательство леммы.
Ле м ма 19.3. Если л/2 (ао < 2л/3, го существует е > 0 (зависящее огни гь но не зависящие ог р)такое, что сели «3 < е, го свободная граница для ио «2 иначинаегся в А; кроме гого, в малой окрестности А свободная граница лежит вьуще кривой у = — П(а — х) (Ь =- 2(л/ао — 1)), (19.6) где и — полояигельная константа, г.е. Фо, «2, и (х) >-Л(а — х), если а — е' < х < а (19.7) для некоторого малого е > О. Заметим. что 1 < Ь < 2 (Ь 2, если ао = л/2 и Ь 1 1, если ао 1 (2л/3)). Доказательство. Построимгладкуюкривую 'у: х = я(у) ( <У < ( 0), которая совпадает с (19.6) в некоторой окрестности А и убывает к а/2 при у 1 — . Достаточно показать следующее: если «2 достаточно мало, то дпя любого 0 < Л < 1 свободная граница для (19В) их «у „лежит выше у.
19. А. Фринами Для доказательства (19.8) введем область й„й„»(Ь(у) < х < а). Пусть с — решение задачи ЬО=Ов й„, 1 и1,1,н на бйн17 в = 0 на Т. Из леммы 19.4 (см. ниже) следует, что (19.8) выполнено для л = 1, если а < ел е достаточно мало. Ввиду непрерывности и монотонности ил, (2 и по )( отсюда следует, что если (19.8) неверно для некоторого 0 <» < 1, то существует наименьшее значение», 0 <» < 1, для которого (198) имеет место.
Свободная граница для ил О,. тогда лежит вьшю т и касается ее в некоторой — конечной точке Х = (л,у) (то, что Х— конечная точка есть следствие леммы 18.9 и определения т, а Х = А будет протн. воре вть тому факту, что непрерывная стыковка влечет гт1адкую. По принципу максимума имеем: а — ил,(2,н < ав в множестве ( ил (2 „< а) . Ввиду невырожценности 1 1 Сг — У вЂ”" < т (а — ил,(2,н) '~ .2 ас (19.9) Г дя Г(Л) Г дв,(Х) где с> 0 — константа и Г < т1п (Ге, ) А — Х ) ) (Г, мало, но фиксировано). Так как правая часть не больше Са/Г, мы видим, что если а.достаточно мало, то Х лежит в малой окрестности А.
(19.10) Теперь применим лемму 19.1 к и и выведем, что при Г ~ 0 правая часть (19.9) ограничена величиной /1 ) »((и/а ) — 1)16 са " < с.~ у ) т( мы здесь использовали тот факт, что Х лежит на кривой (19.6). Используя,то неравенство в (19.9), при Г -+ 0 получаем 1<Се— если а достаточно мало, скажем, а < е.
Если теперь выберем е достаточно малым, то придем к противоречию. Л е м м а 19.4. Существует константа с> 0 такая, что если ~ саул/» нри» > а, а< 32 (19.11) ( са»~~~ нри 0 < Л < а, то свободная граница дня ил,(2,н в(а(2 < х < а) никит выше прямой у = »/2. Доказательство.
Предположим, что Х (х, у) — точка свободной границы с а(г < х < а. Ввиду невырожденности а > ~ (а — ил (2 „) > солт шгл 4» —.У, (19.12) дв,(х) в,(х) если г < х/4 где се — положительная константа. Если у < Л/2, то мы получаем противоречие с (19.11) выбрав г =а/4, если Л >а и т = Л/4, если Л < а.
Л е м м а 195. Существуют положительные константы с, С такие, что 2 Л вЂ” у> =, — х (19.13) для калсдой точки свободной границы (х, у); в частности, если Д > Са'ч/Л + а, (19.14) то свободная граница для их !2 !, начинается ниже прямой у = О, т.е. 'Рх,!2 л (а) < О. (19.15) Доказательство. Предположим, что Х = (х, у) принадлежит свободной границе Г для их !2 „.
Обозначим Р(уе) полукруг; (х>0, хт +(у — уе)а <хт). Если уе > Л + х, то Р(у,) ! ! Г = ф. Поскольку Р(у) г~ Г непусто, то существует число у*Я (у, Л+х) такое, чтоР(у') т! Г = ф, ВР(у*) г'! Г Фф. Пусть Х = (х, у) — точка из дР(у*') с! Г. Рассмотрим решение о задачи 1ю = 0 в Р(у*), в(О,у) = 0 на ЗР(у') й (х = 0), о = Д на Ю(у') Г! (х > 0) . По принципу максимума о > ил, !2 и в Р(у') и (19.16) Для оценки правой части рассмотрим решение ж задачи Ьи = 0 в Р(у'), и =о на дР(у*). Легко видеть, что !ч„Р: 0 откуда 1 Аи = — — и <О.
х Таким образом, по принципу максимума !ч >и в Р(у') и (19.17) Введем полярные координаты (р, б) с началом в (О, у' + х) с б = 0 в направлении отрицательной осн у. Тогда гармоническая функция м~ — 2ДО/я принадлежит классу С ! д на С "(дР(у') Г! ( у > у') ) и поэтому принадлежит классу С' (Р(у') С! г! (у>у')) Следовательно, если х = 1, то 29! откуда ! Э вЂ” ) сД на ЭП(у')Ст(х>0) (с>О) Эи в точках, близких к (О, у' + х). Такое же неравенство верно вблизи (О, у' — х ). Наконец, это неравенство выполняется также (в этом можно убедвться, используя барьеры) на остальной части 8,0(у') й (х ) О). Изменяя масштаб, находим, что дпя произвольного х Эи! Д вЂ” ~ ) с — на ЭП(у')О(х>0).
х В силу (19.17) получаем из (19.16), что сД сД ,/Л-у ) — — )— х т Так как у) у — х, приходсм к (19.13). Л е м м а 19.6. Яля любого Л ) 0 существует Д > 0 такое, что длл их имеет место гладкая стыковка в А. Доказательство. Лпя достаточно большого Д (19.14) выполняется, а дпя достаточно малого Д по лемме 19.4 рх,с2 „(а) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
