Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 59
Текст из файла (страница 59)
следовательно, Р' (х) = — (и + 1)Р,' (х). Так как правая часть положительна (ввиду (21.24)), если О < В < я/(2 (и+1/2)), улье(вндвние (21.23) получаем, взяв и = а — 1. Можем теперь завершить доказательство леммы 21.5. Действительно, если В ) )О,то можновыбратьа > 1 так,что я/(2а — 1) > я — В, и положить и(г, В) = и(г,я — В), аи взять, как в(21.21). Ввиду (21.22) уи=О в секторе Е,и по лемме 21.6 и > О на ЭЕ.Поскольку а>1,имеем также и/у' -ь, если Х ~ 2',(Х! ~ е. Теперь можем применить принцип мюссимума н вывести, по для любого е >О ие(Х) < еи(г,В), если Х Е Х, !Х! < р, (21.27) 7'(х) -+ О, если х-ь Докажем теперь следующую лемму. Л е м м Е 21 8. Имеем Л ' 1.
Доказательство. Из следствия 21.7 вьпекает, что существует последовательность а„Ф такая, что (2128) /'(х) < 1/л, если х > а„/2. Определим функции и„(Х) но формуле 1 ие(х у) = и (ху(ал) + ал уУ(ае)) = /~(а„) 1 — и ((Х + Х~)У(ае)), У*((.) где Х. = —,О Свободная граница длл и„(Х) имеет вид 1 у = /'„(х) = 7'(х/'(а„) + а„), /'(а») при условии, по р достаточно большое. Следзвательно, ие ю О; приходим к противоречию.
Из лемм 21.4 и 215 получаем С л е д с т в и е 21 7. Имеет место соотношение в частности, /„ (О) - 1. Для любого С> 0 /'(х) = /'(х/'(ан) + а„) < 1/л, если )х ~ .< С, (21.29) (21.30) при условии, что н достаточно большое. Действительно, если ! х ) < С, то х/'(он) + а„> ао/2 (так как /'(т)/т -+ О, если г - р н таким образом (21ЗО) есть следствие (21.28). Поскольку н(Х) <у~/2, то н„(Х) < уз/2.
Поэтому для подпоследовательности имеем: /о(х)»/»(х) поточечно, з. и„(Х) -+и,(Х) равномерно на компактных подмножествах ((х, у) Е Я; у > >/.(хй, Аи» О, если у > /;(х), 1 дн» и, =О, — — =Л на у=/»(х). у до Из (21.29), (21.30) имеем также /',(х) 1. Поэтому ввиду единственности решения задачи Коши Лу' Л и,(Х) = — — —. 2 2 Счедовательно, /о (хо) — < е, еслн и > но ° хо — ео Поскольку, кроме того, и»(Х) < ут/2, то Л < 1. Так как Л > 1, доказательство закончено. Пусть  — шар в ))т, содержапп1й М Обозначим С, пересечение В с ( (х, у); х < < и, у > 0) и Ст — отражение С, относительно х = Н.
Пусть С = С, ОСз; Є— область в кз, полученная вращением Щ С вокруг оси х, где Рд = (ин > 0). Пустыр„— потенциал скорости, соответствующий н„. Тогда фуйкция „о„(х,у, -) = р„(х, ь/хт + уз) гармоническая в Р„и ее градиент ограничен единицей на бесконечности. Из леммы об ограниченности градиента имеем ! ~дд — <С, ~ — й- <С (21.31) дх ~ ду иа дР, где С вЂ” константа, не зависюная от л.
Прн принципу максимума тогда полуо' чаем такие же оценки в Р„, Теперь для любого е > 0 существует хо > е такое, что /'(хо) — < е. хо — ео Поскольку/'„(х)/(х — ао) монотонно убывает прка < х < И, то /»(х) — <е. если хо<х<И, И> Ио х — ао (21.32) и по лемме 21.3 /»(х) < е, если хр< х < и, и ~ Ио. (21.33) Вспоминая, что 1 дИ„ — — =Л, Л -+1, у и Ф»» и используя (21.31), вьпкщим, что ! 1 дИ„(х, /» (х)) — -- 1 < т1(е), у ду (21.34) 1 да„(х, /» (х)) — < п(е), у дх если хо < х < И», И = И» > Й(е), ~и~ ~ п(е).
Отметим также, что иг. О, если хз + Уа. Таким образом, можно сравнить и; с гармонической функцией (в йз) С Ср с(Е) = Э(6) + — + (с = (х, у, г)), 1Э-Э. ~ где $о = (2И, О, О) н Ср — достаточно большая константна, зависящая только от Сиз 310 где п(е)-+О,если е -'О, Пусть Яо — положительная константа, не зависящая от И, такая, что дуги у — /'(х), а<х<хо, и Ф содержатся в шаре Вн„. Обозначим Вн, (0,) отражение Вп относительно пря- мой х = И,(т.е.
О, =' (2И, О)) и В„-множество в Аз, полученное вращением Р„Л (Вя ОВл (0,)) относительно оси х. Рассмотрим в Оя гармонические функции ЭФ», ЭФф дх " ду ' В силу (21.31) |и;!<С (21.35) на части ЭР„, полученной вращением ЭВп о и ЭВл, (О, ) относительно оси х. На остальной части Эо„имеем ввиду (21З4) < (21.35) и Яе, а затем вывести, что 1и;! < и. Следовательно, если и = и„> и(е),то 1 ди„ ~ 1 дил Се с + ~г1(е)+ г ггг + (хг +уг)г!г ((х — 2и)г +уг)г/г в Ол Г~(У =01.Полагая и = и„- м,получаем -и, -1 + †. п(е)+ Полагая хг +у -л и замечая, что п(е) может быть сколь упгдно малым, приходим к утверждению (21.6) . Это завершает доказательно теоремы 21.1.
Задачи 1. Решить (21.9) введением потенциала скорости чг и гармонической функции г7(х, у, г ) = р (х, л/ут + г г ); тогда 9 — решение внешней задачи Неймана. 2. Предположим, что 1пп [г (В) 1г (В)1 существует для двух решений и, йзада- а- о чи о бесконечной полости где г (В) ( г (В )) — расстояние от (а, 0) до свободной границы для и(й) вдоль луча у = (х — а) тяВ, х > О. Доказать единственность в задаче о бесконечной полости; здесь требуемая для разности В решений теорелю Фрагмена— 1йгнделефа вьпекает нз доказательства следствия 9.!О. примененного к чУ + ггуг, г1 мало.
3. Обобщить теорему 21.1 на случай, когда х(г) монотонно неубывающая (т.е. У есть только у-график) при условии, что Ж звездна относительно некоторой точки (Ь,О),Ь>0. Рис. га 4. Пусть 11,, Яг — две области потока в (у > 0)осесимметричных функций тока и,, 'и, соответственно. Обозначим Я; линию тока иг = 0; Я; = д)тг. Предположим, что иг <у /2 и у и; = — (1 + о (1)) 2 прн г' = х' + у'; (х,у) ~ 11ь Предположим, что Я,, 5г имеют общую дугу Мд1 и Яг лежит ниже Я, от — до М тогда как Яг лежит вьпв" У., от Ждо (рис.
19). Предположим, наконец, что иг класса С' в й~.окрестностях точек М и Ж Показать что ! 17 и, (М) ! ! ч ит (М) ! ! ч и~ (/У) ! "7 ит (Ф) ! 5. Пусть и — решение задачи об осесимметричной бесконечной полости в общем случае гладкого носа; свободная граница Г есть кривая класса С', соединяющая А с бесконечно удаленной точкой (не обязательно являющаяся х-графиком или у-графиком) она асимптотически горизонтальна и (1/у) ! Зи/дя ! = 1 на Г. Пусть / — отрезок прямой ((х, О); — < х < О), где (0,0) — начальная точка Ф.
Доказать свойство единственности пересечения; любая бесконечная прямая, не пересекающая У ~~У, может пересекать Г не более, чем в одной точке. б. Теорему 21.1 можно обобщить для задачи о плоской симметричной бесконечной полости. Обозначим решение Ф, а потенциал скорости ~р и положим Иу' 1 Ф+1Ф, ю =1!п — = В т11лд дг (см. 8 1). Тогда область потока Ял отображается при г в область Лу, которая содержит окрестность бесконечного разреза вдоль положительной вещественной оси; Я отображается при / = 1/ге в область Я,, которая вблизи г = 0 состоит из полукруга (! г ! < е, 1ш г > 0). а) Показать, что ш (г) имеет аналитическое продолжение в окрестность г = О. в) Проверить формулу /,сы0)/~( )г/ и использовать ее для вывода 21 '(О) з + [ш'(0)' — (ш" (О)] 1п г + Х и„г" «=о вблизи г = 0 (заметим, что ш(0) = 0).
с) Показать,что если со'(0) ФО,тосвободная граница имеет вид у 2]и(0)],/х при хд) Если сс(0) =0 и ш (О) Ф О, то свободная граница имеет вил у ]и (0)]!пх, х- 7. Свойство единственности пересечения (лемма 21.5 и задача 5) распространяется на случай осесиммегричных струй. Доказать, что если прямая 1 не пересекает сопла Ж, то она может пересекать свободную границу не более, чем в одной точке.
8. Если сопло, удовлетворяющее (8.1), лежит в ( х < 0), то свободная граница задается монотонно убывающей функцией у = л(х). з 22. Библиографические заме ваня Изложение классической теории струй и полостей можно найти в [41, 107Ь, 110, 182] . Классический подход основан на сведении задачи к нелинейному функционалыюму или интегральному уравнению при помощи преобразования типа годографа. Назовем работы Финна [90], Лере [135] и Вайнштейна [179] о струях и работы Лаврентьева [134], Лере [135], Серрина [161Ь] о полостях; в зтих работах уста- новлены теоремы существования.
Результаты по единственности были ранее доказаны Лаврентьевым [134] и,более простым методом, Гилбаргом [107а] и Серрином [161Ь]. Вариационный подход к изучению полостей был развит Гарабедяном, Леви Шиффером [102] и Гарабедяном. Спенсером [103]. Укаэанные авторы использовали снмметризацию, однако рассматриваемые ими классы допустимых функций были довольно узки, а анализ (который включал комплексные методы) сложным; только в статье [102] — единственной в классической литературе — установлено существование для осесимметричных потоков. Различные свойства решений(такие как сравнение и монотонность) изложены в [41 и 107Ь].
Назовем особо результат из задачи 4, й 21 и свойство единственности пересечения, принадлежащее Серрину [161Ь, с, д] (см. а 21). Материал даннсй главы (за исключением 8 1 и 7) основан на недавних работах Альта и Каффарелли [ба], Альта, Каффарелли и Фридмана [7а, Ь, с] и Каффарелли, Фрццмана [58р] . Параграфы 2 — 4 взяты из [ба]; й 6 и 8 — 19 основаны на [7а, Ь, с]; результаты по задаче о ударяющейся струе (см. конец $17) принадлежат Каффарелли и Фридману (не опубликованы) . Встатье [102] приводится слабый вариант теоремы 20.1, именно: не устанавливается глацкая стыковка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
