Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Для произвольного Я > 0 положим Кл = ( о Е Н,е', (Е); о = Ф на Э йн Л )Р, Эта задача, очевидно, имеет решение и. Положим и = у(т и запишем тл,н(и)= гы н(0). Тогда (7 — функция, минимизирующая У((т) на классе Кн функций (т= о7у, о ЕКя. Поскольку Ф/у монотонно возрастает по у, то обозначив У' симметричную перестановку У в возрастающем порядке по у, имеем (7' Е Кя.
Используя теорему 7.1' (точнее, (7.б) ), легко видеть, что Х, н(и')< Х,,((т), причем строгое неравенство имеет место, если У' Ф о' на множестве положительной меры. Следовательно, (7 монотонно возрастающая по у, и то же верно для и.
Можно взять симметричную перестановку Ф вЂ” и в убывающем порядке по ! х 1; здесь даже второй член в (20.8) может убывать при перестановке. Следовательно, можно предположить, что и будет убывающей по х при х < О. Таким образом, ну~О вйн,и„(О вйнп(х(0). Поскольку свободная граница локально аналитическая, то она имеет вид х =+В(У) (1 (У (У*), и (О, где н — монотонно возрастающая н непрерывна, й и у' зависят, конечно, от Х, А: н=нл,н.
У =Ул,н. Свободная граница, когда она непуста, может начинаться либо на горизонтальной прямой ( у = 1), либо на вертикальной (х = — а); в обоих случаях она удовлетворяет условию гладкой стыковки (й 11), так как доказательство зтого свойства локально. Теперь возьмем последовательность Я вЂ” такую, что иь и иь слабо в Н, ',(Е) и г..в. ыз Лемма 20.2. осли Х < Л <, то существует положительная константа С', зависящая только от Л, такая, что уь и <С" (20.10) для всех достаточно больших Я. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Положим йя = (иь н)0)т1(х(0)Г1(У( Уь и). Ввиду леммы об ограниченности градиента 1[7и(х,у)1 ( С, если у = уь н, — )1/2 < х < О, где С не зависитот Х, )1. Поэтому для любого 8 ) 0 и(х, у) < бу, если у = уь и, — Ьу/С < х < О. На остальной части дйн имеем и ( — еху' для любого е ) 0 прн условии, что уь я достаточно велико.
Следовательно, по принципу, максимума и < бу — еху' в Йн, где Ь н е можно взять произвольно малыми, если ух и достаточно большое. Следовательно, если утверждение леммы неверно, то и = иь и — 0 при Я - О, что противоречит лемме о невырожденности (леммы 3.3 и 8.6). Из леммы 20.2 следует, что С) 2 уз — — <илн — — <0 на б(илп > 0», (20.11) 3 где гз =ха +уз и С вЂ” положительная константа, не зависяшаяотЛ,Я (если Л<Л). По принципу максимума мы получаем такое же неравенство в (ил л > 0).
Позтому Суз 2 < ил ч 0 в [ ил > 0». (20.12) Г' 2 О предел ение 20.2. Функция ил называется решением задачи Ул. Отметим, что ил удовлетворяет свойствам, перечисленным в (20.2) — (20.6), за исключением свойств непрерывности и непрерывной и гладкой стыковки. О п редел ение 203. Любаяфункцияил,удовлетворяюшая (20.2)-(20.6), за исключением свойств непрерывной и гладкой стыковки, называется Л-решением. Дяя Л-решения ил рассмотрим область, занятую жидкостью: (гл = (ил > 0). Область й0л =(йХ; ХЕДл» (О < й < 1), где Х = (х, у) называется областью увеличения (гл.
Она будет областью жидкости двя Л-решения с заменой 1У на й1т'; зто Л-решение имеет вид /х уЛ иал(х у) ю йзил й й Л е м м а 20.3. Предяояомим, что ил, ил, — Лк и Л,-решение, ил, р ил, и 1гл, может быть увеличена посредством множителя й < 1 таким образом, что й(2л э ал, Э(йал ) г~ аал л (У > О) ~ д.
Тогда Л, > Лз. Доказательство. Пусть /х уЛ й,(х,у) = йзи, ~ —, — ), и,(х,у) = ил (х,у). й й Тогда ц(х, у) — = й,(х, у) — и,(х,у) -+ О, если г -+ Так как 0> 0 на границе 0л, по принципу максимума 0> О в Ол, и где Хе — точка из (у > О), в которой ЭДл и д(йДл ) пересекаются. Поскольку такая точка должна принадлежать обеим свободным границам, то Л| > Л т. С л е д с т в и е 20.4. Если Л, Э Л,, то (ил, > 0)С(ил, > 0). Действительно, в противном случае можно увеличить( ил > 0) так, что она будет содержать ( ил > 0), и тогда выводим, что Лт > Л,.
С и е д с т в и е 205. Щтя любого Л > 0 существует в точности одно Лтоешение (которое тогда является решением задачи Ул) . Действительно, если ио и, — два решения, то (и, > О» =(и, > 0) по следствию 20.4,а по принципу максимума и, - из = О, Следствие 20.5 означает, что ил изменяется непрерывно по параметру Л (см. лемму 10.4) . Лемма 20.6. Если Л< 1,тосвободнаяграницадляих пусти Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ие — поток, проходаший !ни удовлетворяю. ший (20.6) (это есть просто решение задачи гх с Л = 0).
Положим 1 ! дие Ле = — ~ — в (О, 1). у дт Если для иь свободная граница непуста, то, увеличивая (иь > 0) до тех пор, пока она содержит Ю, получаем по лемме 20.3, что Л > Ле. Поскольку по принципу максимума ! ие ~ — (у* — 1) в (у > 1), 2 то Ле > 1; таким образом, Л > 1, что противоречит нашему предположению относительно Л. Л е м м а 20.7.
Если Л достаточно большое, то свободная граница для иь начинается на вертикальной прямой (х = — а). Л о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем область 1т', ограниченную у = О, х = а, х =а'+ 2е и полукругом ((х — (а'+е))' +(у- д)з < е', у > д) с малым е и д, близким к 1. Обозначим й поток, проходящий через (т'. Если свободная граница начинается на (у = 1), то ввшО~ условия гладкой стыковки можно выбрать параметры е, Ь так, чтобы 1т' лежало внутри ( и = 0), но д 1т'т1 ( у > д ) касается свободной гранины„скажем, в Хе.
Но тогда 1 ди 1 ди (20.13) Выбор е, д зависит только от а; поэтому, используя условие внутреннего шара, построим барьер для й в Х; получим Л<С, (20.14) где С вЂ” зависит только от а. Таким образом, если Л >С, ю свободная граница должна начинаться на прямой (х = -а). Используя леммы 20.6, 20.7 и непрерывную зависимость и1 (и свободной границы) от Л, можно теперь доказать сушествование параметра Л с гладкой спаковкой в А Такой параметр единствен; фактически, доказательство аналогично доказательству следствия 11.5. Таким образом, мы завершилн доказательство теоремы 20.1. Можно получить разложение и на бесконечности. Так, если мы введем потенциал скорости р посредством уравнений 1 й р„— и„, р„= — — и„ (20.15) У У в (у > 0), то функция ~о(х, у, т) р(х, ~/у + т ) будет гармонической в области й; полученной вращением (и > 0) относительно оси х.
Разлагая р в окрест. ности бесконечности по зональным гармоникам 1120, с. 254) находим, что рр(х,у)-+(1,0), — ~7и(х,у)-+(0,1) при х +у'. (20.16) у Задачи 1. Получить разложение (дпя любой и ил) у' су' / 1 т! и(х, у) = — — — — + 0 ~ — у! . 2 „3 ь, т г 2. Обобщить теорему 20 1 на случай, когда М= ((-а, у); 0 <у <1). 3. Обобщить теорему 20.1 на случай плоских симметричных конечных полостей. 4. Обобщить теорему 20.1 на случай, когда х(г) не является монотонно неубывающей функцией (т.е. М вЂ” лишь у-график) при условии, что Ф звездна относительно начала координат. 5.
Пусть С вЂ” ограниченная звездная область (относительно начала координат) в Ф и й = Я~~С. Рассмотрим функционал 3(п) = ((!Че1з+Х') „„) !х на классе функций К=(с~Н,"~~(Л'), с = 1 на дС, и Э 0 в О). й 21. Осеснмметричные бесконечные полости Пусть Ж вЂ” нос, удовлетворя!оший условиям: Ж вЂ” кривая класса кусочно С!~а вида Х=Х(г) =(х(г), у(г)), 0< та г, ~7Х(г я 0) чь О; (21.1) х(г) и у(г) монотонно неубывающие и у(г) >О, если г >О", Х(0) =-(О, 0), Х(г) =(а,у(г )), а>0. Для лростотл! возьмем у(Г ) = ! и положим А ж К(г ) - "(а, 1).
О и р е д е л е н и е 21.1. Пусть Ф (нос) такой же, как в (21.1). Задача о (осесимметричной) бесконечной полости состоит в нахождении функции и(х, у) и кривой Г таких, что Г класса С' задана строго монотонно возрастающей непрерывной функцией у . Г(х), а < х ( )'(а) = 1 и Г О!у класса С' е окрестности А; (21.2) 30$ Доказать, что а) существует единственная минимизирующая функпня и ил, Ь) если Л, >Ха, то (ил, >0) С(ир„> 0); с) д(ил > О) звездна относительно начала координат; б) если С выпукла, то свободная граница выпукла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
