Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Будем испольэовать обозначения такие же, как в й 15, эа исклю. инием ьь (заменяем на й гэ ( х < а ) и обозначаем ее также й) и фиксировав еди- ничный вектор е, именно /х--а у Л г гг где г' =(х — а)' ьуэ ! Функционал нмсег вид Уа,я(и)= ) !'7с+Ле ((!ч!к г))о !'ггхау, где н:.
й гэ ( х < 0 ), а класс допустимых функций следу.оший: Ке я = ( о ~ Н„„',, ц = 1 на )г',, ц= — 1 па Лэ, с=В на (х=а), ( -и,у).-ь„(у)). 276 сравнить с задачей 2 из й 131 5. В задачах5 — 10мы схематично описали решение (методами иэ й 15 — 17) за- дачи о ударяющейся струе. Эта задача аналогична задачс об асимметричной струе, но отличается наличием стенки х = а (а ) О), которая препятствует течению.
Таким образом, мы вправе ожидать, по свободная граница буцет состоять из двух кри- вых (рис. 15) Г;: у=.Ях) (0<х<Ь!), где Ь;<а и Д(х)- ' . сели х- Ь,, 7',(х) - —, если х-~Ьз. где й„(у) монотонно возрастает, л„= 1, если ( — д, у) Е 7У, и И„= — 1, если ( — д, у) б 7У, и — 1 <В <1, Доказать, что существует единственное решение и = =ил в в залачиул,в, °: н С Хв, в ул,в(и) = ~л!и Ул,(и), ч нхе,в й 18. Струи с учетом сил тяжести Теория, развитая в з 8--17. может быль распространена на случай струй в поле сил тяжести. Как обычно, считаем, что сила тяжести направлена по отрицательной оси у. Здесь мы рассмотрим только осссимметричный случай, считая, что направление оси симметрии совпадает с направлением силы тяжести.
Сопло У удовлетворяет следующим условиям: Ф вЂ” кусочно класса С1+" кривая, заданная уравнением Х = Х(г) = (х(г),у(с)), 0<г«(0<а<!); Х(0) = А = (а, О) (а > 0); х(г) > а, Х(г) — х-график; если х(г) = — а в некотором интервале 0<г<г,, то (!8А) у(г)> 0 для 0 <г <ге, тгХ(г+ 0) Ф О, Х(г) е Сз [О, г! лля некоторого г >О; у(г) > о, если е н, наконец, 7У звездна отлосительно некоторой точки О' =(О,у'): у" >О.
(! 8.2) 277 [У к а з а н и е. Сравнить и, (х, у) и из (х, у) . [ 6. Показать, что если Г,, Гз непусты, то выполняется (17.12). [У к а з а н и е. Если обе Г,, Гз уходя~ на, то и решает задачу о струе без стенки и Гз должна быть пустой (ввиду леммы 1б 3) .[ 7. Доказать, что ил в монотонно возрастает по В. 8. Пусть Лв „= зпр Л; Л принадлежит 2., если для некоторого В Е ( — 1,1) ле в ' Г, начинается выше А, а Гт — ниже В. Пусть Л; С у, Лг ! Лв „,Вг -ьВ (В; соответствует Лг вопределенин Л; ь=. 2.).Доказать, что В Ф+ 1.
[У к а з а ни е. Если В =+!,щедуетвзятьпостоянный потокввертикальном направлении со скоростью Лв „и действовать так же, как в лемме 16.3.[ 9. Доказать, что задача об ударяющейся струе имев~ решение со свободной границей, удовлетворяюгцей (17.! 2) . 10. Доказать, что если сопло симметрично относительно оси х и Ф, звездна относительно (О, 0), то существует едино~венное симметричное решение (и, Г, В) задачи об ударяющейся струе,т.е. В = Он и(х, — у) = — и(х,у).
Пусть Э'и Э'и 1 Эи Еи= —, + — — — —. Эхг Эуг х Эх О п ре де л е н и е 18.1. Задачей о струе называется задача нахождения функции тока и (х, у), кривой Г: у = р(х) (свободной границы) и констант Л >О. Д>0 таких, что у =чг(х) определена и непрерывна для 0 < х <а, р(а) = О, )ч' 17 Г есть кривая класса С' в окрестности А, à — кривая класса С', Ьи = 0 в области жидкости У, ограниченной У О Г и осью у, и(0, у) = 0 для — <у < и = Д на гУ гг Г, 1 Эи — — =чу — у на Г, х Э (1 8.3) и принадлежит С' (7 17 )угз Г), за исключением тех точек, в которых )У4 С'+а и,наконец, дпя некоторого большого у >О ГГ1 (у <уь) задано в виде х = Т( у), ~/2 Ц ,7(у) = (! +о(1)) при у —— ) у)'" (18 А) и 2се — козффициент сужения сопла% Для вариадионного подхода нам потребуются некоторые понятия.
Пусть д — произвольное положительное число, и > Л. Обозначим 1„ отрезок на у = и от х = 0 до первого пересечения с У; точку пересечения будем обозначать 278 Обозначим ое угол, образуемый отрезком 7,, соединяющим А с началом )соординат, и лучом, касательным к гт'в А. Т е о р е м а 18.1. (г) Пусть )т'удовлетворяет (18.1), (18.2). Тогда существует непрерывная строго монотонно возрастающая функиия й(Л) (О < Л < ), к(0) > О, такая, что решение задачи о струе с параметрами Д, Л существует, если и только если (3 = й(Л).
(П) Региениеил о(1Е =й(Л)) единственно. (ш) Если я/2 < ое <2я/3, то й(0) >Ои если 2я/3 <од <За/2, той(0) = О. Функция )2 = й (Л) называет)ся кривой решения. Доказательство приводится в данном и следуюшем параграфах. Затем можно показать (см.
!7с)), что если )т'также равномерно класса С' на, то й(Л) Игп — = се сушествует (18.5) ~/Л (а„, Ь,„). Кроме того, введем (рис. 16) Е'=(х >О); ۄ— объединение части У от А по (и„, д) и отрезка (х =а„, Л <у <Л+ 1); те — отрезок [у = О, 0 <х <а); Р„' — область, ограниченная те, Л'„, отрезком ( у = и + 1, 0 < х < ая ) и отрезком оси у от у =0 до у =и+1; М вЂ” луч (х =а, — <у<0); Еь — пол»полоса (О <х <а, — <у < Х); Р =Р*%; я и а„= 1пт Р„и Ел.
(18.6) Определим функпию м„на Ж„следуюшим образом; (О, е и О<у<и, мя(х,у) = ( Яи + 1 — »), ес н и < у < и+ 1. Далее введем класс допустимых функций, определенных на Д, н параметр »сечения и: Кд, = ( о; и~ Н ' 'з(Е' гт Вл ) для всех Я > О, 0 '-" о < т) п.в.; с(0,») =О, если — ' <у <'; и(х„у)=0, если у>и+ 1, х>0; с(х, у) = 0(и+ 1 --у), если и <» <1т+ 1, х >а,; с(х.у)=О, если — ~» <у<ц, (х,у)~(1„). (18. 7) Введем, наконец, функционал /, зависящий от Х, »е, и: ./л д,н(п) 11 ~2 ,( — 'уо — л/Л вЂ” у/»е < д)о нле1 хахг/у, (18.8) г2„1 х где е — вектор, е = (О, 1), и Л> О, Д> О.
Задача Ул /2 „. Найтифункиию и =ил ц и ЕК»2 н такую, что Ул /2 „(и) = оп /л,»/,н(о). (18.9) чиков Л е м м а 18.2. Существует функиия ц Е КО „пгкая, что 2л /2 „(о) < До к а за тел ь ство. Возьмем уе = Х вЂ” (,//2Д/а) и определим хг л/2/2 †/ Х вЂ” у, если 0 < х < , у < уе, 2 ,)1/4 о(х,у) = зг/ 20 »Е, если х > 2/4 У (Л-у) Тогда 1 ~г )' 1/ о — ъ~ Л вЂ” у Т» ч < О) о н е ~ х 2/х 2/у = [У < Уэ) /20 уо (л — у) ! /4 уо 0 2 »с л+2-~ е, ил /2 (х, у) г)нГ~ »у>Х) До к а з а т ел ь с т в о. Пусть и =ил О „. Вгяберемконстантгвс/2>О,сл)Х (зни будут определены ниже) .
Пусть С=[0(х <а, у(сл), (18.10) о(х,у)=сох л/сл — у +, (х,у)ЕС, 2,' (18.! 1) +(сл — у)'. Тогда с/2а, если х=а, у<ел — 1, 2 а2 сΠ—,, если х=а, сл — 1< у<ел, 1 + 2)3/2 с0 — если 0<х<а, у=ел. Теперь можно, очевидно, доопределить функцию о в» у ) уе) так, что она будет принадлежать КО „, и /л (2 и (ц) ( Действуя, как в лемме 18.2, можно доказать теперь, что задача 2л /2 „имеет решение и = ил /2 „. Отметим, что Ти = 0 в Р„.
Л е м м а 18.3. Существует константа С, зависящая от»Е и не зависящая от Л, д, такая, что Поэтому если с0 достаточно бопьшое. то в > Ц на дС Х(х = О). (18.12) Поскольку ((х'л(сл — у )<О там,где ((х'(г~)=0, то тв<ОвС. (18.13) Кроме того, если .сл>Л+2 и со>1, то дня у> Л имеемоценку 3х' — — — со 2 л/сл-у 3!2 > 2сол(сл — у ~1— ,~-;=, (Л- —.
(сл — у) ( (18.15) Пусть, временно, ел=и+2 (18.1б) (позже мы выберем наилучшее значение дпя сл, которое не будет зависеть от и). Так как 11Го1т/х гладкая ниже (у = сл) (здесь мы использовали (18.16)) и имеет место (18.12), то можно сравнить и с функцией щщ(и, о) в Й„гтС, й= и в Й„ХС. пдя (х,у)ЕПи. Используем (18.18), дпя сравнения и с й, выбирая ср„не зависящей от и, а именно, как в (18.14) . фяХЕСЙ(и>о) имеем хт д —, с о > с, (х~ < ~ д,я +т:р ~, (18.19) т.е. й = и в окрестности сингулярных точек функции те(х. Позтому можем опять испопьзовать й как функцию сравнения и повторить рассуждения, основанные иа (18.17).
Таким образом, получаем (18.18) с сл вместо и + 2, т.е. и(х,у)<Сх~л(сл — у дпя у <Л, (18.20) где константа С зависит от Ц. Наконец, используем функцию й(х у) = Сх' (мы предполагаем, что Сг~ > Д) как функцию сравнения дпя и в С = (Х < у < д + 1, О < х < а). Поскопьку ввиду (18.20) и < й на дС, то и (х, у) < Сх~ дпя у > Х. Имеем ,(л 12 ~ (и) <,(л 12 ~(й) . (18.17) Из (18.13), (18.15) получаем так же, как в доказательстве леммы 8.4 (напомним, что и< Я в (у>Х)), что и(х, у) < и(х, у) < 2с0 „~ и + 2 - у хт (18.18) Л е м м а 18.4. Существуют положительные константы С, Са, зевиснщие от 0, но независящиеотЛ,д, такие, что если Ха= (ха, у ) и (Ег 1 12 О < ха < (Л + 2 †) гм для — < уа < Л, С г /2 ха < для Л < уа < д + 1 Са то Стах~Л+2 уа если — ~ < уа < Л ~Чинов(Х )~ ~' ' а а (18.21) Сха если Л <уа < и+1 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Возьмем га = ха/2. По лемме 18.3 ил 0 „< 0 в В„,(Ха) и, следовательно, Лил 0 „= 0 в В,,(Ха). Поэтому нормализованная функция 1 й(Х)= — ил д „(Ха +гХ) га удовлетворяет условиям х ( с','г ° г-х' г., х'сгг, 1 Ьй — — й„в В, (0), 2+х откуда следует ~х,с„гх'И- ~ххгси с с',/л ° г-х'. Доказательство (18.12) при уа ) Л аналогично. Ввиду общих результатов а 3 решение и = ил 0 „непрерывно по Лнпшицу в Й„Л((х 0) О ( А)); непрерывность по Липшицу в окрестности (х = 0) была доказана в лемме 18.4. Согласно а 4 свободная граница Г= :8(и <0) гг(и =121 аналитическая в Ею Л е м м а 18.5.
Существует единственное рещение и задачи.х'х хг „, и и <О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя перестановки в убывающем порядке по у получаем решение и такое, что и <О. Предположим, что и,, иг — два таях реше- ИИЯ Залаяв УЛ хг И ПОЛОЖИМ ига(х,у)=иг(-,у — е) (О < е < 1). Обозначим йна область, полученную из йн переносом вверх на е, и обозначим Кб,н, Ула,а,„а твет ВУюш е'Ка,н, Ул,а,н. Таким обРазом, ~ Чо 1г хгаг ьгсГ ~ — — 'г-х+ гг., 'аг. „~ *х*хх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
