Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Если, для такого наибольшего р, р < 1, то существует точка Х такая же, как и выше, и мы получим рЛ < Л; пришли к противоречию. Если, однако, р = 1, то мы берем Хе = А и получаем, как в доказательстве (11.24), — )(1 ье) — В А для некоторого е > О, т.е. Л ) (1 ь е) Л, что невозможно. Задачи 1. Предположим, что Ф удовлетворяет (8.1), х(т) — —, если т- Ф равномерно класса О' вблизи ьь. Если ра '+ь', ил,л„ил слабо в Н1„'е и пл. в П,то будем говорить, что ил — реше- 1,2 (12.7) До к аз а тел ь от в о, Предположим,что (и, Г, Л) и (й, Г,Л) — два решения.
Множества Ф !Э Г и Ьг !Э Г звездны относительно О . Однако для доказательства единственности требуется не только этот факт. Действительно, в силу (12.2) и условия гладкой стыковки существует точка О" = (- Ь . 0) (с Ь > Б) такая, что (!) Ьу звездна относительно О, (П) любой отрезок от О до Ь!не пересекает Г и Г. Для простоты возьмем А = (Ь, 1), О = (О, 0) . Свойств (!) и (!!) достаточно для проведения доказательства единственности. Без потери ойцности можем взять Л > Л. Рассмотрим сначала случай Л> л.
ние задачи.7л. Доказать: есяи из, из — два решения задачи гл, то дпя х < — хе (с некоторым хе >0) 1'7 иг ~ < С пнп(у, 1), ~ <С),зД Х ~з (12.8) (12.9) Су — «у<МХ!, ~Х~3 С вЂ” если у>ее! Х 1, 1Х! (12.10) 2. предположим, что и 7, ит — два решения задачи Ул. пусть р (х) е с, 57 (х) О,если х> — и+ 2,р(х) '=1,если х< — и+1, р> О, ! 1р'! <2. Определим йз = из +(и, — из) р, о, =и, Уйз, от =и, дйт, й з = от + (и, — оз) Чл Доказать; если Ул,х(о) = ) ~ ~'о — Л7(н < о)ло е у дхс(у, гзо(х> и) ~у то дпялюбого й>д "гл,е(и1)+"гл,н(из)> 7л,н(о~)+ гл,е(оз) — 77(7г), где п(й) — О,если й 3.
Используя задачу 2, доказать единственность решения ил задачи г л. 4. Используя задачу 3, установить непрерывность ил в Л, т.е. если Л„- Л, то ил,, -ни слабо в й'~'-, (см. теорему 10.4) . Доказать теорему 8.1 (предполагая выпопнейным условие (12.7)), показав, что дпя некоторых Л функции ил удовлетворяет условиям непрерывной н гладкой стыковки. з 13. Вьшукпость свободной границы Мы будем изучать форму свободной границы дяя задачи об осесимметричной струе.
Предположим, что 1У вогнута в сторону жидкости, т.е. 12 11 ( у > 1) — выкупная обпасть, (133) Т е о р е м а 13.1. Если 7У удовлетворяет (8.1), (13.1), го свободная граница выпукла в сторону жидкости. 257 17. А. Фридман где е е — малое попо житеяьное число. 1У к а з а н и е. Дпя доказательства (12.8) вблизи у = 0 используйте яемму 8.4 и РассмотРнте (1/тл)и(Хе + геХ). ДпЯ доказатальства (12.9) следУет пРименить принцип максимума к Суз — ех з (и~ — из).1 ~ Х ~з Это означает, что к (у) > О и, следовательно, сушествует точка уе ~ (й, 1) такая, что х(у) монотонно убывает для л <у <у„ (! 3.2) й(у) монотонно возрастает лля уе < у < 1.
В частности, если сдано уравнением у = у(х), л (х) < О, е (х) < О, то Г имеет вид у = Г" (х), Г'(х) < О, Г "(х) Э О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что Ф лежит в полуплоскостн ( х < В), Х(г) равномерно класса С ' при г > ге, (13.3) и рассмотрим функцию скорости д = ! 1~и !/у. (13.4) дд й| = — — > О, дг что противоречит (13.1) . Предположим, что мы можем установить слелуюшее: если п(ха,уя) Ле, Ло =итрам, (х„,у„)- (хе,уе) и либо Уе = О. либо хе = т ', либо уе = + тоЛ <Л, (13.5) Тогда (1 3.6) шахе = Л й эй Й1 = — — > ла Г (и — внутренняя нормаль), ди что и составляет утверждение теоремы. Дпя доказательства (135) рассмотрим сначала случай уе О и положим и(х„+ у„х, уа у) и„(х,у) = Уа Имеем %'(у57(уц~))>О в ( и<Ю, т.е.
дз есть субрешение; таким образом, оно не может принимать локальный макси- мум внутри области жидкости. Имеем, также, и = Л на свободной границе, п(Х) -+ Л, если Х-+А (ввиду гладкой стыковки). Кроме того, ц не может принимать максимум в точке Х' из Л' (Хе Ф А), так как дц иначе — < О в Хе (и — внутренняя нормаль), так что в силу (1.9) да Тогда Еи„=О и по лемме 8.4 Ду~ Л и„(х,у) < — = — у', 2 )(злее, ввиду предположений из (135) ~ '7 и„(х, у) ~ < Л у, 117и„(О, 1)1- Л .
Для подпоследовательности имеем: и„-+и равномерно в Вз(0)Г1( у >0). Тогда Ею=О, ю(х, у) < Лу'/2, ! ги(х,у) ~ < Ле у, ~ 17тг(0, 1)! = Ле. (13.7) Полагая 17 и'(О, 1) ее=, Ь'= ео'гю — Лоу л имеем ЕИ'= ~Ло ео.е)> — ~Хе — — — ) > 0 в Вт (0) г1 (у > 0), где е = (О, 1). Так как Ю принимает свой максимум (равный нулю) в точке (О, 1), по принципу максимума имеем Ь' == О, т.е. тю е =Лу. Поскольку ~17ж|<Леу, то Рю юЛе уее, и поэтому Ле ю(х,у) = — у', 2 иГ задана для больших х в виде у г(х), Е'(х)-+О, 1Е'"(х)1 < С (х- »), выводим, что для любого е > 0 7 и(х, у) — Луе — 0 равномерно, если е < у < Г(х), х ~ Таким образом, ввиду второго соотношения в (13.7) Ле 4. :Л.
Рассмотрим далее случай хе = е, уе > О, Так как мы предположили верным (13.3), то должны иметь 0 < уе < 1. Вспоминая, что и(х,у) — ш)п(Луз(2,Д). О, если х, 0< у <1, Следовательно, 1 — ~17и(хя,у„)1 -+ а, Ул так что Хе =Х. Рассмотрим, далее, тот случай'из (13.5), когда хе = — ', 0 < уе < и введем и„(х, у) =и(х+х„, у) Для подпоследовательности имеем; и„(х, у) - и (х. У) в С' (В) в некоторой окреспюсти В точки (О, уе), и Еи =Ов (0<у<Н), в(х, 0) = О, если — < х < и(ху)<о в (0<у <Н), где Н ~ Ь. Здесь Н вЂ” "асимптотическая высота" М. Если Н конечно, то тогда действительно ю(х, Н) =(3 и по следствию 9,10 и(х,у) = — ()у'/Н'.
Поэтому 1 2Д 2Д вЂ” ! тт (х, у) ~ = — < — = ), у Нт опсула Хе < Х. Если Н =, то по следствию 9.10 ю(х,у) < еу в (О < у < 03/е)'/~) для любо~о е > О. Таким образом, в и 0 и Хе = О. Остается рассмотреть случай в (13.5), когда у, + ° . Поскольку Х(т) равномерно класса С'+ч для т Э те, то согласно эллиптическим оценкам имеем (см. замечание 54) ~7и~ <С в 11Г1(у>Се) для некоторого Се ) .1. Следовательно, 1 — !'7и(хя,у„)1 О, Уя откупа Хе =О.
Таким образом, мы закончили доказательство (13.5), а тем самым также доказательство теоремы в случае, когда (13.3) имеет место. Доказательство для сопла Ф обшего вида приводится с помошью усечений Ф соилами Л'„удовлетворяюшими (13). Если мы заменим х(г) на ш1п(х(т), 1/е), то первое условие в (13З) выполнено. Чтобы удовлетворить второму условию, заменим часть сопла с т йь Т, горизонтальным лучом, где Т, -, если е — О. Задачи 1. Если А = (О, Ь), то коэффициент сужения Ф определиется по формуле ял' яЬ где Ь вЂ” асимптотическая ширина струи.
Таким образом, С, = 2/Х, если Ь = 1, Д = 1. Доказать, по С, = 1/2 для насадки Борда. 260 [У к а з а н и е. Проинтегрируйте и„— и„2и и„ 41ч г г = О у у где й гг Вл, при помошн изменения масштаба покажите, что ] ~7и(Х)1 < С/1 Х [ на дВл. Положите А -+,] 2. Пусть Лг, Ф~ — два сопла, удовлетворяюшие (8.1) и (12.2), такие, что Лгг лежит югева от ЛГ. Выберем Кн,.гг „дпя Лги подходяшее усечение гуне для гутакое, что с соответствуюшими К~„Уг~ „выполнено следуюшее: если и,, и, — мннимизи- РУюшие фУнкции длЯ Уг „, у~а „соответственно, то иг Л иг Е К„, и, Ч иг ~ Ке. Показать, что У„н(иг)+3~,и(иг) =уын(иг Л и,)+Ух н(и, Ч из) и вывести, что иг ~иг всюду. 3. Показать, что если Лг, гЧе такие же, как в задаче 2, то для соответствуюших решений (и, Г, Х), (ие, Ге, Ле) имеет место неравенство Лс < Л; причем неравенст- вострогое,если гЧФЛге.
[У к а за н и е. Еслидляиь н имеет местогладкаястыковкавА,тоследует О применить результат из залачи 2 к иг „, их н и показать, что если для иг н имеет место гладкая стыковка, то Х < Х„.] 4. Показать, что если ЛГ задано уравнением у = е(х), е'(х) < О, е"(х) < О, то решение и удовлетворяет неравенству и < О. [У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
