Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 58
Текст из файла (страница 58)
1У к а з а н и е. По задаче 5 из й 3 любая (локально) минимизирующая функция имеет ограниченный носитель. Дяя доказательства а) — с) использовать метод из лелзмы 20.3, а для б) — тот факт, что а принимает минимум на свободной границе (см. теорему 13.1.) ). 6. Рассмотрим задачу об осеснмметрнчной полости в трубе ~ г ! ( Я с препятствием у = Х(х), 0 а х < а, где а(х) монотонно возрастающая. Построить вариашюнный функционал и установить существование решения со свободной границей у =!(х), т (х) монотонно возрастающая, Г (х)- О, если х-+ и Е С(Е); и(х, 0) = О, если — < х < 0; и=О на 1ч'Ь! Г и в области К, ограниченной Дг1ЗГиотрезком ( (х, 0); а ь,х «»); и>0 всюду в Е; Ел=О в (и >0); и равномерно непрерывно дифференцируема в некоторой ( и > 0)-окрестности А.
(21.3) Кроме того, — — = 1 на Г (21.4) и и, Г имеют асимптотическое поведение: 1 (х)- О, если х-+ 1 — [2и(х,у)-+ (0,1) у равномерно в ( и > 0). если х' +у'- (21.5) (21.6) Множество К называется полостью. Т е о р е м а 21.1. Существует рещение задачи о бесконечной полости. Для доказательства теоремы рассмотрим сначала задачу о конечной полости с хвостом Т = Т„, который симметричен !ч'относительно прямой х = и, и > а.
Согласно а 20 существует единственное решение и„, Г„, Ла втой задачи и Га. 'у = 1я(х) (а<х<2и — а), где 302 1н(х) — 1а(2и — х), 1„(х) строго монотонно возрастает для 0 < х ~и. Из лемм 20.6и 20.7 (см. (20.13), (2004)) имеем 1 <Л„<С (Сне зависит от д). (21.7) Л е м м а 2!.2. Пусть 1 = ((х, 0); — ' < х <0).Если прямая ! не пересекает 1 о 11", то она может пересекать Г,, — = Г„гт( х < и ) не более, чем в одной точке Д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку Г„имеет вид монотонно возрастающей кривой у = 1„(х), достаточно взять 1 с положительным наклоном. Если утвержде- ние неверно, то прн помощи параллельного переноса мы придем к ситуации (рис. 18), когда отрезок ВМ прямой 1 лежит в полости и касателен к Г„в М, а на дуге МН кривой Г„нет других тачек с такими свойствами. Следовательно, если МН входит в полуплоскость справа от 1 в точке Е, то наклон Г„в каждой точке РН меньше, чем наклон 1 (21.8) У в противном случае первая точка М дуги ЕН, в которой наклон Г„равен наклону 1, имеет такие же свойства, как М; приходим к противоречию. Если существует точка Е, как в (21.8), то положим Б = МЕ.
Если, с другой стороны, МН лежит целиком слева от 1, то положим 8 = МН. Обозначим Е точку в 6, наиболее удаленную от прямой!, и обозначим т луч, илуший отЕдох =и параллельно1. В силу (21.8) у лежит выше Г,, Обозначим Ц пересечение прямой ЕМ с осью х. Очевидно, Д лежит справа от В. Обозначим Я область, ограниченную у = 0 от х = — ~ до В, отрезком ВМ, дугой ме кривой Г„. дугой т, отрезком прямой(х =и) ото до+ Пусть й — решение задачи Ей=ОвЯ, й = 0 на дА ГЗ (х <д), й (х, у) = О, если уг < у < (У = (хю ут)), (21.9) й — у~/2 — О, если г~ =ха +уз -+ Решение можно получить отражением кривой дВ О (х < и ) относительно х = и и применением метода из З 20 с Х = О.„см.
также задачу 1. Ниже мы докажем, что Ю (Мн ~11' (МП (~ (21,.10) ! ~7 и(е)1 ! т'й(е )! Предполагая временно„что это неравенство верно, рассмотрим преобразование подобия (х,у) -~ (а(х — хе), ау) Я=(хе, 0)), которое отображает Е в М. Таким образом, если М = (хм, ум), Е = (хн Ун) ауя = ую. Легко видеть, что обратное отображение отображает А на подмножество В' множества В.
Функция ! й (х, у) = — й(о(х — хе), ау) удовлетворяет условиям Ьй = 0 в Я~, и < й на дгг', й = й = 0 в Е (Е Е дЯ). По принципу максимума получаем й < и вЯ и ! Чй(Е)! < !Чй(Е)[, следовательно, 1 — ! Ч й(М) ! < ! Ч й(Е) !. Подставляя в (21.10), имеем !Ч (МН < а.
! Чи(Е) ! Так как, однако, М и Е лежат на свободной границе, !Чн(М)! уы ! Чи(Е) ! ул приходим к противоречию. Остается доказать (21.10). Можем считать, что и, й гладкие вплоть до границы; в обшем случае следует аппроксимировать область хощкости областями с гладкими границами. Для произвольной точки 2 = (Г, и) Е МЕ введем функцию йх(Х)= г'(2)й(Х) — Р(2)и(Х) (Х=(х,у)), где 1 1 1'(2) = — !Чи(2)1, Р(2) — !Чи(2)1, и кривую уровня Ьх.
Их (Х) = О, начинавшуюся в 2 и входяшую в область Я„ в которой и и, и й положительны. Отметим, что потенциалы скоростей у, р, аютветствуюшие и, й, имеют разложения в терминах зональных гармоник в виде (см. [120„с. 254) ) 2се Рь (соз В) г~; то же верно дня и, й (см. также [148) ). Следовательно, в каждой точке Х где и, й аналитические, сушествует конечное число гл простых ветвей Ьх и, если ш > 1, то две смежных ветви образуют ненулевые углы в Хе.
Это справедливо также для у = О, — ь < х < О, поскольку !Чи ! < Щ !Чй! < Су (согласно доказательству теоремы 8.5). Следовательно, функции ч (х,/уз +2'), й(х,/у' +2') гармонические вблизи оси х при — < х < О. Поскольку дйл(Х)/дг = 0 в Х =2, то Ьг фактически начинается в 2 изб.. Отсюда также следует, что если Ьх покидает область Я„= Я„П( х < н ) в точке из 1, то она некасательна в каждой точке выхода (поскольку йх = 0 вдоль У) .
Если Ьх покидает Я„в х = и, то в силу симметрии относительно прямой (х П) она должна пересекать (х = н ) не по касательному направлению. Отметим, что Ьх не может покидать Еа на МЕ (иначе йх = О) и на дуге т (где йх < О), !Ч (где йх > 0) и дуге Г' С Г„от А до М (где опять же й х > 0) . 304 Из приведенных рассмотрений следует, что подмножества т(, ф дуги МЕ, определенные ниже, открьпы; ЛЕ И, если К(я) Фрч(я) и !ах не покидает ян на х ми; 2Е Ю, если ~"(Я)Ф Р(Я) и Ьи покидает Ян на х =и.
Если Ьи остается в Ан, то параметризуя ее при помоши длины т получаем, что точки Х(з) Е Ди должны удовлетворять условию ! Х(т) ! -а при т -+ . Отсюда следует, что д — — Йв О, у дх (21.11) д — — Й, 1'(2) — р'(Х) у ду вх =Х(т), з -а . Если, кроме того, Г(2) ть Р(Х), то Ьх становится на — ~ почти горизонтальной. Рассмотрим теперь случай а( = МЕ. (21.12) Для любой Я Е МЕ, если Ьх покидает Ям на 1 (скажем в Хе), то Йи > 0 на грани. це области Си, ограниченной Ьх и частью дйн от Х дз Л.
По принципу максимуматогдайв >Он Св н д — Йх > 0 в М (и — внутренняя нормаль). (21.13) ди Предположим, далее, что Ьх не покидает Кн. Тогда (см. замечание к (21.! 1)) Ьи асимптотически горизонтальна. Следовательно, для любого е > 0 Йи(Х)+е(н — х)у Э~О на дй от (-, 0) до Л, на Ьи и для Х Е Св прв ! Х ! ~ . По принципу макснмуи з ма Йх + е(д — х)у >0 в Си. Устремляя е к нулю,мыопятьприходимк (21.13). Полагая Е - Е в (21.13), получаем . 1ЯЕ)!7й(М)! Э )г(Е)!Чаи(М)1, откуда следует (21.10) . В случае 5 =МЕ (21.14) можно действовать аналогичным образом. Здесь Йи < 0 в области Си, ограниченной ааи и частью дйн от Х доточкивыходаХ' Е Ьи на(х =д).
Так как йи(х,у) = = Йи (2д — х, у), то можно применить принпип максимума в замыкании множества Си !-! ( (2и — х, у); (х, у) Е Ся) . Отсюда заключаем, что д — Йи <ОвЕ, др и, полагая 2 -+М, имеем (21.10) . Рассмотрим, наконец, случай т( ~ф, Ф~ф, (21.15) го, л, фридман Поскольку 8(, )б открыты и не пересекаются, существует точка Х Е МЕ такая, что Я Е й( й 1б. Поэтому Ь т не покидает Я„, н так как 1Ч и(Х) ! ! Чй(Я) 1, то ! йл(Х) ! <С, если 1Х ! -~ . Следовательно, для любого е > 0 величина Йт.(Х) + ет + е(и — х) положительна в Сх, а величина ттл(Х) — еу — е(и — х) отринательна в Ст.
Устремляя е к нулю, мы можем вывестн, как раньше, что д д — ах(М) > О, — ал(Е) < О, дк да т.е. 1Чй(М)1 > 1Чи(М)1, 1Чй(Е)! < !Чи(Е)1, (21.16) и ее производнаа существует почти всюду и неположительна. Зто влечет уя(х) 7'„'() <— х — ао Так как у = у'„(х) имеет аналитическое представление, легко выводим следующую лемму. Л е м м а 21.3. Имеют место неравенства т'н(х) ОК~„(х)< нриа<х< х — ао Теперь выберем последовательность и= ио ~ ~ так, что (напомним (21.7) ) иия и Д,о-+) Л„й (Х ~ 1) в соответствующем смысле.
Тогда и, у, 'л удовлетворяют (21.2), (21.3). Из (21.6) и леммы 21.3 вытекает Л е м м а 21 А. Функция )' (х) удовлетворяет следующим свойствам: Дх) монотонно убывает при а < х <», х — ао (21.18) у'(х) у (х) < — лри а <х < (21.19) х-ао Следовательно, .Г(х) 1лп — — существует. (21.20) х х Л е м м а 2! .5.,'~ = О. откуда следует (21.10) . Завершив доказательство леммы 21.2, выберем произвольно 0 < ао < а так, чтобы прямолинейный отрезок, соединяющей (ао, 0) с А не пересекал 1т'.
Из леммы 21.2 тогда выводим, что Гн звездна относительно (ао, О). Следовательно функпия т'н (х) — монотонно убывает при а < х < и. х — ао 1 у = уя(х) = — /'(ях). /1 Ввиду невырожденности, если Х Е Гя и В (Х, й) не пересекает фиксированную гра- ницу для ия, то зпр ия(Х) > сй (с>0), в(х'„н)о (ол > о) следовательно, ио ф О.
Из (21.20) выводим, что свободная граница для ио имеет вид у = /о(х) = Вх. Имеем Еио = 0 всектоРе Х: Во < В < л, где 0<Во <Я,18Во =В, ио =0 на дХ, ио < у'/2 в 2'. Рассмотрим функцию и(т, В) = — то+ 'ип' ВР',(соаВ), а > 1, где Р„"(г) — функции Лежандра, определенные как в [84, с. 122] Лежандра порядка л) . Можно проверить (см. также [148], где Р,", из [84]),что Ее=О. (21.21) (Р„'' (г) — полинам совпадает с Р" (21.22) Л е м м а 21.6. Имеет место неравенство Р„'1(сот В) < О, если 0 < В < 2а — 1 (21.23) Яо ка з а т ел ь от в о. Из [84,с. 159,формула (27)] имеем Р"„(соаВ) > О, если и < —, 0< ~и + — )В < —, (21.24) Напомним.
что Р,"(") — однозначная аналитическая функция, определенная в комп- лексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной вещественной оси. Ввиду [84, с. 160, формула (1)] Р„'(т) = (о + 1)нР,'(Р), т комплексная, ив силу [84, с. 143,формула (1)] (21.25) Р„"(х) = 1нл [еы"/ Р"(х + 10) — е '" /т Р" (х — 10)], (21.26) 307 20* 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим ил (Х) = — и (ЯХ) . Так как и (Х) <уз /2, то Лз ил (Х) уз/2. Позтому существует последовательность /1„- такая, что ия „(Х) » - ио (Х) равномерно в компактных подмножествах ( у > О). Свободная гранйца Гя лля ил дается в виде если х вещественно, — 1 < х < 1. Позтому Р„'(х) = ~Р1 Р„'(х + 10) + е м1зР„'(х — /О) = (и + 1) с/ ~Р„1 (х + 10) — Р„~(х — /О)3, и правая часть равна величине (и + 1) е( — Р„' (х)) ввиду (21.2б) си = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
