Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Представим (гнпотетически) шар с радиусом а„, равномерной плотностью р. и общей массой М, вращающийся с распределением углового момента на единицу массы 1(щ). Пусть Тн л Гт'„— общая кинетическая и гравитационная потенциапь- наЯ зиеРгии соответственно, а Т„, Нгн(0< и<1) — кинетаческаЯ и гРавитапионнаа потенциальная зиергии единичной массы, расположенной на боковой поверхности цилиндра с радиусом г такого, что т(г) = д.
Показать, что Т с, Д < — < с, Д, с, д(д) < — < с,ц(д), !и! ' ' ' !Игя! где с,, сд — положительные константы. 5. ОГюбщить теоремы 3.1 и 3.8 ла случай модели задачи 2 из 5 2 предполагая, згоу(г) не убывает,1(0) =. 0,1( ) < и !лп г (1( ) — 1(т)) = О. т' 4. Быстро вра~нающиеси жидкости Теперь мы опустим предположения (3.30), (3.31) и выведем нижнюю оценку носителя решении одновременно для сжимаемого (задача (Е)) и несжимаемого (задача Бе)) случаев. Для произвольного 0 < д < 1 положим Вл -1п((Я: /' р(х)бх=рМ).
(4.1) ( ° гк)<Л) (4.3) Те оре ма 4.1. Существует положительная константа С, не зависящая от М, г', таты, что длл любого 0 < и < 1 С вЂ” ау+С вЂ” )! >д4(д). Я„1, В„Л (4.2) а, а. 1 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть х„= (В„, О, 0) . Тогда 0 < и (хи) = У'(х„) + Т(хи) + Л. ПосколькуЛ .О,то — 1'(х„) < к(х„) . йвиду монотонности 1(гл) 1'( л Гг)) У*(д) -Дх„)= 1 —,— г(г> к„г' 2йй и по лемме 2.1 М т' К~ 1 (яа) ~ С вЂ” 1п~1 + С йн а„ Подставляя зти неравенства в (4.3), получаем утверждение (4.2) . Обозначим а1 радиус наименьшего из шаров с центром в начале координат, содержащих область б, заполненную жидкостью. Для медленно вращающейся жидкости С1 <а1/а. Сз, где С, — положительные константы, не зависящие от М,!'. С лед с та не 4.2. Если д(1) > соД для некоторой нолоиительной константы со, то для любого фиксированного ео ) 0 а1, (2 — ~С, ,если !2Э ео. а, 1п(1 + Д) (4.4) где С1 — нолозгительная константа, зависящая только отсо, ео. О п р е д е л е н и е 4.1. Жидкость называется быс|ро вращающейся, если а для некоторой положительной константы ео, соа< Ч(т)~со'а для 0 ( т ';1 и положительной константы со.
(4.5) (4.6) Нижняя оценка (4.4) дополняется верхней оценкой, устанавливаемой в следующей теореме. Те ор е ма 4В.Если (4.5), (4.6) имеютместо, то а1/а, ~ Сз 0 1п(1 + О), (4.7) где Сз — положительная константа, зависящая только от со, ео. Сначала докажем теорему для несжимаемых жидкостей. В атом случае (4.5) и первое неравенство в (4.6) можно переписать в виде )2 М4/3 — ~е, (4.8) ~з( !пà †' > соуза, о«! т (4.9) (4.! 1) и С, Ао — некоторые яолозсительные константы (Ао достаточно большая), не зависящие от М,!, е,, со.
Отметим, что ввиду (4.6) шах ( !2, 4(1) ) К СД. Принимая во внимание последнее неравенство из (4.!0) получим утверждение (4.7) 334 где то,у, определены в (3.32) . Лемма 4.4. В несзгимаемом случае, если (4.8), (4.9) выполнены. то существует положительная константа В, зависящая только от ео, со, такая, что а| л Мцз 1 мцз т — <В1п ! +С вЂ” шах(!2, а(1)), (4.10) л где !2 определяется соотношением СД!п(1+с0) =АоД для несжимаемого сг!учая (напомним, что а,=ем'/, с) О). Остается установить !э лемму. Доказательство ее основано на нескольких леммах. Пусть Я* — решение уравнения СЯ У СЯ' ! /ез — 1п~1+ — )=Аь Мг/з ~ Мцз ) Ма/з (4.12) Мы получим требуемую оценку (4.10) в виде а, <В1п!1+С вЂ” шах(Я',Мг/з4(1)) . Мцз (4.13) Л е м и а 4.5. При условиях (4.8), (4.9) г/х г/у /з(пг(т)) СМз т' СЯ' ~ ,// з Ж Ь~ ~ ! 3 ) со !х — у! (4.14) Доказательство. Возьмем р=/-, где 6 — тор: г + (т — Я) <з, 3 г о 2я'зз Я = М, з < Я/2.
Согласно задаче ! из з 2 ду, Я СМ т СЯ ', >Ст'1п — > — !н( 1+ —,, ) - !х-у! з Я ~ МЦз) при условии, что х= (т, О,г),г! ь (т — Я) < з /2. Следовательно, г/х Ву СМ У СЯ ,/./ —,— — .~! — „-). !х — у! Я ч Мг/ гт Кроме того, СМ! У СЯ 'ч В (р) < — !и~1+ — ) + — Мцз) я' Вь!бирая Я = Я * и фиксируя в (4.12) достаточно большое А, находим, что Смз» СЯ» ч Ве (р ) < — 1п~! + Мг/з ) Используя неравенство Ее(р) <Ее(р),получаем (4.14). Л е м м а 4.6. Предположим, что (4.8), (4.9) выполнены и положим рл = М !шез(С» О (к; !х! <АЯ') ).
Тогда существуют положительные константы А, 8 (О < 8 < 1), не зависящие отМ,/, такие,что (4.15) Доказательство. План доказательства такой же, как в лемме 3.6. Однако для подробного доказательства нужно использовать кинетическую энергию, чтобы проконтролировать ту часть гравитационной энергии, которая соответ. ствует массе, расположенной в окрестности начю!а координат. Более точно, нужно 335 /2( ( )) о т Поэтому См См / / (и!)г/и! < /е. я о Я' установить неравенство .(( . < .)' ., и ,(хг(у )з(п) (г)) [»1»),»(у)<чн*) 1» — )»1 (»1»)< 1я ) 1. (»,уСС) (ха С) для некоторого «>О, не зависящего отМ,у.
Пусп О = ге <1'1 <1'г « ° ° ° 1'я = «Ж — разбиение 10, 11 ) такое, что я(»1 ) ю 1пез ( С г)Ц(г < г, ) ) ~ О. (4.16) (4.17) где Ыхс)у .(( (»1,)„1г)<„) 1х у) (».уЕС) У1< 2 У 11» 1 пу , 1>2. (»1,<»1»)«») (е<»(г)<О) 1х — у! (»СС) (гис) В силу (2.4),если 1'> 2, то «11М / Сг(х) т У)<С )' — 1~~1 + — )и»< (»; 1<»(*)<»1) г(х) ч М113 ) (хеС ) т)М г Сг) <С вЂ” '(Ьч )М1 ~~+ —,'„~. Мцз )' С другой стороны, правую часть (4.16) можно переписать в виде Х где ) (т(г)) ((~Э.. (»1 1 <»1») <»1 ) (хеС) У'(Щ -1) ге Выбирая разбиение так, что »1 т) — <2, — <2 т) (заметим, что»л, >О ввиду (4.17)), заключаем, что К)>11 пля 2 < 1' < и 336 Определим Й1= ((х, у); гт 1 < г(х) Ч1(у) < гт), где а Ч Ь=1пах(а, Ь ) н т)= = т(гт), о1 1п = т1 — «11 1.
Можно записать левую часть (4.16) в виде »» ~(х 1)у л Х )' =У+ Х 1й )х — у~ 1 з при условии /'(щ,/г) М4/3 положительной константой с,. В силу (4.9) доста- г/ ( Сг, Мцз ь Мцз,г — )( ° — ~ „ с некоторой достаточно малой точно показать, что «г Сг/ »1 /е .2 1+ ~С2 Мцз ( М2/3 ! 2 М4/з где сз — другая достаточно малая положительнаи константа. Так как г/<П/1', последнее неравенство следует из определения /1', если и выбрано достаточно малым (не зависящим от М, /). Таким образом, левая часть (4.16) меньше, чем сумма правой части и /1.
Теперь, полагая г, ( г, где г= !пав(г;у(г) > 0) (так что / г 4 О), завершаем доказательство (4.1 6) . Согласно (2.2) имеем СМ' / СА/1* /' и(х) дх < — !пР + (!х ~ХАЯ ) А/( 'т, М1/з ). Используя зто неравенство с достаточно большим А, а также (4.16), из неравенства (4.14) выводим, что СМ2 у' СЯ" ч ЫхИу К М (ах!» !у1<Аи ) (х —,У ! (г(х)»г(у) >чя») (х,у по) В силу (2.4) правая часть меньше величины (дя М)' /' САВ С вЂ” ' — 1п~! + В* «Мт/3 /' Заметив, что 1п 1+ (/з <В1п 1+ 2 з где В1 — константа, зависящая только от А, заключаем, что дл >6, где 6 — положительная константа, не зависящая от М,/ (ьч) .
Л е м м а 4.7.При условиях (4В), (4.9) имеем М Х ~ — «щах ( К', М' / д(1) ) « ' (А = и( )), (4.18) Ве где Ве — достаточно больягая положительная константа, зависящая только ог ее се. Дока за тел ьств о. Пусть ге =Вз шах (Я',Мз/за(1)), (4.1 9) где Вз будет выбрано достаточно большим и зависюпим только от ее, се. Тогда в множестве 337 32.
А. Фридман (ге <г<2го. !2! <го ) должна быль точка х, которая не принадлежит 6, и, следовательно, и (х) < О. Полагая х =х в соотношении и = 1'(х) +Т(г) + Х,получаем Л < — К(х) — г(г) (г =г(х)), (4.20) По лемме 4.6 СЗМ г'(х) > —; го здесь В, > А. Кроме того, 1'(т(г)) С, С вЂ” Т(Р)= ) гтг< — уг = — М 'И1).
э з 2 Подставляя эти неравенства в (4.20), получаем СЬМ С СЬМ + М41з гь го 2гь в силу (4.19); это дает (4.18). Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 4.4. Возьмем точку х' на границе С такую, что !х'! =а,, Так каки(х') =О,то ! Х != К(х')+~(г,) < К(х') (г, =г(х')). (4.21) Согласно (2.2) СМ Г Са, Р(х1) К 1л!ч1+ юз ) . а1 М (422) и Аь — (достаточно большая) лолозштеаьная константа, зависящая только от ее; С вЂ” константа, не зависящая от М, 1', еч, сь.
До к а з а т е я ь с т в о леммы 4.8проводптсяпо такой же схеме.как доказательство леммы 4.4. Здесь мы определяем В' из формулы СВ' / СЯ' 'ч — 1п ~1 + — ) 'Ао(',! а, а, (4.24) Как и раньше, установим несколько лемм. Л е м м а 4.9, В углов ичх леммы 4.8 р(х) р(у) ут(гл(г)) з — — — — с(хФ ( —., — р( )дх+ я' я' !х — у! я' гз СИ' у СВ' ' + С)' р'(х)дхч — -!п~1+ —— а, (4.25) зза Учитьюая поотеднее неравенство и (4.18), нз (4.21), получаем утверждение (4.13). Далее рассмотрим вариант теоремы 4.3 в сжимаемом случае.
Достаточно установить следующую лемму. Л с м м а 4Я. В сжимаемом случае лредлояожим, что (45) и верное неравенство в (4.6) выполнение Тогда суи1ествует лолозазтельная константа В, зависящая только от сс, сь, такая, что а, / а1 — <В1п~1+ С вЂ” (шах (О, гг(1)), а, а где Ц олредеаяется ло форлгуле Са 1и(1+ Сь =Ась (423) До к а з а тел ь с т в о. Возьмемр=др,Т-, гней — тор: г ь(т — А) <з~, ' с' 2лтер,т'А =М, з < Я,'2. Тогда, аналогично лемме 45, Р(х) Р(У1 СМт т О) г (зя У,); г(х с(у Э вЂ” 1п ~1 + ).
я' я' 1х — у1 Л а' Кроме того, т' (пг(т)) СМ Х Р(х) дх < — /ое, э Ег Наконец, р'(х)дх< С(йр )г(»М Со~(» г(зМ»(з Здесь использовано соотношение т = 1 + 1ф и определение а,. Теперь заключаем, что СМ' у СВ'(зя 'ч СМ Е(р)< 1п 1 ь ь 1з +Сд~Фрт(зМ»(з Е 1, 1 Е' СМ* ~ )' Сдцзк~ С. СЕ = — — ~1п~1+ у,— — 'Π— — В' ~. т)» 11 ч а„11 а, (4.26) Если выбрать 8 так, по В = С~В/а„где 8 < а < 3 и С, — достаточно большая фиксированная константа, то первый член в правой части (4.26) будет мажорировать третий член. Далее, возьмем Е = Ь'* с достаточно болыпой константной А так, чтобы удовлетворялось условие з < й/2 и первый член в правой части (4.26) мажорировал второй. Вниду того, что Е(р) <Е (р), получаем (4.25) . Л е м м а 4.10. Предположим, что выполняются условия леммы 4.8, и пусть Рл =М ' 3' р(х)дх.
11х1<лЯ ) Тогда существуют положительные константы А, Ь (О < б < 1), не зависяще от М, у такие, что ил >8. (4.27) Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству леммы 4.6. Сначала необходимо установить оценку Р(х) Р(У) ахну < (т(х>,.(т)<чя') 1х-у1 )2( ( )) ) р(х) а(х. (г(т)<чл~) т Используя такое же разбиение, как в доказательстве леммы 4.6, находим, что един- ственное, что следует проверить — зто неравенство Ст; з — 1и ~ 1 + — ) < с, О, а, ~, а, 22" где т, < ПЯ', с' — досшточпо малая положительная константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
