Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Выбирая Б = 5/4, р = 3/4, заключаем, что ! Е ол(х)[<С2г!х)Р'2, если [х[<1. л>а+2 (5.22) Полагая Р(х) =Рь(х)+ Х о„(х) л <Фь2 и вспоминая (5.15), (5.18), (5.20), получаем утверждение (5.11) для функции Г (х), определенной в (5.10) . Из определения Гт (х) и (5.19) следует, что ! 52 „Гт (Х) ! < СП' ! Х ! л где [й(х)[<С[х[л', ! 'ч й (х) ! < С! х ! л' ' (Б > О, С> 0).
(5.27) (5.28) 347 Используя зту оценку, можно оценить '7„Ге (х) таким же образом, как выше оценивали Ге(х) с некоторыми небольшими изменениями. Находим, что (5.12) выполняется с Ге вместо Г. Так как ! Р„"(и) ! < Спз (что следует по индукции, в силу соотношения Р„(и) — иР„,(и)=прл 1(и); см. [120, с. 127!), можем получить дпя '7,12(Х) раЗЛОжЕНИЕ, аиаЛОГИЧНОЕ (5.20) С СООтастетеуЮщИМИ Ол(Х), ВСЕ Ещс удовлетворяющими (5.21), Оценивая оставшийся член, как и раньше, завершаем доказательство (5.12).
Следующая лемма есть лемма о невырожденности в духе единственности продолжения. Лемма будет использована в 3 17, но основная часть доказательства будет необходима в этом параграфе. Л е м м а 5.3. Пусть с(х) — ограниченная функция в В, С Ттз, удовлетворяюгцая условиям [22о(х) ! <С[о(х)[~ (С>0, и>1), (5.23) о(0) = О, (5.24) и(х) щ О.
(5.25) Тогда существует однородный гармонический полинам Нл(х) ф 0 точной степени п > 1 такой, что в В 2 о(х) = Нл (х) + К (х), (5.26) До к аз а тел ь с тв о. Без потери общности можно предположить, что 1 < <а<2. Ввиду эллиптических В"чэценок и принадлежит С'. Поэтому!п(х) !( <Се ! х Е Следовательно. ! 3!и(х) ~ < ССее!х ! По лемме 5.2 с(х)=Р,(х)+Г,(х) в Вы где Р, (х'! — гармонический полипом степени 1а) ч 2 = 3 н 1 Г (х) ~ = С, ! х | е+ в В, .
Если Р,(х) тэ О, то сразу получасы утверждение леммы. Однако с совпадает с Гы так что ! Ьо(х) ~ <СС: ~ х,'~Шез) в В . Применяя лемму 5.2 еще раэ, заключаем, что если о(п + 2) нецелое, то у(х) =Рз (х) + Гэ (х) в Вы где Рт (х) — гармонический полипом степени а„= (о(о + 2)] + 2 и ~ Гз(х) ! <С, !х1~(~ "з)+ . Если а(а+2) — целое, то вышеизложенное оетаетса верным с а(а+ 2) — е вместо а(а+ 2) дяя некоторого произвольного е > О.
Если Рз (х) ~ О, доказательство'леммы завершено. В противном случае опять применяем лемму 5,2. Действуя таким образом шаг за шагом, заключаем, что если утверждение лем. мы неверно, то !Ьо(х)~<се !х1~м в В„ (5.29) с, ~ и(х) 3< — Се 3х!~'" в В,, (5 ЗО) (33 ) Рч где СЕ >2 ю ил 3 . Отметим, что эти неравенства илзеют место сб таким,что 33 =03 1+2)а — 33 (5.31) где д„,>0 и Вм — нецелое.Можноьыбрать33„, так,что 0<0 <1 и (13„,)явс, с>0 (с независитот ш) (5.32) Лля всех яь Оценим 33м, Сс», по индукции. Индуктивное предположение следующее: 33м >Аам (А >О), (5.33) 33м <Вп (В>0). (5.34) с, > г'"', (5.35) СЕ, =йод Фо>1 о> ! ° лэь <33) (5.36) для всех яз < л, где 33„, = с т, 3)а'„с > О. Из (5 31) с т = л + 1 тогда имеем 1=1 !Зяби э > (33я + 2)а — 1 > А а"" + га — 1 > Аа"" ', так что (5.33) выполнено для тп = и + 1.
Далее, логарифмируя обе части неравенства 33 +, <(33 тг)а, 34В получаем 2 1пб „<«)по +!о!5 + - —. бнс Суммируя по т, 1 < т <и, и используя (5.33), имеем 2 1пбсс.сс <л1пи+1пб, + Х вЂ” < н1па+С нс=с Аи Это дает (5.34) для т = н + ! Поскольку (5.31) имеет место с т = н, т = я+ 1, и так как (5.29), (5.34) выполняегсн с т = и, то по лемме 5.2 !Ьо(х)!<(Сса„фн) !х! "" в В,. Таким образом, можно в качестве Ср, взять произвольную положительную коня+1 станту такую, что с„„„> (сс,„б„)". (5.37) Остается показать, что если лс-1 ср, =к,к то и (5.37), и (5.35) (с т = я + 1) выполняются.
Теперь в силу (534) с сн = н + 1 имеем нч1 2 "+ <2 <Ср„„, если К>2, Рнсс >В. Как и для (5.37) последнее легко проверить, используя (5.34) с т = н + 1 при уело. вии, чгос в определении Р достаточно большое и зависнтотКе, К, а. Из (5.30), (5.32), (534), (5.36) получаем неравенство н я+1 !О(Х)! <СВинь'КО'" !Х!и'" в В,.Если !х!<(1/К)~с~ .то 1о(х)! «~ Ср где р = р (х) < 1. Полагая н -, заключаем, что о(х) =— О, если ! х ! < (1!К) Пусть ре < 1 — наибольшее число такое, что о(х) = О в Вр . Если ре <1,то можно повторить предыдущие рассуждения и показать, что для некоторого р, > 0 имеем и — = 0 в любом шаре с центром из Вр и радиусом р,.
Так как зто протнворечитопредепениюре, то ре = 1, т.е. и=ОвВ,. 3 а м е ч а н и е 5.1. Из (5.30) мы видим,чтоо имеет нульвх=Олюбого порядка. Согласно хорошо известным результатам по единственности продолжения (гм. !15, 73) ) можно тогда сразу вывести, что о и О, даже если и = 1. Однако приведенные выше рассуждения потребуются в дальнейшем. О и р е д е л е н и е 5.2. Число Я > 0 называется точкой сгущения колец, если существует последовательность колец Пю, такая, то с Йсат(И), Ссн )-~0 при !'-+' .
с Т е о р е м а 5.4. гсисссо колец конечно в каждом интервале ( е < т < ' ), е > О. До к а з а т е л ь с т в о. Если утверждение неверно, то найдется число А >О, которое будет точкой сгущения колец. Полагая И = д(х) = ((г — Я)' + гз) Пз, если .т = (г, Р, г), докажем по индукции, что и удовлетворяет неравенству т(н(х))~СР Р ОУ«(е, С, >Л™); (5.38) где константы Д„, СРм бУдУт опРеделены в ходе доказательства по индУкции, а с!е, д! — положительные константы, не зависящие от т Записав равенство 11(и — У) = — у(и), мы можем применить лемму 5.2 для вывода разложения ° -~=Рм+ ~., (5.39) где Рм — полипом степени ( б„, ] + 2 и !!Р (х)! <СС~ !5 г! м Сне зависит от пь Здесь требуется, чтобы !3„, было произвольным числом таким, что (5 40) положительным не целым (5.41) Аи — (бт) >с, с >О, с не зависит от лз, Используя соотношения (5.2), (5.4) и (5.38), имеем ! пз (Я) — т (г ) ! = ! 2 л ) з /р (з, г) туг Из ! < С ! ( у (и (з г Г 0)) туз ! < ССР Записывая ~Ь г!з У(г)=Й~)+ Гу'(пз(тг)) з + ) ()з)Ол(В))рл(з) лз(!1)) з л Я Ю где Л лежит в интервале с концами А, г, н, разлагая 1/зз в первом интеграле по сте- пеням ю — Й, находим, что 1Р 1+з ((г)= Х а (г — я)у+0(!г — я ! ~ ).
(5 42) у=о Поскольку и и Р зависят только от г, г, то же верно для Р„„т.е. Рм = Р (г; г) . Из (5.39) тогда следует, что и Д„, = Д (г, т). Полагая г = О в (5.39) и используя (5.42), получаем !Рм 1~2 и(г, 0) = Е Ьу(г — Л)у+Я~(г, 0)+ 0(!г — й! м ). у=о Функция и(г, 0) колеблется бесконечное число раз, когда г приближается к Я с одной стороны.
Это означает, что все коэффициенты Ь; должны обращаться в нуль. Заметив, что 00г — Л !~ ) < СССР !г — я !Р где Сс не зависит от т, и выбирая%> Сс, получаем, используя (5.40), что и(г, 0)<С1СР 1м !г — Я!, С, независитот лз, (5.43) если Д„> 1. Поэтому ' 'у(и(г г))< у(и(т О)) < се(С СР Д„!г — Я !Рм+з)Р Таким образом, индуктивная оценка для т ь 1 следует с (5.44) где В„, Е [О, 1) выбрано так,что бю+, — [5)„,[е>с > О. Теперь действуем аналогично доказательству леммы 5.3 в соответствии с (5.30). Действительно, бю, Ср можно выбрать как в (5.33) — (5З6) (заметим, что (5.37), (5.31) заменены здесь на (5.44) ) .
Установив (5.38) с соответствующими б,„, Са, далее показываем, что 7(и) == — = 0 в некоторой окрестности (В, 0), приходим к противоречию. Рассмотрим теперь несжимаемый случай. Здесь и удовлетворяет уравнению Аи + 4Ис = Ь, С = ( и > 0), (5.45) С снова задано в виде ((г,т); [г[(ю(г), г>0), и мы исьользуем определения 5.1 и 5.2. Непрерывность Р(г) имеет место, как и выше. Т е о р е м а 5.5. Если Ь(г) аналитическая ло г, г Е Ло то 1г(г) аналитическая но гЕ Лг. Д о к а з а т ель с т в о аналогично доказататьству теоремы 5.!.
Главное отличие состоит в том, здесь и ЕС дляпроизвольногоО<а(1 (вместо и Е С а). Следовательно, мы должны записать для ф, т1 систему эллиптических уравнений в слабой дивергентной форме, именно: Н(ф) = (Ь(г) — 7(уз )) фа гг(Л) = (Ь(г) — 7( — уз)) Лэ где НЯ') = Х вЂ” Гя+ Ввиду С'" .оценок Шаудера для таких уравнений [ЗЬ[ выводим (работая с конечными разностями), что $, Л принадлежат Сз ' вплоть до уз = О. Далее можем действовать как в теореме 5.1. Т ее р е ма 5.6.Если Ь(Я)>0 для некотороео В >О, го В есть гочка сгуиге. ния колеи. Доказательство включает оценки базы и толщины малых колец (см. задачи 3 и 4), а также асимптотической плотности 1е(г) при г - В.
Подробности см. в [58)[. Задачи 1. Пусть Сл — кольцо в сжимаемом случае с базой Л = (а, Ь). Предположим, что и„(Ь, 0).=0, и„,(Ь, 0) чьО. Показать. что ЬСл вблизи (Ь, 0) имеет вид г=+д[г — Ь1+0([г — Ь[""1~) (д>О). 2. Рассмотрим модель из задачи 2 б 2. Предположим, что Х(г) = 1, если г > 211; 0 < Цг) < б, если 0 < г <Яг б (У(г) < 1, если Л <г<2г1, где Я >О, О<б <1. 351 Показать, что для достаточно большого М любое решение р(г, г) задачи (Е) удовлетворяет условию р(г, 2) = О, если » (Я. [Указание, Если ,/ Р =Ма >О. г ОО(Я перераспределить массы в ( г(х) < Я ) и а, < г ( а, + 1.) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
