Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Как и выше, опо следует из определения Я'. Лалее проверим неравенство СМ' У С —,( ° 1< )' В' ' а, / (1х1р~г~>яп') ( г(0 «.( г» чл' » р(х) р(у) — с(х ду, ~х — у! гце А — фиксированная достаточно большая констанвк Наконец, доказательство завершается применением второй оценки из леммы 2.1 к правой части последнего неравенства.
Ле м ма 4.11.Вусловияхлеммы 4.8 М ! Х ~ > — (шах ( Я", а. д(! ) ) 1 ', (4.28) Во где Вр — достаточно ботьшая положительная «онсганга, заепсяшая тилько ог с,, ср. До к аз а тел ь от в о. Пусть гр = Вспах(В*, а,~((1)), где В1 — достаточно большая положительная константа, В мпожт .гае гр <г<2го, ! т! <го существует точка х, в которой р(х) достигает своего минимума. Очевидно, р(х)гр < СМ, гак что в силу (1.10) ~М ~'~а С( — ) )и(х)= г'(х)+Х'(г)+Х (г =г(х>). ~ го Следовательно, СЬМ С ум ~'/а р < — — — + — а Ма(1)+ С~ — ) 2 ~ 3) гр гр "о. Сбм г С а, С уа, Хзль 1.1 8 го 8 гр / Естественно ожидать, что когда "скорость вращения" Д станет большой, жидкость будет находиться в тонком экваториальном слое.
Объем. занимаемый жидкостью — множество С: (429) С= ((г,г); 1т1< р(г) 0<г<" ). Лля произвольного 0 < д < 1 определим ла = пах чйг1, г>яа где В„определено и (43 ) . чпсло Й„/Рв нарыв ется коффипиеигсчи сапа ценноспс 340 здесь мы вычислили последний член,используи (2.14) и (3.1). Поскольку В'>А,а, для некоторой положительной константы А,, зависящей только от со, утвержцение (4.28) теперь следует из определения г,. Локазательство леммы 4,8 можно закончить так же, как в лемме 4.4. Из следствия 4.2 и теоремы 4.3 имеем а симптотическую оцеяк у (г а1 — < — < СД!пД при Д-~ С1п Д а„ Те о ре ма 4.12Г Если выполнена (4.16) и (г достаточно большое, то Гга — <С (2- ()п! +В", н и (4.30) где 3 — )) 3(1 + 4)3) Р1=, Рз =" 2(1+ 2!1) 2(1+ 2ГГ) как в сжимаемом случае (О < )3 < 3), так и в несжимаемом случае (!) = 0); С„зависит от и и се. Для несжнмаемого случаи (4.30) озедует из оценки: пуси й ф) = зпр а(т); т» й есина >АеМ'Гз,то Ь ' Д ~™Гз < Се(, е( М1гз (4.3 ) здесьАе (догтаточно болыпая) нее — константы.
Доказательство теоремы 43 2 л соотноп)ения (4.31) зависит от верхних оценок )ттУ! нниъмихоценок ! У., ! (педро"зности слов (100)з! ). Задачи Г:счз У ('Лн '~ У - 3/2 !Гз! ?1з ч — — — ~!п1+ зоР Уч:с М' Р» Гз а ае Использун ~4(ре) = тар т, выведем, чгг 1 с Мз)зосг!з с МзГзз)~з ( из,. 2 Сао т Г'он'т 1 + — 1п 1+ — и)', если р> р, где Ф(г) с.м2/3 1т е Ф,з 2 Фиксируем и = Л(е;2М в (т) и испопьзтсм "асма Г4,2), чтобы вывести неравенство 1'(Ме/3ЛГ) — — — — -'~ тА !п (1 + СА ) асМ здя и:которого А > очах!А.!), М ~туз — — 'ч(1+(А ) ~М/ .1 341 1, Доказать, что (4,31) влечет Г4,30) в неснимаемом случае. 2.
Доказатгч гго угверкдсние теоремы 3.9 остнегся верчым плн М:а Мс ври уо повии, что)(п) >Олля всех О< те -' ). (У к а з а н н е. Достагочпг вывести апРноРнУго оценке шгЯ Ое = зпР Р' се .' ~Р. =Р„ГМ 1).)(олохснм А -:Г'ша, О< и < 1.н поьзмим, ноптяЛ >1 СМ4(з ро(з < А!п(1 +А). (2(ме/3М) Если А < 1, то (4.2) дает строгое неравенство.» 3. Пусть /, (л() = е/ (л() (/ (я() > О, если (и > О) .
ОГюзначим ре решение, соответствующее (, (л(), М (построенное согласно задаче 1). Пусть а( (е) = аир (! х !; р, (х) > О ) . Доказать, что если М > СоМо, то а,(е)/а, <С,е~, где Се, С2 — положительные константы, зависящие только от Д и (( (1) . [У к а з а н и е. Следуйте доказательству теоремы 4,1 в сжимаемом случае.) 4. Установить оценку: если /! > АМ (з, то ~ 5(»г(х)! <С(ма) (2 (х=((т, О,г)) в несжимаемом случае; А достаточно большое и С не зависит от А.
[У к а за ни е. Отметим, что ! 5( Р ! <,/ ! х — у ! 2((у, С = С' Г.( С", с С = С О ( ! А — г(у) ! < Л/2». Используйте 2я Щ о ы — Ь сот В ( 2 ! 2)2(2 для оценки ./, ~, < /'./ с' !х — У! (~л — г!<Я(2» [(2 — (2) +(г — Я) ( ° (!» Кроме того, СМ О ((г г/2 <— ( ! Я вЂ” г ! < Я (2) Л ( !г ! < т!г)» Рассмотрите соответствующую задачу на максимум; см. лемму 2.1.) 5 5. Кольца вращающихся жидкостей Пгяюжим дти 1 ди дти 2 дг' г дг дг' Если р — решение из теоремы 3.1, то и= $'+(+ я (5.1) непрерывна по Гельдеру, и так как (5.2) то гг также непрерывна по Гельдеру. Применяя лапласиан гь (в ггсз) к (5.1), получим А и + 7 (и) = й (т), (5.3) где 'г(и) = со(и')е (со > 0), 2я 2 (1') (пг (т)) Х гг (т, т) г)т — — 1'(тл (г)) Мтг г4 (5.4) (5 5) В атом параграфе мы предполагаем, что /з (пг) принадлежит классу Сг гг!О, 1).
Так как !тл(т) — пг(з) ! <С! т — з !, тп(т)<Стг, (5.6) и по строгому принципу максимума и, < О, если г > О. (5.7) Область С, занятая жидкостью, имеет вид (4.29). Используя (5.7), нахолим, что Ф(т) равномерно непрерывна в каждом множестве (О <т<Я; чг(т) >е), где)т >О, е > О. Следовательно, д(т) равномерно непрерывна при 0 < т < ~~. (5.8) О п ре де лен и е 5.1. Пусть (т > 0; с(т) > 0) = С)Лг, где Лг — открытые непересекающиеся интервалы (аг, Ьг) и чг(аг) = р (Ьг) = 0 (если аг = О, то чг(а;) кь 0). Множества 6„= ((т„т) ! а ! < Чг(т), тЕ Лг ) называются кольцами, а Л.
— базой кольца бх . ! г Т е о р е м а 5 ! . Если й (т) (в (5 3) ) аналигическач по т т Е Ль то гг(т) аналитическая по т Е ),г. В модели задачи 2 из а ", /г(т) аналитическая по т, если з(т) аналитическая по т, Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем Л = );, а = а;, Ь = Ьг. Так как и (т, чг(т)) = О, и, (т, гс(т)) Ф О и и Е Сзьа, то можно применить теорему о неявных функциях и получить, что гс Е Е С +а(Л). Для доказательства аналитичности мы следуем методу з ! пз гл. 2, с использованием преобразования годографа У = х,, Уг ..
хз, .Уз = и(т, з). Так ьак и чь О, можно решить )равнение г = гу()О. Пустьу = (у;,уг). Определим функции чг, л следуюгоим образом: фг'О') = вг(У). е'ли Уз > О, ЛО',Уз)= и'(г ', — уз), синг т, Вь О, выводим иэ (55), что )г непрерьвна по Гельдеру (с показателем Р) при т > О. Из (5.3) и эллиптических оценок тогда заключаем, что и б Сз ~а вдали от оси т.
Напомним, что и строго убывает по . при г > О, Кроме того, поскольку и, < <О, если т > О, то из (5.3) имесгл Аи, - О, если г > 0 (в смысле распределений) Тогда — на у, =О. Уз Уз Кроме того, ф и т> удовлетворяют при уз > 0 нелинейной эллиптической системе (см. гл. 2, (1.27) ) г(Ф) п(т) 7(уз) [т (уз +уз) ] г(Л) = п(т) 7( Уз) где Тга= "",,Е й Ь Е и (; = дГ/дур Используя стандартные методы теории эллиптических уравнений можно теперь показать, что производные />м / />м существуюти непрерывны; их можно оценить величиной СсС (и — 2)! Чтя>2. Таким образом, зй, ч аналитические по у . Так как свободная граница з = зз(т) имеет вид г = ю (у,,уз, 0), получаем аналитичность д. Мы хотим доказать, что число колец конечно, но сначала нам потребуется две леммы.
Обозначим В, шар в А~ с радиусом т н центром в начале координат. Л е м м а 5.2.' Пусть >> — положительное нецелое число, /> > />е > 0 и о(х)— функция, удовлетворяющая неравенству ] Ьо(х) ] < Се [ х [~ в Вз, Св > 2Е. (5.9) Тогда о(х) =Р(х)+ Г(х) в Вю (5.10) где Р(х) — гармонический полинам степени [>>] + 2 и ] Г (х) ] ( СС вЂ” ] х ]~ э в В,, '<В> />з ] чГ(х)]<ссе ~ [х]г'' в В,, <В> <Р>= ш1п </1 — [/>], 1+ [/>] — Р); (5.11) (5.12) константа Сэависит только от/>е и мажорант ] о(х) [, ] то(х) [при х Е ЭВю До к а э а тел ь от в о.
Пуатье, =(1,0,0).Тогда (см. [120,с. 125]) 1 Х [х]" Р„(созе), [х — е,] в=~ гле соз <> -' хз/] х [, а Р„(и) — полинам Лежандра порядка п. Отметим, что Г„(х) = = ] х]" Р„(соей) — однородный гармонический полипом степени и. Так как (см. [120, с. 128]) [Р„(и>[ < 1, если [и [ < 1, то ] Г„(х) ] < ]х[". Более общо, если ! х ! ( ! у !, то 1 1 !х — у! !у! х у !у! !у! — х г„м;,'— где Мы — ортогональное преобразование, переводящее еа в у/! у !. Таким образом, 1 1 Е „, 1'„'(х) (!х!(!у !), (5.13) !х — у! ы=з !у!" ' где Геы (х) — однородный гармонический полипом по х степени л и !Гы( )!<!х!".
Теперь по формуле Грина д 1 1 д 4яи(х) = Х и(У) — и(у) с(ЯУ— ав,( ды /х — у! !х — У! ды 1 — Х 5и(у)ЫУ = 1з — 1з. в, !х — у! (5.14) (5.15) Разобьем последний интеграл на два: 1 12 ~ (У)Ф'+ В, о в<, +,~В) ~ 1 + ~~и(у)оу 11 +12 в,1в(„1!в)~„! ! х — У ! В1а имеем ! 1ьи(у) !(Св(1+ 1/!))в1х !е. (5.16) абсолютно и равномерно сходятся; можно, следовательно, интегрировать их почленно. Для л ( В + 2 добавим к л-му члену 1 12 3 „Гы (х) о и(УИУ в 1.~~+ ИВ.~ !У!"" интеграл 1 1,"= ( —, Гы(х)Ьи(ы)ду. и "вы+ив>ь~ !у ~ так что ! 1з ! ~! ССВ ! Х ! Вьт (здесь использован тот факт, что интеграл от 1/! х — у !, взятый па шару с центром в О, меньше, чем интеграл по шару с таким же радиусом, но с дентром ау).
ДлЯУ ЕВ~~В1,~з!В)~„~ РЯДЫ 1 „-, Г„"(х)л (у) Сумма 0ч(х) Хг +1з есть однородный полипом степени и. Кроме того, в силу (5.9), (5.14) !у !~ ! Х," ! ~ ! х !" Са 3', с7у ч: в, ~в(,~,~,,1,„, гу !"+' С г 1,а<с,!.!. 8 — (И 1. лХ где С' — константа, зависящая только от фе. Следовательно, СД+ 2) Х !"! (' )! !"', ь<ачз 8 — (д! Член Х" с л ) Д+ 2 оценивается следующим образом: ! !Х," !<!х!" С У вЂ”, !у !~пУ< "1в( О 11.1!у!"" Суммируя по л, получаем оценку величиной Льз ' С !Л+з (л+ 1) л — 1л'! Собирая вышеприведенные оценки, заключаем: (5,17) в терминах гармонических полиномов. Так как (см. 1120, с.
128] ) л(л+ 1) !Р„(и) ! < (5.19) то Х~(х)= Е о„(х), я=о (5.20) где о„(х) — однородный гармонический полипом степени л и ! аа(х) ! <СЬ"!х ! ДлЯ пРоизвольного Ь ) 1; (5,21) С зависит от Б н мажорант ! и !, ! Ч о ! на ЭВ,. — Хз =Ре (х) + Ге(х), (5.18) где Ре — гармонический полипом степени (!11 + 2, а Ге ограничена правой частью (5.11) . Иэ (5.13) и определения Г~г (х) получаем разложение для д 1 ау; !х-у! Если ! х ! < Р, где РБ < 1, то 2 ол(х) ! <С Е Бл ! т !л ~,'СБР[х [Р~ л>ЕЬ2 л>в+2 где С' зависит от С, Б, Р. Если р < ! х ! < 1, то ! Е ол(х) ! = [У2 — Х о„(х) [< л > ~Р-2 л < Р+ 2 <С+ Х ! ол(х) ! <С+С г. Б < л <а+2 л <а+2 Б~гьз <С'Бе+ <С'~ — ) [х [е' Р с другой константой С .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
