Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть С л — кольцо несжимаемой жидкости, Х = (а, Ь) . Положим ! Х ) = Ь вЂ” а, Ьл = шах Р(г). Показать что Ил <С~11 гЕЛ [У к а з а н и е. В силу строгого принципа максимума и,(0,2)<0; если Ьл= = р(г ),вывести оценку Ьл <Си(г; 0) и показать, что и(г, 0)<С[Х)2.] 4. Если в задаче 3 Ь(Я) > 0 и»йа)(Я, Х) достаточно мало, то )СЛ1>с)Х) (г > 0).
[У к а э а ние. Имеем и <СХ' в Сл. Если !Сл[(еХ2 и Я, =(»ЕХ; р(г)> > [Х~/8), то ~Я, ) (8еХ. Если гЕЯ2 = ХХЯ2, то и < — С!Х!2 при ) Х)/2<2 <!ХЬ Показать, что з 6. Вихревые кольца Вихревые кольца мсжно получить, выдувая резко дым из округленных губ. Дым является лишь "окрашивающим" веществом, делающим движение видимым. Другой пример получается, когда капля чернил примерно с высоты 3 см падает в стакан воды.
При описании движения устойчивого вихревого кольца в невязкой несжимаемой жидкости мы будем испольэовать цилиндрические координаты х = (г, д, г) и соответствующий ортогональный базис 1„, )а, !,. Вихревое кольцо симметрично относительно оси 2 и перемещается с постоянной скоростью Иг в положительном направлении оси 2. Относительно осей, фиксированных для данного кольца вектор скорости имеет вид «(х) = ьг(г, г) ), + й(г, 2) 1, (6.2) «(х) = — )а1« при !х [ -+еь. Вихревое поле ь)(х) = «Х «тогда имеет вид м(х) ш(» 2)В, ш(г 2) В+па ° . (6.3) ,/ и >-с~Х!~,,/ и'<Се!Х1~, (а) В!Л02 В~ЛО2 где Ва — круг с центром (г«,0) [гь = (а+ Ь)/2) ирациусомб. Выразим и(ге,О) через функцию Грина в Ва и проинтегрируем по б.
Тогда и(га, 0)=с ) и — ) ТАи. В|Л 02 В~Л~/2 Используйте (а~, чтобы прийти к протвворечню.) 5. Если / Ол)( Сгл'+~ с некоторыми С> О, б >О,то число колецв сжимаемом случаеконечно (для 0<»<' ). 6. Если в сжимаемой модели в задаче 2 из з 2 функция э'(г) аналитическая по г при 0(г(,то число колец конечно.
7. Обобщить лемму 5 .2 на случай л = 2. Уравнение Эйлера здесь такое: ч ° '7ч = — 17р, (6.4) а уравнение сохранения массы— ч -»=0; (6.5) прн л 1 ( ф+ 1ртг 2 (6.7) уатавие (6.2) преобразуется к виду 1 — 117ф1= о(1) прн 1х)- т (6.8) Функция 'ч есть функция тока дпя соответствующего потока, который неподвижен на бесконечности. Из (6.3), (6.6), (6.7) имеем 1 ~ 1 от= — — ЬФ = — 2Ф, (6.9) т т где д' 1 д дгп д /1 до~ дае 2 + т + дтг т дт дгг дт ьт дт,т 'Эгг (6.10) Отметим, что уравнения Эйлера выполняются дпя некоторого р если и только есин 37 Х (ч .
~7 ч) = О. (6.11) Заметив,что ч »=Г ю=О иисгюпьзуятождество ч ° ~7ч = (1/2) 7!» ! + ьт Х ч, мы можем записать 7 Х (ч ~ч)= 17Х(ет Х ч)= ч ~7ю — ат ~7». Кроме того, ч (газ=(» [7ьт))е, Ит ее 17»=со — 1е, т Такам образом, если мы положим 1 3(т, г)= — (т,г), т (6.12) то (6.11) сводится к уравнению ч ° 371'= 0 (6.13) 353 23. А. Фридман неизвестное давление р также должно быть определено. Из (6.5), (6.1) мы видим, что существует функция (~ такая, что 1, 1 ит = — — Ф „и' = — к,; (6.6) т нли, ввиду (6.6), д(Ф, 5') = О. (6.14) д(г, г) Последнее уравнение„в свою очередь, зквнвалентно функциональной зависимости Ф(ф„(') = О л с «7Ф Ф О.
Таким образом, в частности, если мы найдем функции 5, ч«такие, что 5 =,/(«/« — 7) (7 — константа), (6.15) л и если «/«, 5' связаны формулами (6,12), (6.9), т.е. 1 — — ха=1, (6.16) (6.1й) (6.20) 'Тогда (6.16) выполнлетсл п.в. и -г — й = О(! х ! з) — ! «7е ! = О(! х ! з) при ! х ! -+ г Г (6.22) Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть ы(х) = г ( (г; з)ьз. Тогда 1 1 В(х) = — /, ы(х') «/х 4я, !х — х! из (6.23) 354 то физические уравнения (6.4), (6.5) будут удовлетворяться. О п р е д ел е н и е 6.1.
Константа 7 называется потоком, /'(г) — вихревой функцией, и(г, т) = «/« — (1/2) й'г~ — 7 (6.17) — приведенной функцией тока. Из физических соображений предполагается, что функция Дг) не убывает на ( —, ) и /(г)=О,есяиг<Ои /(г)>О,если г>О.Комбинируя (6.15), (6.16), получаем ~.и+ гз/'(и) = О. Отметим, что зпрр 5 (вихревое ядро) характеризуется условием зпРР1' С ь«, где й = (х С /1 з; и(х) > О ) . (6.19) Мы ищем решения, для которых й компактно.
В последующем нам понадобится обратная к — (1/г') Е функция. Она пред- ставлена в следующей лемме. Лемма 6.1. Пусть гг'соз(8 — В') К(х,х )= 4я!х — х ! где х = (г; 8), х' = (г', 8', г'). Дал любой ограниченной измеримой функции 5(г, г) = 1(х) с компактным носителем в лз положим й (г, з) = «/«(х) = / К(х, х') 5 (х ') дх'. (6:21) лэ удовлетворяет уравнению — Ь В = ю п.в. (6.24) Прямыми вычислениями получаем 1, ~ ч соа( — В') 1, 1в ЙВ =1 ), ~1В ~1в. -в !х — х'! в 1-ч !х — х'~ Таким образом, 1 соз( — В ') В(х) = — 1', г Г(г, г') с1х'11в, 14я з!х — х~ следовательно, ввиду (6.20) и (6.21) гВ(х) = В(г, г)1в. (6.25) Теперь вычислим 1 1 17Х В= — 17 1„+ 1~1~.
г г (6.26) Кроме того, 1 — ЬВ=~Х('7ХВ)= — г Ф1в. г Комбинйруя это равенство с (6.24), получаем желаемый результат (6.16) . Для установления оценок (6.22), заметим сначала, что 1 1 а(х, х') 1 1 А(х, х') — + = 17 — + ~з находим, что 1 В(х)= — !х! з )'а(х,х')ча(х')Их', 4я 1 ь Х В(х)= — ~х~ з )'А(х,х')Х ег(х')Их'. 4я Ввиду (6.25) и (6.26) отсюда вытекают оценки (6.22) . Введем полуплоскость Н=((г,г); 0<г«», — < г «). Функция Грина для оператора — (1/гз)Ь в Н с мерой И Ыг дается формулой г)= ) К(х,х)НВ = созВ'с1В (В =0); ((г — г )г + гг +г г — 2г соаВ )пг О(г, г, г' ч — 3' 4я -ч (6.27) 23* 355 дпя некоторых функций а, А = О (1) при ! х ! .+, х' С вирр Г.
Теперь, используя свойство ) гТ(г, г )1 .~1х = 0, и' так как тогда (6.21) принимает вид !й(т, г) = Д' С(т, г,т',г') ь(т', г')тт)т'г)г". и Используя лемму 6.1, имеем следующее ныраюение для общей кинетической энергии потока: 1 1 1 1 Е= — Х вЂ” г!чй$'Ь= — Х РИД - — Х ХК(х.х'К()КХ')Д ('. 2 эта ' 2л, 2 (6.29) где второе равенство получается интегрированием по частям.
Общий импульс, требуемый для образования течения, определяетси формулой 1 Р = — )' х Х аа(х) э(х. (6ЗО) и' Она принимает вцц 1 Р = Р э„Р— )' т г Дх) э(х 2 л' при условии, что ) -гь (х) с(х = О. лэ (6.32) ) Дх)э(х < 1, лэ езазпр Р(х)<Л, 0<Л< (6.35) (6.36) гплэ Обозначим!а (наибольший) класс, дпя которого условие (6.36) снимается. Функционал энергии ЕЯ определяется на классе !ел (О < Л < ) по формуле Е(0 = — )' Х К(х, х') Цх) ~(х') г(х гЬс', (6.37) 2 где К(х, х') задано в (6.20) .
Рассмотрим вариацнонную задачу. Задача (Ел). Найтифункцию Ртакую,что Е(ь)= шах Е(1), ('Ебл. ! и Юл (6.38) 356 В дальнейшем мы будем предполагать 1"(т, г) = 1'(т, — г); следовательно, (632) выполняется. Для эюстановки задачи об установившемся вихревом кольце в вариационной форме мы максимизируем энергию Е(1) на некотором классе функций при' условии, что импульс Р задан. Определим класс допустимых функций. Пусть лэ.л — класс измеримых функций 1 > 0 п.в. в Яэ, удовлетворявших следующим условиям: 1(х) =1(т, г) =1(т, — г), (6.33) 1 — ) тг1(х) э(х= 1, (6.34) 2 Те о ре ма 62. Существуетрешение(задачи (638).Кроме того,существуют константы 1т'>О, 7>0 такие,что Т =Л/гг п.в.
(6.39) где й =(хЕЯз; и(х) м ф(х) — (1/2) Мтз — 7 > 0) (6.40) с 4, определенной в (6.21); ь2 — ограниченное открытое множество в Яз и й =(х = Цб,г); 1з 1<2(г)) для некоторой функции Е(г) > О. Дпя каждого значениясвободного параметра Л решение, очевидно, представляет установившееся вихревое кольцо, соответствующее вихревой функции /(т) = Л/(г > е) ° (6.41) Константы 1т; 7 возникают как множители Лагранжа для ограничений (6.34), (6.35) .
Соответствуюшее семейство вариационных задач строится для функционала энергии Е,(()=Е®-йЛ /(Их)/Л)"'/Рдх, (6.42) и' — п.в., (6.45) где и(х) = й(х) — (1/2) Ютз — у (6.46) с ф, определенной в (6.21); Т имеет компактный носитель в Е э и Т (г, т) — невозрастающая функцияпогпри т>0. Очевидно, зти решения задачи о вихревом кольце соответствуют вихревой функции вида Л вЂ” . г>0, О, г< 0.
/'(г) = (6.47) Уравнение (6.45) стремится при б — 0 к уравнению (6.39). Фактически, теорема 6.2 доказывается сначала получением решений из теоремы 6.3, а затем переходом к пределу этих решений при некоторой последовательности б~ — 0; последова- 357 определенного на классе ж,, = цп/.'+'/5(яз) (О<6< ). (6.43) Рассмотрим следующую задачу.
Зада ча (Еь в). Найти функцию Т такую,что Ей(Д шах Е5Я), (' Е Ю ь. (6.44) гна р Т е о р е м а 6.3. Существует решение 1' задачи (6.44) для любого заданного 0 < Л < при условии, что 0 < б < 5. Кроме того, существуют константы 1Ь'> О, 7>0 такие, что тельность решений сходится слабо в Х,"(Яз) для каждого 1 < р < .
Можно рас. сматривать задачу (Ех) как предел задач со штрафом (Ез е), когда д - О. Теоремы 6.3 и 6.2 доказываются в З 8. В з 7 мы приводим некоторые тож. дества и оценки потенциалов, необходимыс в доказательстве. Ограничение 0 < д < 5, сделанное в теореме 6.3, встречается только при доказательстве леммы 8.2.
Зта лемма (и, следовательно, также теорема 6.3) остается верной для произвольного 0 < д < при условии, что Х достаточно большое, зази. сящее от д. Имеется аналогия между задачей об устойчивом вихревом кольце и задачей об асимметричном вращении тяжелой хащкости изученной в$ 1 — 5. Так, задача (6.38) аналогична задаче (1.19), а задача (6.44) — задаче (1.13). Хотя минимизируемый функционал в задаче о вихревом кольце выглядит проще, но класс допустимых функций имеет больше ограничений.
Нзличие (6.36), в частности, в ограничениях для задачи (6,38) создает технические трудности; зти трудности могут быль преодолены получением решения как предела решений задачи со штрафом (6А4), для которой вариационные условия могут быть выведены стандартными методами. Задачи 1. Обозначим Ю р, г „класс функций « ~ О, удовлетворяющих (6.33) и ограничениям 1 — » гз «(х) г»х = Р (общий импульс), 2 3 «(х) з»х< Г (общаяциркуляция) Х 2я, я' езз зпр «(х) < Л (вихревая сила) з я Лз для заданных положительных констант Р, Г, Л.
Рассмотрим задачу нахождения функции «е: Йг з л такой, что Е(«) = ш~ Е(«). тндг„г,а Вводя замену переменных х = ах, « = Ь «и выбирая а — РзззГ ззз Ь вЂ” Р зззгззз показать,что задачалля«совладает с задачей (Ех),где Х= Р" Г з" Л, 2. Показать, что решение уравнений (6.15), (6.16) дается в виде Д(г) =1(, > о».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
