Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 69
Текст из файла (страница 69)
2 о Интегрируя но г, получаем оо — Шг 2 < и Ф (г, х )дгйх 2 оо т12 о о 1 11з / 1 Л1/2 Е(Т); 1/2 ~' ( Цгдгдх') ( Ц вЂ”, Ф~.(г', т')дгИг') < ~ — гтт) оо оо г ) откуда следует (8.26) . Л е м м а 8.7. Суи1есгеуег г'(Л) < такое, что г< Г(Л) для всех (г, х) Е аорр('.
Доказательство. Венцу (8.24) имеемдля (г,г)Соорр) 1 4 (г, т) е> — М' + У > сьгз; сх > О. 2 Комбинируя последнюю оценку с (7.20) (напомним, что М(1) > Сх), находим сьг Е Ф (г, х) < С„,г '" (О < е < 1). Теперь, фиксируя е, гюлучаем г ' < Сх „что н требуется. Л е м м а 8 З. Для 0 < г < р С(г, з, г', т')г'дг'с(т' < Сг" рт, (о«. е) (--<г'< ) где С вЂ” лолохсигелолая консгаяга. (8.27) (8.28) (8.29) Доказательство.
Согласно лемме 8.4 (в котороипредполагаетсявыполнение условий леммы 7.1) и замечания после леммы 7 2 мы можем применить тождество (7.11) к решению Т и тогда получим 1 1г' > — Е(Т), (8.25) 2 так как г (и) > О. Утверждение (8.24) теперь следует сразу из (8.14) ввиду Ер(Т) < < Ю). Поскольку (г' — множитель Лагранжа дпя ограничения (8.1) — должен быть равен нулю, если в (8.1) имеет место строгое неравенство, то мы заключаем, что равенство (6.34) выполняется для решения ь', т.е. ( Е 6,,е.
Для завершения доказательства теоремы 6З остается показать, что решение, полученное выше, имеет компактный носитель. Это устанавливается в леммах 8.7 и 8.9. Лемма 8.6. Если (г, г)Еанрр1, го 1 — гааз~ < Е(Т)/айп. (8.26) 2 372 До к азател ьс та о. Записывая з = 1(г — г )' + (х —. х )з]'/з, рассмотрим отдельно случаи з < г/2 и з > г/2 так же, как в оценках из 1 7. Согласно лемме 7.3 /' С(г, х, т', г')т'с(г'сй' < Сг' /' 1п — с/т'~й'= Сгч < Сг'р', (з<с/2) (з <с/2) з гз /)' С(т, г, г, х )гс/тс/х < Сг" Ц вЂ” с/т'с/г'.
(з>т/х) ( >г/г) г' (0<с <р) (е<г <р) Тогда Ф (т, г) = О 6(т, х, т', г')з (т, г') та/тс/г' ~.: Н знр ((г, х') // С(г, х, т, х )т'сйсй + е<р<р (о<т <р) + Д С(т, г, г', х ')1(т', х')тс/тс/х'гя1, +1з (т >р) Используя вариацнонные условия (6.45), (6.46) и замечая, что зир(с < С < н получаем з:~ С, откуда в силу леммы 8.8 1, < Ст'р < С,г'/х (С, >О).
Что касается 1з,так,если (г', х ) Езпррз и г > р,то по лемме 8.6 г'з ~ х'1 < Сь = рз г/2 < тс ах/2, откуда ~х'~ < х/2. Таким образом, в обозначениях леммы 7.3 > х/2 > г/2. Используя (7.13), получаем 1з < Сг' // — ((г', г')гЪсй' < —; // т" 1(г', х')гс/тсй' (к>р) 3 хз н .Комбинируя оценки 1,, 1з и используя (8.28), имеем С,тз Сгз Сь тз < Ф(т, г) < — — + — ° 3 выполняется 5 > хз откуда следует (8.30) .
373 Легко проверяется, что для з > г/2 тз сз ((х — х )' + (г + г ) ) / Сведовательно, теперь достаточно оценить г~з ~з О,, тЪ' =2( ',, Ю'< Сдз. (о<с'<р) ((х х~)г +(т+ т')ъ)з/х о (з +т')' Лемма 8.9. Сусяествуетг'(Х)<" такое,что 1г! < г"(Л) для всех (т, х) Езнрр(.
(8 ЗО) Доказательство. По лемме 8.6 имеем гзх < Сх (мы берем х > О); так что для доказательства (830) мы можем предположить, например, по т < г. 11усть р определяется из формулы Р х/2 = Сл. Мы закончили доказательство теоремы 6.3. Теперь будем доказывать теорему 6.2. Ле м ма 8.10. Сушествуег решение» задачи (6.38); » имеет компактный носитель и не убывает по е при т > О. Доказательство. Обозначим»Е решение, полученное в теореме 6.3 для задачи со штрафом при заданном Л (и, скажем, 0 < !3 < 1), Из лемм 8.7 и 8.9 следует, что аврр»Е С Р = ((т, а) ЕН; 0< т < т'(Л), !з! < е«(Л)) (8.31) независимо от (!.
Применяя (8.7) к»,,ввиду ЕЕ(»Е!>О находим, что 6)'(» !Л)" Мед < с,. н (8.32) Используя обозначение из (7.19), отсюда получаем откуда в свою очередь, Х(»Е) < Л ь о (1 ) при Ц -«О. Теперь, если (! < и (0< а< 1), то )(»„(! „ц. <((»,(('-'((»,()'„ц, <(Л+ (1))', !5 О (8,33) (8.34) (а = (1 ь 8)/(1 + и) ! . Поэтому существует последовательность !5, — 0 такая, что -«» слабо в Р'+Па(Р) для каждого 0 < и< 1.
(8.35) Кроме того, в силу (8.34) „ц. < !! !л())»а !~, < Л'Д" 1, 1 и, полагая и -+ О, заключаем, что емьпр»< Л. (8 36) Ввиду (8.31) отсюда лепсо следует, что 1 )'»д < 1, — Гг'»«2 =1. Н 2 н (8.37) 374 Таким образом, » ча %ь, вирр» С Р и» (т, г) — невозрастаюшая функция по а при т >О.
Наконец, мы должны показать, что выполняется (6.38). Ввиду (8.31) немедленно получаем, что !!ш Е(» ) = Е(»). ! . Еу Дзялюбой»Е С«х имеем Е(»)а !ш' 6(»Е.) > !и" ЕЕ.(»Е.) > ! ЕЕ (»)=Е(») 1 7 1 1 1 ! з Последнее равенство справедливо, так как йщ йЛ / (5/Л)'+'/ес/х = О. 5-о н 1 Следовательно, и (х) ~ и(х) поточечно в Яз, где и = Ф вЂ” — Мтз — у. Согласно / 2 вариющонному условию (6.45) имеем Л, если и(х) > О. Ит („(х)= /- Е/ О, если и(х) < О. Кроме того,так как и, = чз, < 0 дпя з >О, то вез(х ЕА~; и(х)= О) = О. Таким образом, функция Л/(,„<„1> ) есть поточечный предел 1„(х) для и в.
хЕйз. Поскольку, кроме того, ('„-+ 1 слабо, то получаем (6.39). Тем самым доказатель/ ство теоремы 6.2 закончено. Замечание 8.1. Теорема 8.1 обобщается на случай вихревых колец: она обеспечивает аналитичность функции т = т (г), представляющей д(и > 0) г1 (т > 0). Задачи 1. Показать, что если 7>0, то / 1(х)йс= 1, Я* (8.38) где ( — решение, построенное в теореме 6.2. 1указание. Иначе /1 йх< 1, и тогда 7.=0] / 2.
Дпя ( такой же, как выше, показать, что )Т(х)е(х < 1, (8 З9) если Л достаточно большое. 1указание. Если йе =Ел(2Я,О), Я=сЛ '/з,тозе =1а, в цх иЕ((е)> > сЛз/з (с > 0). Вывести, используя неравенство И' > (1/2)Е(1') и лемму 8.6, что С 1 ! г1< — —, в зирр1. (8 АО) Лз/з 375 Зто доказывает (6.38) . Л е м м а 8.11. Существуют константы Ю > О, 7 > 0 такие, что (6.39), (6.40) выполнены. Доказательство.
Пусть И'/, у,, Ф, и. обозначают величины из теоремы 6.3, ассоциированные сзр, 8/. О.Так как И//, 2) > Оив силу (7.11) И'+т/< < 2Е(15 ) < Сх, можно считать (переходя к подпоследовательности), что И/ — Ю / и у -+т. Тогда 7 > 0 и ввиду (8.24) И' > сх > О. В силу (8.31), (8.35) Ф (х)= (К(х,х')(„(х')Ых' из / сходятся поточечно в /1з к Ф(х)= / К(х,х')((х')Ых'. нз Доказательство (8.30) дпя (' приводит к оценке /СХ С ьь ~(б ) ° ь(~ ~3( Используя неравенство Ф > (112) 1Утз в апрр1, показать, что г„к: СОь'!', Яь = 2 + аир(! а1, (т, а) Е вирр И.
Используйте (8.40), (8.41) для оценки (а(г < СХз1ь!п(1(е) < С)ьз1ь1п(1()ь) (еахз1а = Сугь) (т < ьН) (8.41) 1 — ) тт ('с(т = 1 1 2 з 9. Оценка емкости Емкостью множества Е относительно Й называется величина Са Е= 1п! 1 1рп~~<Ет. иЕК й (9.1) О п редел е н и е 9.2. Решение и вариацнонного неравенства )'1тьч р(о — и)~В~О тГоЕК; и ЕК, (9.2) называется емкостным потенциалом Е относительно Й.
Очевидно, -Лье>0 в й в смысле распрецелений или мер, — Ли=0 в Й~Е, и=1 пв.иа Е и 0 < и~ < 1 п.в. в й (так как иначе функция ш1п(ьс', 1) (которая принадлежит К) дает меньшее зна- чение интеграла Дирихле, чем и ). Если дЕи дй класса С'+'",то и удовлетворяет условиям Дир= О в Й~Е, и=! вЕ, (9 З) и=О надй Зтб Установим оценку емкости, которая будет полезной при изучении асимптотических оценок в некоторых задачах со свободными границами. В з 10 такая оценка будет использоваться только в задачах в конце параграфа. В $ 13 мы будем пользоваться атой оценкой более существенно.
О пределе ние 9.1. Пусть Е, Й вЂ” ограниченные множества в Ап, Езамкнутое, Й открытое, ЕС Й,и пусть К= (о~Ело(й), п~ 1 иа Е). аю а СарттЕ= / 3~7ю! = à — дЕ = — / — дЕ= — / Ью, й~Е ал де эп де и где е — внешняя нормаль к й~Е:, мера — Ьи сосредоточена на вЕ. Из (9.1) легко заключить, что СарцЕ7, если Е7, СарпЕ4, если й7. Далее ограничимся случаем я = 2.
Нетрудно подсчитать, что 2е Сара В,= !и (1/т) + 0(1) (9 А) (95) (9.6) (9,7) с/(Е) — е< !А — В!< с/(Е), и соединим их гладкой кривой Е С Е так, что Ь линейна в окрестностях концевых точек А, В. (9 В) Л е м м а 92. Существует положительная константа С, зависящая только от К „Вютатсая, что С~ 2а Сарл Е > /! — ) — * (9.10) !п(1//)У 1п(2я/1) где 1 !Е! — длинаЕ.
Доказательство. Рассмотримсначала случай,когда Ь вЂ” отрезок прямой, (9.11) и возьмем для простоты Вз = 1. Обозначим через С(х, у) функцию Грина для -Ь в В, и рассмотрим функцию 1 ь (1/2п) )п(2я/1) заметим, что мы интегрируем здесь С относительно (грубо говоря) ™емкостного распределения'* шара В!/т„окружности 1 (равной длине Ь); см. (9.7). Так как 1 1 С(х, у) = — !и + О(/) на 1., (9.13) 2а !х -у! (9.12) при т О (л = 2). Обозначим диаметр с/(А) множества А. Оценим диаметр замкнутого множества Е в терминах емкости Е относительно области, содержащей Е. Т е о р е м а 9.1. Пуль Š— замкнутая область в Яз такая, что Е С Вя С Втя С й С Вн, где й — область в Вз. Тогда с С 'т 2я 1— < СарцЕ, (93) !п(1/д(Е)) / !п(2пф(Е)) где С вЂ” лоложительная константа, зависящая только от В,, Аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
