Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 73
Текст из файла (страница 73)
замечание 5.1) . Следовательно, иф) = Ке(сг"') + О(1г1 ьь) = 1с !г~ соа(гид + де) + 0(г ~~), ди — — = гпсг~ '+ О(г '""), дг где с чь О, г = ! г ~, св — цюше, гп > 2. и 0 < Б < 1. Таким образом, нули т и изолированы и в некоторой е-окрестности 0 существует 2пч гладких кривых, начинающихся в О, которые делят эту окрестность на секторьь о; такие, что и(г) > О в о1 О оз ' . ° О огт и(г)<О' з ог С'оь '-~... О от„,. Возьмем точки г, Гг от, г, ~ о„. Поскольку йр связна, можем соединить гг сг4 кривой 1),лсжашеи в й, Соединяя гг с 0 и 0 с гь, получим замкнутую жорданову 397 Т е о р е м а 12.1.
Пусть и — решение задачи о плазме, построенное в теоре ме 11З. Тогда множество плазмы йр и множество вакуума й — связные множества. Д о к а з а г е л ь с т в о. Если Л < Л,, то йр = й и утверждение тривиально. Предположим, что Л > Л, . Тогда и(Г) > 0 и. таким образом, й„содержит некотооую й-окрестною ь Г. Если С вЂ” компонента й„, то дС должна пересекать Г (иначе и -=- 0 в С) и поэтому й„связна.
Для доказательства связности йр предположим, что С,, С, — две компоненты й,. Определим кривую 7, содер:кюцуюся в йр !.! ( 0). Множество, ограниченное 7, содержит сектор о; с нечетным г'. Так же дополнение к этому множеству содержит о~ с нечетным 1 Следовательно, й„не связна; противоречие. Таким образом, мы доказали (12.2). Отсюда следует, что Гр = ( и = 0) класса Сз~р для любого 0 < !3 < 1. Доказательство аналитичности такое же, как в теореме 5.1.
Задачи 1. Обобщить теоремы ! 2.1 и 12.2 для задачи о плазме, данной в задаче 3 из д 11. 2. Пусть Ьи + с(х)и > О, и < 0 в область й с границей класса Сз, и !! 0 и с(х) — ограниченная функция. Показать, что (1) и < 0 в й, (й) если и(хе) = О, хе Ей, то (ди/др)(хе)ФО. !У к аз ание. Для некоторого а>Офункпия о=е н"'и удовлетворяетнеравенству Ьс+ 2ао, >О.! 3. Доказать, что если Ьи нт в Вл, и = О на дВя, и > 0 в Вя иу'(г) непрерывна по Лнпшнцу, то и = и (!х !).
!Указ ание. Пусть Гл =(х1 = И. Хл = Вн О (х1 > Л 1, хл — отражение х относительно Тл. Рассмотрим множество Я таких Х иэ 10,к), что и„, < 0 и и(х) <и(хл), если х Е Хл,. Я замкнуто. Если л Е Я, то о(х) = и (х) — и (хл) удовлетворяет Ьо + с(х)с = 0 и по задаче 2 о, = 2и„< 0 на х1 = Х Кроме того, и„< 0 на дВл О(х, > 0) поскольку если т(0) < О, то Ьи <Яи)-)(0)=Е(х)и неолит(0)>0, и„=О, то и„> 0 вблизи т = Я(х, > 0), и тогда также иг < О, и < О, что невозможно. Таким образом, Я открыто и О Е 5, что означает и, < 0 на х, = О.
Это верно для любой плоскости, проходяшей через начало координат. ) 4. Доказать, что любое решение задачи о плазме (11.1) — (11.3) прн й = Вл с С Вн есть функция только от !х ! и доказать единственность. 1 13. Асимнготнческие оценки в задаче о плазме В этом параграфе мы полагаем л = 2, Х > Х, и используем обозначения и=ил, йр =йр,л йр =й,л. Гр =Гр,л' и — решение, построенное в теореме 11.3, т.е. и — решение задачи (У).
Нас интересует поведение ил, йр л, Гр л при й -+ . Докажем, что Гр л асимптотнческн приближается к кругу и охарактеризуем возможное положение Гр л внутри й. Основной результат установлен в теореме 13.13. Теорема 13.11 представляет самостоятельный интерес. Рассмотрим сначала случай, когда й — круг Вп = ( !х ! < Я) и обозначим ил решение (см.
задачу 4 из 3 12) . Л е м м а 13.1. Верно 12 у(и!т) = — — !п(лЯ~)+ 7, (13.1) 8а где 7 — константа. Д о к а з а т ел ь ст во. Пусть и =ии Если свободная граиацв задаиауравнением г=е,то и=с 1 —— для е<г<В, с= и(дВи) и (11.3) сводитсак я Я с = — 1п —. 2 е Главное собственное значение для — гЛ в В, есть 7г/е~ (7, — константа) и главная собственная функция — ие(г/е), где ие(г) — главная собственная функция для — 4 в В„нормализуем ее условием и < б, (ивах =1. Тогда и1,, = 7гие(г/е), где константа 7г выбрана так, что ди/др непрерывна вдоль г = е.
Легко вычис- лить, что 1 У 1ти~ ах = 7з ° 2 др 1 Тг — ( 1Ри 1г 1х = — 1п— 2 д„ 4л е Л вЂ” Х (и )'~1х = 7, 2 дн г нгЛ 1и(дВя) = Ус = ~ — ) 1п —, 2я е где 7г ° 74 — константы. Комбинируя зги результаты, получаем (13.1) . Лемма 13.2. Если Вл СИСВи, (0<Яг <Вг < ),го г' гг~ .7(ил) = 1п1 У(о) = — ~ — ) 1п Л+ 0(1), ни к 8п / г'"з ил(Г) = ~ — ) 1и Л + 0(1), 4я (13.2) (13.3) У РЛ 11гил1г Вх =~ — ~ 1п Л+0(1), дн.л 4я (13.4) Йг С йг влечет (13.5) 1п( Уд (и) > ш( Уд (и).
кд, ' кд Действительно, минимизирующая функция и для Уд может быть продолжена еде ~ 0(1)1<С, С вЂ” константа, зависящая только огКг, Вг. Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем К = Кд, 1(о) = Уд(о), подчеркивая зависимость от й. Имеем положительной константой и(ЭЙ~) в йзЛЙ,; полученная функция принадлежит Хд .
Так какгд (и) =ад (и),то получаем (13.5). Утверждение (13.2) следует из (13.5) и леммы 13.1. Умножая (11.1) на и и интегрируя по йр, получаем !ти!гбх = Л ( (и )тих. др др Аналогично, ) !%'и !з с(х =и(Г)й дю Следовательно, 7 У(их) = — — «ь(Г) 2 (13.6) и (13.3), (13.4) вытекает из (13.2). Л е м м а 13.3. Су«1ествует нолохгительная константа С такая, что С 1(йр,л) <— 1п Л (13.7) и и(г„) = О. Используя (13.3), получаем 1. Л ~ С ) ! Ри !. ьх Интегрируя по х в АВ, имеем !В-А!!п Л< С )' !Ри!< дь < С( ( !Ри !з )~1з (С! — А !)~1з дь Ввиду (13.4) получаем (13.7) . Пусть 1 1 С(х,у) = — 1и — — й (у) 2я !х — у! (13.8) — функция Грина в Й, т.е. Ь„й,(у) = О, если х,у Е й„ (13.9) 1 1 лх(у) = — 1и если хЕй, уЕГ.
2п !х — у! Для всех Л> Лд Доказательство. ВыберемточкиА, В в Йр такие,что й(йр) = ! — А Рассмотрим семейство прямых 7„, проходяпнгх через х и ортогональных к АВ, когда х изменяется в АВ. Обозначим через 8„= у„г„отрезок, лежаптий в ух такой, что ухЕГ гхЕГриб Сйе Тогда 8« и(у„) — и(г„) = )в а„бб„ Пусхь (1ЗАО) Ус(х) = И„(х). Будем использовать обозначение Ы(х, А) = с(1зт (х, А) . Лемма 13.4. Омоем lс(х) - равномерно по х при сс(х, Г) .
О. Доказательство. Предположим,что х- х, х еГ. Тогда (13.11) — С, если уЕГ, !у — х !>1/2, И (у) > С С, !и если уЕГ, !у — хо! <1/2, !х — хо! <е; е+ ! у — х'! здесь С, С, — положительные константы. Представлля Их(х) через функцию Грина, имеем да(х,у Их(х) = — ! — И,(у) с1с„> г др ). С д6( у) ( (г, ~, - г ~ >,1з) др В силу леммы 13А ьгиннмум И(х) в действительности достигается в й й множество 5 =(х Ей, И(х) = Ио) (13.13) есть компактное подмножество й. Т е о р е м а 13.5.
Для произвольного е > О суитествует Ло = Ло(е) > О такое, что сх(йр, Ю) < е, если Л>Ло. (13.14) Д о к а з а т ел ь с т в о. Предположим, чхо утверждение неверно. Тогда существует е > О такое, что ос(йр, Я) > е для и(хонзвольно б~льших Л, (13.15) скажем, Л = Лс . Фиксируем точку уо Е йр, и пусть т — преобразование такое, что ту Е Я. Используя лемму 13.3, выводим, что существует положительное число 6 > О такое, что Ь + И„(х) < И, (т 'х), если т 'х, т 'уэйр (13. 16) при условии, что Л = Лс досхаточно большое (такое, что с((йр) достаточно мало). 26 А.
Фридман 401 дС(х, у) С вЂ” /' Сс 1и о ссзт = гс за (г, ~т — х'~ < ссх) др е+!у — х ! Ус - О ирнх — хо, тогда как зх — С, !и (С/е). Следовательно, !ии!и( Их(х) > С, 1и (С/е). х х Поскольку Г гладкая, последнее неравенство выполняется равномерно по хо. Наконец, так как е произвольно, то получаем требуемое утверждение. Найдем теперь асимптотическое положение плазмы. Пусть Ио = сися Рс(х). (13.12) хита Рассмотрим фупкппю ио (т): ио(х) = -и (т х), если т х Е йр* ио гармоническая в й1г(йр), ио(х) = О иа д(т(йр)). и»(х) = и(Г) ва Г.
(13.17) Очевидно, 1 У (ио)- = Следовательно, если мы покажем, что 1(«о) < Х(и), (! 3.18) то придем к противоречию и тем самым докажем теорему. Так как 1(«) Х 117« 1» — 7«(Г), Р~Ор У(ио) = )' 117«о 1* — ти(Г). гз~тгар1 (13.18) сводится к ( 1~« 1з < ( 1Р«1» гг~т(пр) гз~гзр Дпя доказательства (13.19) введем функции и(Г) — и+ и(Г) — (ио)+ и йо= и(Г) и(Г) Тогда (13.19) принимает вид 1т«о 1з < 1 117й!з. и '~т1гзр1 падр Отметим, что (13.19) (13.20) ай а« Сари(йр) = ) 17й 1з = У вЂ” = — à — = — Х Дй ° гз ~гзр г Эр г Эр а Сар ~(г(йр)) = Х 1 17й» 1 гг ~т1пр) ай айо у — = — )' — = — у д а.!Ор> а г 8 а й(х) = — !' С(х, у) гьй(у) Ыу, йо(х) = — ( С(х, у) дио(у) 4(у.
Рассмотрим фупкцпю ' и(х) = —,( б(х,у) Ьй(т ')Ф' где — Ьй -Ьй» понимаются как меры (с носителем на Гр и т (Гр) соответственно) . Можем записать Поскольку (13.16) влечет 0(х,у) > 0(т 'х, т 'у), если х,у Е т(йр), имеем для х Е й, щ (тх) = — (0(тх, ту) 2Лй(у) ду > — ) 0(х у) 2Лй(у) ду = й(х) = 1, Позтому айь а. .( ~ —.~ =-.( — «- г— п1.1пр1 ' г а г Э ай — У 2Лгч(у) = — Х ~Лй(т 'у)= — У Ьй(у)= ( — = /' '1 чй 1з, й О Гь г аР гьЛар откуда получаем (13.20) .
Из леммы 13.4 н теоремы 13.5 выводим С л е д с т в и е 13.6. Существуют 6 > О и Ль (положительное и достаточно болыиое) такие, что (й,, Г)>а, ° Л>Ль. (13.21) Пусть и(Г) — и Ю и(Г) Тогда гч = О на Г, в = 1 на Гр и 1 4я ,( 112 Рз = — = ггч и(Г) 1п Л+ 0(1) по лемме 13.2. Следовательно, 4я Саргт й 1п Л+ 0(1) (! 3.22) Л е м м а 13.7. Существует положительная константа С такая, что д(йр,,) «С~Л'12 д в Л>Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
