Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Задачи 1. Показать, что множество 5 конечно. [У к а з а н и е. Пусть г = г (и~) — конформное отображение ( 1 ю1 < 1) на й. Тогда 2л/е(г) = 2лЛ,(г)= 1 — ююе 1нп ~ 1п 1а(ж) — л(юе)1 — 1 и -ел Ф 1 ю — жь так что функция 2л/с(г(ю)) = -)п1г(и~)1 — 1п(1 — ( ю1») субгармоническая; фактически, Ыс = 4ече». Если Я не конечно, то оно содержит аналитическую кривую, внутри которой /г — = сопл».1 2. Показать, что если й имеет вид ((х,у); 1у1~ р(х), а <х <Ь), то (д/ду)й(г) > 0 при у > 0 и, следовательно, Я лежит на осн х. [У к а з а н и е. Формула а т'аб(г, РЧг 2л ь(Т) / ~ ( сог(лг у)е/ге (13.б2) ау аа (ч, ал, ( справедлива ввиду (см. [37, 38) ) С,(г, 1) — С(г, [') = аб(,г) аб(,[) але ~/ге 2л ап дл, дл', глеб, — функцняГринадляй, = й+ е/и Ц('+ /е) — /г([') 1нп 1пп [С,(г, [) — С(г, ф')), е о е е о Согласно принципу максимума дб(г,[) аб(г, [) + >О, дл ал, если [ Е й+ ы й г1 ( у > О ) для любой фиксированной г Е д й+ г1 ( у > 0) .
3. Доказать, что если Я состоит из л 'точек, то для всех достаточно больших Х существует по крайней мере л решений задачи (11.1) — (11.3). [У к а з а н и е. Пусть хе ЕЯ, Ко г, = ( иЕК, о>0 в И~С), б — малая окрестность хе, ие — функция минимизирующаяГ (и) на Кее о. Если и > > 0 на С, то условия (11.1) — (11.3) вытекают из доказательства теоремы 11.3. Прешюложим, что дйр Гт дС ч»0, где йр, =( иа <0); тогдаие =Онадб г1дйр 411 в смысле пространства следов и если б(йр ) ьО прн Л 'ь~ то доказательство теоремье 13,5 дает еГ(х, хе)-+О, если х Ей„, Л-ь Дпя доказательства (ь) надо использовать неравенство Га — — 1п Л+ О(1! < шГ у(и) ~ Зэ «с, ы Гз < — — !и Л+ 0(1), Зэ в котором правая часть получена сравнением с !пГ У(о) < !пГ У(ь), «с,с, хс, где С, З С, ЭС, параллельна.
ЗС и отстоит от ЭС на вебольиюм расстоянии.] 4. Рассмотрим задачу о плазме, описанную в й 11 (залача 3). Г!усть А = зир (г; (г, т) С й ) . (ь) Доказать, что для любого е > О ш(,Е (о) 2 — <А (Гз /Зэ) !оЗ Л + О(1) при Л . Использовать для доказательства еГ(йр х, Г) — О ирн Л -+ [У к а э а н н е. Следуйте доказательству те1зремеа 135.] З 14. Вариационный подход к задаче о плазме Š— Л если Е>Л, Гл ьь(е) = еь ее(е — Л), если е < Л. (!4.2) Рассмотрим функционал Фл, ь,(С) = Хл,,,(Л~(С))+ Сард С, где Л, (С) — главное собственное значение С. 3 а д а ч а ( эе ) . Най пе область С такую, чю С Е ЗЗ, Фл (С) = пип Фл е (С). ссэ (14.3) В з 11 мы ввели два (эквнвалентных) вариационных принципа дпя задачи о плазме в области й С !Е".
В этом параграфе ограничимся случаем, когда й — вы. пуклая область в !2", и дадим новый варнащюнный принцип. Его преимущество в том, что он дает решение уравнений (1! .1) — (11.3) с вьпеуклой ~иазмой. Предположим, что й — ограниченная выпуклая (14.1) область с границей класса С 'е. 0 п ре деле ние 14.1,Подобласть ССй ~ринадлсхаттклассу ар,если С выпукла н С С й. Дия любого Л > Л, и малого ее > О определим функцию Каждой б Ело поставим в соответствие функцию и, опрецеляемую условиями »Ли = Л,(б) и, и < О в б, гЛи=О в ЙЛб, (14 4) и=О на Эб, и = сопа1 = и(Г) > О на Эй, Эи 3 — бб =- Х. г Эе В этом параграфе устанавливается следующая Т е о р е м а 14.1. Если со достаточно мало, то существует решение б задачи (бд) и соответствующая и (определенная по (14 4) с подходящим значением и (Г)) есть решение задачи о плазме (11.1) — (11.3). Последнее утверждение просто означает, что и Е С' в окрестности Эб.
Мы начнем с некоторых вспомогательных результатов, представлянпцнх также самостоятельный интерес. Де м ма 142,П>»сть и — решение класса Сз (й) уравнения Ьи -- Т(х, и, ь«ю) в ограниченной выпуклой области й Е Яо. Предположим, что Т(х, и» ом..., о„)— функция класса Сз+, неубывающая по и» и выпуклая по (х, и) .Яля любого фиксированного т е (О, ! ) рассмотрим функцию У(х, у) = то(тх + (1 — т ! у) — ги (х) — (1 — т) и«( у) в Й Х й. Тогда У(х, у) не может иметь отрицательного минимума в й Х й.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Без потери общности можем предположить, что Т строго возрос~ест по и и и гладкая вплоть до границы. Действительно, иначе можно аппроксимировать ю функциями ю, такими, что гЛИ'« = !(х, и«»,»»ги~«)+еж«в й« и,=ю наЭЙ„ где е>0, й, выпукла с гладкой границей и й, т й если е10. (Можно использовать оценки Шаудера для доказательства существования решения и«,; см.
задачу 1). Предположим, что утверждение неверно. Тогдз У(х, у) имеет отрицательный минимум в точке (хо уо) е Й Х Й, Пусть зо = тхо + (1 — т) уо Так как йгас1 У =Оп (хо,уо),то 'о'и (хо) = »тю(Уо) = 1«ю(го) Функция й(х) = У(хо о х, уо + х) имеет отрицательный минимум в х = 0; следовательно, гЛй(0) > О. (! 4.6) Используя (! 4.5), получаем, что д»й(0) =. »Ъи»(го) — т!Ъа«(хо) — (1 — г)»5и»(уо) = = !'(го, и»(зо)»«»о(го)) — 1Х(хо, и (хо), 1«н»(зо))— -(1 — т)ЛУо, ю(уо), (ти»(зо)). Так как У(хо,у,)<О, то и»(зо) < ги»(хо) + (1 — т) и»(уо) 413 и, таким образом, ввиду строгой монотонности Я(г, ю, 'ч ю) по ж, Ьй(0) <У(ге Гю(хе) + (1 — Г) ю(Уе), 9ю(гь))— — гу'(хь, ю(»е), Чю(ае))— — (1 — г) у'(уе, ю(уе), е ю(эе)) < О в силу выпуклостит'(х, че,~7че) по (х, ю); это противоречит (14.б), Те о ре ма 143.Пусть и — решениеэадачи Ьи+Лц(х)и 0 в Й,Л>0, и=О на Эй, и>Ов Й, где й — ограниченная выпуклая область с границей класса С' и ц >0 ч1(х) вогнута в 14.
'Тогда 1ли (х) вогнута. До к а з а тел ь ство. Можемпредположить,чтой строго выпукла страни. цей класса С' и ц Е Сэ+е(й), иначе аппроксимируем й и ц соответственно й, и де . Если оютветствуюшая главная собственная функция и, 1п-вогнута, то же верно для и = 1Ьп и, . Функция зе = 1п и удовлетворяет усповиям д.че = — Лц — 1дче 1э ю т(х, 1т1е), (14.7) че(х)-+ —, если д1И(х, Эй)- О. (14.8) Очевидно, можно п1ыменнть лемму 14.2. Так что достаточно показать, что если 1йп У(хь, уа) = шг" П(х, у) < О, (14.9) ха-.д ох и та р то» и у принадлежат й. Будем предполагать, что х Е Эй и придем к противоречию.
Пусть га = гхь + (1 — г) уь. Поскольку ю(эа) — гю(хь) — (1 — г) че(уь) < 0 дпя бопьшихй,то из (148) следует, что ю(*а) -— и таким образом, йзт (за, Э й) -+О, Так как й строго выпукла, то уа +», гь-+ х. Взяв подпоследовательиость, можно считать, что хь -уа 1нп существует; 1хь — уа ! это определяет направление е. Обозначим 1 луч, исходящий иэ х в й и имеющий иаправленяе + е нли — е.
Случай 1: 1 иекасатепьиьш. Для х Е й вблизи х н дпя любого направления а, близкого к 1, имеем 2 (14.10) иэ так как и„> 0 в х и и = 0 в х. Следовательно, ю строго вогнута иа интервале хм уь, и потому У(хю уь) > 0; п1вшпи к противоречию с (14.9). 414 Случай 2: 1 касательный. Предполоаогм, что Эй пашен х имеет вид ха = р (х'), где х' = (х„...,хл,), х (0,...,0) и)7чс(0) =О.Таккак ( — 17р,1) нормально к дй, то векторы (О,..., О, 1, О,..., Чс„с) (1 — в 1-й компоненте) касательные и д Э Тс = — + р„с — (1 < с < л — 1) Эх, "' Эхл производная по касательному направлению.
Поэтому Таси = 0 вдоль дй, так что илслс+ Чслслс илл Таким образом, и„„< 0 в х(1 <1' <л — 1). Но для любой точки хЕ й, близкой к х, и для любого направленйя о, близкого к 1, имеем Э д л-1 — = сл(х) — + 2' с,То до ду л-1 где 1сл! мало и Е ссз близко к 1. Сделовательно,иле< — 7<Оиввиду (14.10) 1=1 иее селе и приходим к противоречию, как и выше. Те о ре ма 14.4.Пусть й, С вЂ” выпуклые области сграницей класса С' и ив рещение задачи Ьи =7(и) в й'1С, и=1 ЭС, и=О на Эй, 0<и<1 в й1С, где 7(с) — непрерывная ло Лилиану, неубывающая и неотрицательная функция ог с. Тогда кривые уровней функции и выпуклы.
Утверждение означает, что множества (х; и(х) > с) ()Свыпуклы для любого Я (0,1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя„еоти потребуется, аппроксимацию, можно считать, что 7(и) строго возрастающая и аналитическая и й, С строго выпуклы (см. задачу 2) . Продолжим и единицей в С.
Если доказать, что Мм апР ('и(у) — и(г)) <О, (14.11) л, у и ГС, л (л) > л(е) г Сл+(1-1)у, СП(О,1) то будем иметь и (г) > слсп (и (х), и (у)) там, где г = сх+ (1 — с)у с некоторым с Е (О, 1), откуда следует утверждение. Для доказательства (14.11) понадобится следующий факт. (х — х) .17 и(х) <О в й'(С, (14.12) если х Е С. Для проверки этого положим ( = (х — х ): 17 и. Тогда М вЂ” 7(и)(= 27(и) л'О, и (14.12) имеет местов силу принципа максимума. Действительно, если го Е дй, то прямые, проходящие через хю у»,сходятся к прямой 1, некасательной к дй в го, и, таким образом, ди/д! зь 0 в г",откуда вьюо. дим, что и(г») >и(х») для достаточно больших!г.
Далее, мы покажем, что г =х. (14.14) Действительно, предположим, что го зь хо. Так как и ф сопз1 вдоль х у, то и имеет в этом интервале значения большие, чем и (г о ) . Пусть х' Е г о хо, и (х' ) > и (г о ) . Тогда для любого х", близкого к х', имеем и (х' ) > и (го), следовательно и(у") — и(го) <и(у ) — и(го), ь » о где у лехегт в х го, у' находится близко к уо. Поэтому и имеет локзльный максимум в у, что невозможно. Мы доказали, чю хо го ~уа тоуа лежит в йт 1.' (14,15) Кроме того, так как и на х»у» имеет минимум в г„н так как г» чьх»,г» Фу» (если /с большое), то имеем ди (г»)/д!» = 0 и, следовательно, ди(го) =0; д! (14.16) здесь !», ! — направления х»у» и хоуо соответственно. Следующее утверждение такое: ч и(уо) параллельно чи(го), (14.17) Действительно, иначе существует вектор о ~акой, что е Чи(уо)>0, о т/и(го)<0, 416 Предположим теперь, что (14Л1) неверно, Тогда существуют точки х», у» н г» = г»х»+ (1 — т»)у» такие, что и(у») — и(г») -+ М > О, и(х») > и(г„), и(г») = тш ( и(х); х Е х» у„), и х»,у» принадлежат й, х» хо, у»- уо, г» +г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
