Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Очевидно,что го Фуо, так как и(го)Фи(уо). Поскольку и(хо) Э и(го), и(у )>и(г ), интервал хоуо не може~ пересечь й~ ь ввиду (14.12). Кроме того, он не может пере- сечь й ~б, так как иначе и = сопз1 вдоль х уо и ввиду аналитичности также и = сопа1 вдоль целого отрезка из й ~0, содержащего х у . Далее,у ~ дй,так как иначе и(го) = и(у ) — М < О. Функция и(г) вдоль х у имеет минимум в го, иначе будет противоречие соп- редел еннем М. Имеем также го ~дй (14,13) ( (уо) и( о)) 1~ ао(х)= Чи,(х'1 ° е+ 1- — / х Х Тогда 1 1ь(У+Х ) = — 7(и ) — 7(и,)+ Л2 1Л + Лу'(и,) ар + 2Х ~1 — — /7(и,).
Л Поскольку и(О) = Ои 7(и(уо)) — у(и(го)) >О,получаем, полагая е = (7(и(у ))— — 'у(и (г ))/Х, что г' 1 Ь(У+ Лао) (0) = е + ~ — — 2Х вЂ” 3 у(и(го)) = 'Л ла (Х вЂ” 1)'(2Л+ 1) е+ Л2 у(и(го)) > е. Таким образом, для достаточно малого г функция У + Ли — с~ х 1~ субгармоническая в В, (О) при условии с < е/2п; она обращается в нуль в начале координат, Исполвэуя принцип максимума, выводим, что щах (У + Лао) = У(х) + Лаа(х) > сгэ ав,<о) (14.19) для некоторой х Е ЭВ„(0).
Пусть у,', =уо +х/Х, го =го +х. 27. А. Фридман 417 Пустьуо =уо+оо,го =го+/Ь,о>О„В>О. Если и(х) >и(го) дпянекоторой точки х на луче у г, то выбором малого 8 = а и хо = х + ао получаем тройку хо, уо, го такую, что и(уо) — и(го) >и(уо) — и(г ), и(хо) > и(го)' полуиали пропаворечие с определением М. Таким образом, и(х) < и(го) на луче уог .
Поэтому можно выбрать подходящие достаточно малые и, 8/и так, что у„го пересекает у г и точке х вдали от го,и и(х) >и(го) (поскольку Эи(го)/до < 0 и ввиду (14.16) ди(го)/Э/ = 0). С этой тройкой уо, го. хо мы опять приходим к противорептю с определениемМ. Доказав (14,17), положим Чи(уо» 'Ри(го) а о (14.18) ~Чи(уо) ~ ~Чи(,о) ~ и возьмем дпя простоты !у — г~)= 1„~Чи(г~)1м 1. Пусть Л = 1Чи(у )1. Введем функции и (х) и(го +х), иэ(х) и(уо +х/Л) Если (т(х) > О, то и(уо) — и(го) > и(уо) — и(го).
Если также ж(х) > О, то и(хо) > и(го), где хо = го + г(го — Уо) для некоторого малого г > О. С этой тройкой (хо, уо, го) мы придем к противоречию с определением М. В обшем случае,,когда обе 0(х), и (х) не будут положительны, возьмем другую допустимую тройку (хо, уо,го) в виде х И~ Уо=у + + Л Л х го=г Л хо = го + (го — уо) с малым г > О, для которой и(уо) — и(го):> и(у ) — и(го). (14.20) Если й = — (Г(х) и Цх) = и,(х + ЭЕ) — и,(х) — (и(уо) — и(го)), 1Л й то(х) = Чи,(х) ~е + [ 1 — — ) х — — Е), л) л)' то, так как л = 0(тг), й(х) = О( (14.21) го(х) = го(х) — — + 0(тз). Л Поскольку ввиду (14.19) Ли(х) > ст' + й, то го(х) > — тг + 0(тз) Л (14.22) 41В Замечая, что Эиг/ЭЕ ФО в окрестности начала координат, выводим из (14.21), (14.22), что заменой величины л, можно аналогично получить й(х) > О, й(х) > О.
С таким новым значением й тройка (хо, уо, г о), определенная выше, допустима и (14.20) имеет место; таким образом, опять приходим к противоречию с опре- делениемМ. Вернемся к задаче (ла). Л е м м а 142Е Задача (зо) имеет решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим т(0) радиус наибольшего шара, содержашегосяв0,0СЮ.
Тогда (см. [1141) Л,(0) > с(т(0) (с > О), (14.23) где с = сольд Для любой 0 Е Я обозначим т' решение задачи дт'+Л т'=О в 0, Р~О, )Р (14.24) с и и — решение задачи йи=о в а~с, (14.25) и=о эс, и= 1 на Эй. Покажем, что (14.26) ~Р«'~ <С в С, где С вЂ” константа, зависящая только от Л1(С) . Действительно, предположим сначала, что ЭС гладкая и С строго выпуклая. Тогда (в силу задачи 4) ~ 17 Р ! + Л1»'~ имеет максимум в С (! 4.27) во внутренней точке, где ~ ч»' ~ обращается в нуль Таким образом, полагая М = знр»', имеем 1т71'1 + Л1Р < Л1М . (14.
28) Ввиду эллиптических опенок «109, теорема 8.251 М» ~ сЛ1 ) Р», если р > л72, с где с не зависит от гладкости ЭС. Поэтому М" < сЛ»М» т 1 ь' = сЛ»М» ! а так что М' < сЛ»; (14.26) теперь следует из (14.28). Из (14.26) получаем »'(х) < Сс«(х), (14.29) где И(х) — расстояние от х до ЭС. Теперь возьмем минимизирующую последовательность С,„Е Ж. Так как Л1 (С,„) остаются ограниченными, из (14.23) следует, что каждая С содермсит фик. сированный шар Вн (х ) (т достаточно большое). Покажем, что существует достаточно малое Ие > 0 такое, что 61ат(С, Эа) > 1,, (14.30) если гл достаточно большое. Действительно, предположим, что о1з1 (С,„, Эй) < 4>, и пусть »(х) = 41Ы(х,Эа), С = С Г1 «»(х) > 21,), Е,р, = С„, О «д(х) = 2сХр). Обозначим Р„„Л,,„и»', Л, те 1', Лы которые соответствуют С =С,„, С =С„„ согласно (14.24).
Можно взять С„, так, что к С применима формула Грина (напри- мер, С,„- многогранник). По формуле Грина (опуская индекс ги) и (14.26), (14.29) имеем (Л1 — Л~) 1»' »' = ) Р ЯР ~ < сне! Х! ~ СЭ»', с Х где 6»' = ! СЛС!. Так как ) 1Р = 1+о(» ри а тт 27* получаем ЬХ, < сЬК (14.31) Теперь подсчитаем изменение емкости.
Пусть У вЂ” гармоническая функция ~ (О < р (х) < 2д е ) с 2 = О иа ( р(х) = 2де ), Я = 1 иа Э 12. Тогда ~~г~ > гМ,), (де) - », еш де — О. По принципу максимума У > с, где У определена в (14.25) с С бн,. Вариация ЬА' емкости дается формулой — ((~1тб~з ~~1б~а) - —,(~Ч(С вЂ” С) ~' + 2,(12С 1т(С вЂ” и) = — (~11(й — С))а, (14.32) й й й где У - =О в С„„ У =- О в С,„ по определению.
Для каждого р Е Х проинтегрируем ЭУ/Э1 вдоль луча 1:хер от р до тех пор, пока ие достигнем 4 Е Эб: )! 7 У! < У(Ч) > У(Ч) и Ч(ае)1Р— Ф)- Иитегрируя по р Е Е, получаем сп(де)Ьр < )' ~тамб~ <(Ьр)'~'( Т 1ЧС~а)'~з (с >О). С чо с~с Вспоминая (14.32), заключаем, что ЬК < — ( 1ч У1з < -с(т1Я~))зЬК а1с Комбинируя это с (14.31); находим с с с Ьф...(б) < -с(П(д,))'Ьр+ — Ь < — — Ьр < — — д„ ее ее ее если с(е лостаточио мало; здесь различные положительиые константы обозиачепы с и испольэовало соотиошеиие Ь Р > сНе. Отсюда следует, что С С,„не может быть минимизирующей последовательиостью; доказательство (14.30) тем самым завершено. Так как См содержит фиксироваииый шар Вя (хе), можно легко проверить, что С„, -«С в следующем смысле.
Записывая Эб,„в сферических координатах с началом в хе в виде уравнения г = г„,(Э), имеем: г, .(д) -«ге (д) равиомерио ио 9, где г = ге(0) — уравнение ЭС. Палее, гм (Ь) рввиотеерио.иепрерывиы по Липшипу (равиомерио по т) . Отсюда легко следует, что Х,(С,„) - Л,(б) и ввиду (14.30) Сарй С,„-' -' Сарй С, Зто завершает доказательство леммы. Л е м м а 14.6. Пусть С вЂ” решение задачи (за) . Тогда для некоторых положительных конеген г с, С справедливы следующие утверждения: (1) Р(х» сд(х); (й) Р(х) < сс((х); (ш) ~ ч Р(х) ! < С; (1ч) ! ч7 р(х)! > с в окрестности Эб« (ч) Эй Е С'; (ч() ! ЧУ(х)! > с в окрестности ЭС; лемме), что ЬФл (С) < -с агеа(Тр Г! С) ~Ь(Г) — — ).
ее Так как ЬФл,, (С) > О, то мы цолжны иметь Ь (г) <сг/ее, что дает (т). При доказательстве (П) используются выпуклые поверхности уровня У = г. Подробности доказательства леммы 14.6 см. в 164] . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 14.1. Пусть С вЂ” решение зацачи (за) и и, и определены условиями Ьо+Л,(С)=О, о<0 в С, в=О на ЭС, тьи= 0 в ЙЛС, (14.33) и 0 иа ЭС, и=1 на Г. Если мы докажем, что Л,(С) = Л и — =с — на ЭС, (14.
34) где с — константа, то, продолжая о в ЙЛС как о = си, получим решение о задачи (11.1) — (11.3), и доказательство теоремы 14,1 будет закончено. Возьмем возмущение С в виде выпуклой области, ограниченной (и = е). Это изменит собственное значение и емкость на величины 1Чо1' Ь Л,(С) = — е ( — + о(е), (14. 35) ас 1Чи1 е ЬК = — Сарг! С; 1 — е (14.36) доказательство (14.36) следует немедленно, а доказательство (14,35) основано на лемме 14.6 и цано в [64] . Если ее достаточно мало, то ЬФ„,,(С)< О, е н Л(С) < Л.
Так как С вЂ” минимизирующая, заключаем, что Лз (С) > Л. Аналогично можно показать, что Л, (С) < Л. Таким образом, Л, (С) = Л. Для цоказательства (14,34) будем далее возмушать С, сдвигая поверхности (и = е ) внутрь вдоль нормалей на фиксированное расстояние з. Общие первые вариации Л, (С) иСарцС даются формулами (см. ]64]) 1Ч п1' ЬЛа = — е / — + 3 ! 1Чо] + О(е), ас 1Чи1 ас е ЬК = — Сарг! С вЂ” т ( ! Чи1з + о(е) 1 — е ас 42! (чй) ! ЧС1, 1Ч'г'1 существуютвсюду вдоль ЭС как пределы из С и ьь!С соответственноо. Для доказательства (1) введем поверхность уровня Г,: ( 1' = г), которая будет выпуклой по теореме 14.3.
Пусть р — точка на Г„где д(х) имеет максимум, скажем Ь(г). Обозначим Р меньшую часть С, отделяемую касательной плоскостью Тр к Г, в р, и пусть С = СЛР. Далее будем оценивать ЬЛ„ЬК, соответствуюшие вариациям С решения и найдем (выкладки проще, чем в предыдушей при условии г = 0(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
