Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Выберем г так, что ЬХ~ = о(е), т,е. 1г7а1* г = е ( / )' 1%'с1~ ас 1т7и1 ас Неравенство Ь Фг, (С) > 0 тогда дает 1~г 1г ,/,( 1чи1г < Х 117с1',1 1уи1. ас 1Ри ( эс ас дс (14.37) Используя неравенство Гельдера 1 7„1г Х 1г7и1 ) < )' — Х 1'7и1, дс эс 11ги1 ас (14. 38) получим из (14.37) ( ( 117,1 )' ) 1т7и1г < 1 1 7,1г( ( 1Ри1 )' ас ас дс эс Аналогично, если мы сначала возмутим д С в ( с = — е) и затем отодвинем вовне на расстояние г, получим (14.37) с теми же и, е.
Действуя как и выше, получим также (14.39) с теми же и, с, что означает выполнение равенства в (14.39) . На тогда мы должны иметь также равенства в (14.38), откуда следует (14.34) . Ьгсг = 7(х, и>е,~ юг) + еюе В й, га, =я на дй при условии,что 1е1 малан гс, б С ~(й). [У к а з а н и е.
Функция и, = гс — гс, удовлетворяет уравнению г ие я! ие + яге ' ™е ре(и~) ° козффициенты А не зависят от и, и 1ам 1г+е < С, если [и, 1гьо <Се. Пусть Ти, = = С„если г.(7, = Е,(и,) в й, (7, = 0 на дй. Показать, что Т сжимающий.) 2. Пусть и такая же, как в теореме ! 44, и 7 (и) Е С', 0 К7,„(и) <С 7 (и) -+ -+ 7(и) равномерно в ограниченных множествах, С 7 С, дСм гладкие. Обозначим им решение и, соответствующее у, С . Доказать, что им(х) -~ и(х) Ух Е С.
[У к а з а н и е. Применить принцип максимума к и — и.] 3. Пусть |, К вЂ” однородные гармонические цолиномы, удовлетворяющие условию (Т> О) С (я > О) . Доказать, что я =сУ', где с = сопят, [У к а з а н и е. Обозначим через Ьх сужение лапласиана на единичную сферу Я. Пусть К~, Ка — компоненты ( Т > 0), (я > 0) на Я такие, что Ку С К .
Если ив Задачи 1. Показать, что если гггс = Т(х, ю, чю) в й, дй Е С~+~, Х Е С ~ гс = 8 на д й, 8 Е Сгь" (д й), то существует решение задачи степень|, а  — степень х, то сгя1+ а1 = О, стах + Дя =- О. Следовательно, (о — б) ( 1к = 1' (Тх„- 1„у) = — ( 1„х ~ О. кг дху дку Вывести, что а > б и (рассмотрев — „~; — х), что Д > а.) 4. Доказать (14.27).
[У к а з а н и е (см. !!66!). Показать, что Ф = !!7 у' !з + !эз Ра удовлетворяет неравенству йс э7Ф Ы вЂ” — —, > О (И = 7Ф вЂ” 4Х, Р!гр) 2! у !з! и применить принцип лсаксимума.) й 15. Модель Томаса — Ферми Рассмотрим задачу квантовой механики: 1 электронов, каждый с массой т и зарядом — е, цвигаются в поле положительных заридов, величиной лэсе, фиксированных в точках а! Е1сэ (1 <! <!с). Согласно атомной людели Томаса — Ферми электроны — это "*облака" с плотностью р (х), так что р(х) > О, Г р(х)с1х = 1. и а притягивающая потенциальная энергия (взаимодействие между электронами и положительными ядрами)— ( !э(х) р(х)с!х, где тг !э(х) = — !х — а! ! и кинетическаи энергии — ) р а за(х) с1х Таким образом, функционал нэ (15.! ) Й(Р) = ) р 1 (х)с1х — Г р(х)р(х)с!х + — 1 ( с1хс1у (15.2) 1 Р(х) р(у) Я' Нз 2 нэл !х — у~ представляет общую энергию системы; он называется функционалом Томаса— Ферми.
Пусть К= ( р ЕЕэ(Лз); РЭ О, ) р(х) с!х =1), Лз Ко = ( р Е Т,э (Я з ). р ~ О, )' Р(х) сХх ~ 1). нэ 423 Отталкивающая потенциальная энергия (взаимодействие межцу электронами) есть Р( )РО') лэнз !х у! Зада ч а То маса — Фе р ми. Найти функцию р такую, что 8(р)= спш Ж(р), р яК. апк (15.3) Рассмотрим также следующую задачу: найти функцию р, такую, что 8(р ) = ппп Ж(р), р Е Кь. рпК (15.4) Нетрудно решить задачу (15.4). Действительно, заметим сначала, что функционал (15.5) !х-у! выпуклый (так как, например, 1(~х1 есть преобразование Фурье положительной меры). Функционал в (15.5) также непрерывен на ьь" (йэ). Следовательно, если мы возьмем минимизирующую последовательность задачи (15.4) такую, что рш - р слабо в т.з'з(1тэ), тц! 1впш! 8(р) > 8(р ). Так как,очевидно, р ЕКь, то р — решение (15.4).
Что касается задачи (15.3), то если мы будем следовать вышеприведенным рассуждениям, то столкнемся с трудностью проверки того, что р Я К, или, более точно, что )'р(х) дх = Е Мы установим основной результат для задачи (15.3), полагая ь ~ тл!. (15.6) ь= 1 и в конечном счете установили для минимизирующей функции, что 1 — )'та Их) дх = 1. 2 Подобным образом ограничение в виде неравенства Я(х) дх < 1 (см.
(6.35) ) превращается в равенство при достаточно больших Л. По этой причине целесообразно сначала решить задачу (15А), а затем попытаться показать, что минимизирующая функция р фактически принадлежит К. Такой подход применяется в 11391. Теорема 15.1 будет доказана (в более общей форме) в следующем параграфе. Мы, однако, используем другой подход. Отметим, что если р — решение, то согласно Тео рема 15.1. (1) Если 0 <1 <М, то существует единственное решение задачи (15 3). (И) Если!>М, то нет решений задачи (15 3).
(ш) Если 0<Т<М, то решение р задачи (15.3) имеет компактный носитель. Ситуация здесь аналогична той, что бьша при рассмотрении вихревого кольца. В той задаче мы сначала потребовали выполнения условия 1 — )'тз1(х) дх < 1 (см. (8,1) ), 2 методу леммы 1.1 можно вывести условия равновесия 5 — з~з = — р ',еслир>0, и — Л 3 <О, если р=О, ( ) (15.10) Введем сопряженную выпуклую функцию 1'*(г)= апр [гт — 1(х)[.
гьо Пусть 1' — произвольная функция из Аю,. Рассмотрим функционал 1 б(р) = )' [)(р(х)) — Г(х) р(х)) Вх+ нз + [ .[ Нх Ву. 1 р(х)р(у) 2 язн» [х — у! (15.11) Введем класс допустимых функций ф = рЕА'(Вз) р>0 )(р) — К(р)ЕЕ~(М ), р(х) р(у) ,'„! --, ' ' ' ) (15.12) Тео рема 15.2. Если р ~ а г к, а(р ) ~ а(р) ~р ~ а г к, (15.13) где и= г — Вр и Вр= р(у) иу ° (15.
) яэ!х-у[ 13 1 3/а Очевидно, — тЛи + 4яр = — з г', и так как р = ~ — (и — Л)'~, то 5 — Л и + с [(и — Л)') = — о Г (г > О) . (15.9) Это уравнение сходно с уравнением (5.3) (вращающаяся жидкость), (б.18) (вихре- вые кольца) и (113) (задача о плазме). Все такие уравнения имеют вид — тти — д(и) = Дх), где б(и) монотонно возрастающая; так что, грубо говоря, 8(и) появляется с "оши- бочным" знаком для принципа максимума. С другой стороны, в (15.9) б(и) возни- кает с "хорошим" знаком; кроме того, -Ь+5 — монотонныйоператорвогранич- енн области с нулевыми граничными условиями. Ввиду "хорошего" знака Д в (15.9) естественно постараться лля решения зада- чи Томаса — Ферми сначала решить уравнение (15.9). Это, фактически, и будет на- шим подходом, описанным в следующем параграфе.
Вместо рассмотрения специального случая г "з будем иметь дело с функция- ми /(г), удовлетворяющими условиям )(г) выпукла в С'[О, ), строго монотонно возрастает и 1(0) = 1'(О) = О. го суитесгвуег константа л такал, что !'(Р) — Г+ Вр = — л л.в. на ( р > 0), 1'(р ) — И+ ВР ра — 'Л л.в. на ( р = О). (15.14) Обратно, если 1*Щх) + С) Е 1,'(Вз) (15.15) длл некоторой константы С и р ЕК, го (15.!4) влечет (15.13). В случае модели Томаса — Ферми 1(г) '= с го, !''(г) = г '(г') р < ! — + — = 1, р р г>0. с >О~) / с р = 513.
Вели г' задано формулой (15.1), то (15.15) выполняется с С=- 1 и произвольным р > 3!2. До к а за тел ь от в о того, что (!5.13) влечет (15.14) аналогично доказательству леммы 1.1 и потому опускается. Для доказательства обратного отметим, что если р е-Ь', р>О,то (15.16) 1(Р! — !(Р) Р (!' — ВР— К)(р — р). .Действительно в силу выпуклости ! я (15.! 4) на множестве ( р > 0) !(Р) — 1(р ) > 1' (Р 1(р — Р ) = (р — Вр .- Х)(р — о ).
тогда как на множестве ( р = 0)левая часть (!5,16) равна 1'(р) > О, а правая часть равна (и' — Вр — Х)р <О в силу (15.14). Используя (15.16) „можем записать ! 1(р) — Гр + — РВР ~ — 1 1'(р ) — 1'Р + — Р Вр /1 >~ — РВР + --р Вр — РВР— Х(р — р ). э (15 Л 7) Дпя Р = 0 зто дает ! ()(Р) — !Р)+ — „РВР ( -Зр ЕЬ'.
а 16. Существование решения для модели Томаса — Ферми В этом параграфе мы докажем следующую теорему. Те о р е ма 16.1. а) Пресно:оиилз, что и! у) Г!х) = ! — ' — 6 с Ь'(Л''; !х- г! (!б !) Р > 0 на мнохггсгве чоложигелвной меры. ( | 6.2) 42Ь С другой стороны, 1(Р ) - !'Р = !!Р ) — (И+ С)Р з СВ > --у*('г'+ С)+ Ср С 1, Отсюда следует. и ~ !(о ) — 1'В о3 Ь' л РВР Е1,'. Таким образом, о С 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
