Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Выбпря теперь р нз (ь~ Г' К в (15.17) и интегрируя по ттз получаем, используя (15.5), по й(р) > !1(р'1. Тогда существует число 1е Е (О, >) такое, что (!) если 0 <1 ( 1е, то существует единственное решение р, Х задачи (15.14) с рЕК; (О) если 1>1е, то решений задачи (15.14) не существует! (ш) если 1 < 1е и Р(х) -+0 при !х !-ь, то р имеет компактный носитель.
Ь) Предположим, что в (163) й — конечная мера в Вз; (16.2) выполнено и 1 (т) = с т" (с > 0) для всех достаточно больших т, где р > 413. Тогда: Пч) утверждения (!) — (т) остаются справедливыми; (ч) если !тзадано посредством (15.1), то 1е =М. Очевидно. что теорема 15.1 есть следствие теорем 15.2 и 16.1. Доказательство теоремы 16.1 основано на нескольких леммах. Сначала нам потребуются некоторые определения. Будем говорить, что функция ТЕ 1,!' (В") принадлежит пространству Марцинкевича М" (Я"), если !!у!! а — = аир !А ! "и Х !Йх)!с(х< А СН» А О < !А ! < где !1р + 11р = 1. Очевидно, Мп Э оп, Мр З 11»,, если ц (р.
Нетрудно показать, что ! х ! " Е М "1~(В»), если О < а < и, (16.3) !! Е »1 !!ма ( !! Е !!мл!!1 !!ь' (1 (Р < )' (1 6.4) если Е Е М", ТЕ о'. Таким образом, оператор В, определенный в (15 Я), есть ограниченный оператор из В'(Вз) в М'(Вз). Л е м м а 16.2. Пусть В(т) — непрерывнаа монотонно неубывающая функция, Р(0) = О. Тогда для любой ТЕ1,'(В') существует единственное решение и ЕМ'(В') уравнения — гьи+В(и') =, 1' в Яз; (16.5) кроме того, Р(и) Е 6' (В ) и ) б (и)дх < ! 1 (х)бх. Доказательство см, в (32) .
Неравенство (16.6) получается умножением (16.5) на Н,„(и), где Н (и) -ь 1, если и > 0; Н (и) О, если и (О, и интегрированием по я з. Используя то, что !!уи!! „, < С, (16.7) и беря подходящие В = Я,„., получаем неравенство (16.6) . Отметим, что если р Е о' и Х удовлетворяет (15.14), то Вр Е Мз и поэтому для любого 6 >0 за исключением множества конечной меры. Следовательно, (15.14) дает — Х ( 6 для любого 6 > О, т,е. Х >О. Пусть и= !г — Вр, (16.8) 427 очевидно, что р, Л удовлетворяют (15.14), если и только если (1') '(и — Л) при и>Л, Р = 0 при и<Л. Так как (16.8) эквивалентно равенству — Ли+ 4яр = — 11$; можно выразить (15.14) в виде — Ьи+ 1(и — Л) = — Ь(г в Л (16.9) где' 4п(1') '(г), если г>0, 7(г) = О, если г < О.
(16.10) Таким образом, задача (15,4) с р Е К сводится к задаче (16.9) с )' у(и — Л) сКх = 4я1, Л > О. (16.11) Согласно лемме 16.2 дпя любого Л Р сушествует решение ил задачи илсМз, (16.12) — тли л + 7(ил — Л) = — 4л т при условии, что — Ь (г = й е Е', которое выполняется ввиду (16.1). Определяя 1(Л), 1(Л) = ) 7(ил — Л) г1х, я мы имеем дело с задачей нахождения Л такого, что 1(Л) = 4я1. йл(х)-+ — Л при ! х !— в смысле йл+ ЛЕ М'.Аналогично — Ьй + 7(йя) = — Ы' и йя(х) -~ — д, если ~ х! - ». Теперь можно применить вариант принципа максимума для доказательства йя < йл, если д > Л (16.13) (см.
задачу 1); следовательно, также 7(й„) < 7(йл), так что 1(д) <1(Л). Поскольку — А(ил — т') = — 7(ил — 0) < О, ил — 1' 0 прн !х1- ° в смысле ил — )'б мз, то можно вывести по принципу максимума (см задачу 1), 428 Л е м м а ! 6.3. Если 1(Л) — невозрастающая непрерывная функиия такая, что 1( ) = О, то 1(О) > 0: кроме того, 1(Л) строго убывает на множестве (Л; 1(Л)>0).
Утверждения (1) и (й) теоремы 1бб следуют непосредственно из леммы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть йл = ил — Л. Тогда — слйл + 7(йл) = — гл г по и л — ь' < О. Отсюда следует, что 7(ил — Х) ~ 7(И вЂ” Х). Так как 7(т'- Х)- 0 прн Х- ',то во теореме о монотонной сходимости 1нп 1(Л) = О. л Далее, покажем, что 1(0) > О. Действительно, если 1(0) = О, то 7(ие) = О, так что ие < О. Но так как злио = — дио + 7(ие) = — зл !т то имеем также !т = ис! пришли к противоречию с (16.2) . Бели Х„! Х, то ввиду монотонности ил — Х„имеем ил„- о и и, очевидно, есть Решение того же УРавненил, что и ил, о Е Мз. ВвидУ единственности о = ил, тогда и 1(Л„) - 1(Х) (в силу теоремы о монотонной сходимости). Аналогично Лн ! Л влечет 1(Х.„-- 1(Х).
Таким образом, Х- 1(Х) непрерывно. Остается показать, что 1(Л) строго монотонна на множестве ( Х; 1(Х) > 0). Предположим, что Х<и, 1(Х) =1(д)>0. Так как 7(и — д) < 7(ил — Л) 1 Х 3' Р(+ — )Ых(' (~х !< П Л !х!1 (16.14) Тогда для любой конечной знакоопределенной меры 1 в Аз суи!ествуетединственное решение и Е Мз(йз) задачи (16.5); кроме того, Щи) Е Е'(»!з) и выполнено (16.6). До к аз а тел ь ство. Возьмем последовательность 1н такую,что !!У„!! <С, У'„1' в Ю'. Пусть и„ЕМ „ — !Ли + Р(и ) = 1,.
Тогда, как и в доказательстве (16.6), !!Р(и„)!!ь, ~ !!1„!!, <С, то фактически 7(и„— и) = 7(ил — Х) и поэтомУ т!ил = Ьин, откУда ил = и„. НеРавенство Е(Л) > 0 означает, что множество ( г(ил — Х) > 0» имеет положительную меру. Поскольку 7(г) > О, если г > О, то также ил — Л= и„— дна множестве положительной меры, следовательно, Х = д. Как указывалось выше, утверждения (!) и (й) теоремы 16.1 следуют из леммы 16.3. Дпя доказательства (й() отметим, что 0 (1 (1е влечет Х > О. Поскольку ил — Х < И вЂ” Л, то р = у(ил — Х) < 7(!" — Л).
Используя предположение !т(х) - О, если ! х !., находим, что р (х) = О„если ! х ! достаточно большое. Дпя доказательства (!ч) нам потребуется обобщение леммы !6 2 на случай, когда 1 — конечная знакоопределенная мера. Л е м м а 16,4. Пусть б(г) — ненрерывная монотонно неубывающая функция, б(0) = О, и нусзь !! Ли„!! < 2С, !!я„!1; < С,, !! чи„!! з/з < Сг (см. (16.7)), где Се — константы. Если сможем показать, что (л(и„)) относительно компактно в А'(К) (! 6.15) для любого компактного подмножества К С /т', то для подпоследовательности и„-~и в Л,' и иЕМз — би еб(и) = / с ф(и) Е А'; (16.6), очевидно, также имеет место.
Единственность доказывается в точности так же, как в лемме 16.2. Для вывода (16.!5) достаточно показать в силу теоремы Витали (см., например, [79, с. !22]), что для любого е >О существует 6 > О такое, что если [К ! < 6, то /!Яи„)! < е англ (16.! 6) к Полагая /1(г) =б(г)+ ! 6(- )! О, имеем Х[Р(и,)! = )' ! /!(и„)! + / ! л(ц„)! < я о(1яя1кн) к о(!яя! > и) < 1 К ! ИИ) — /' Р(Л)~/а„(Л), где о„(Л) = тез[! и„! >Л[ <С/Л'.
Интегрируя по частям, получаем --/ !3(Л)Иа„(Л) = б(Я)о„(Я)+/а„(Л)с/б(Л) < Сд(Л) - 1 - 5(Л) ь С/ — /б(Л) < С, / ~/Л. /1з Лз и Л~ Таким образом, ф (Л) /[Яи,)!<[К!!1(Я)+С / к и Л4 Поскольку /!(Л)/Л Е А'(1, ') в силу (16.14), можно сделать второй член справа меньше, чем е/2, при достаточно болыпом М. Далее, выберем ! К ! настолько малым, что ! К ! б(Я) <е/2, и затем выведем (16.16). С помошью леммы 16.4 теперь можем установить утверждение (1ч) теоремы 15.1, рассуждая так же, как при доказательстве (1) — (и1), Заметим, что в пред- положении Ь) условие (16.14) выполняется дла ф= г. Остается доказать (ч) . Отметим, что 4»«, = 3'7(ио) — Ьиь ь 7(ие) = — д 1г, — Ь(г= 4»Хт;Бап где 5, — мера Дирака с носителем в а. Таким образом, в силу (16.6) ! ь «.
< — Г'(-ГьР)' = Х т, = М. (16.! 7) 4» — 1 Оля доказательства обратного неравенства используем хорошо известную формулу 1 асс ! — Г' (16.!8) 4» ! ~ = с [гсо — у[ гпах(г, [у !) Ро(У) ие(х) = 1(х) / ду [х — у[ (16.20) и «о = Гро(у)ду. Рассмотрим сферическое среднее й(г) =," о(г со)йтсо ~ ы! =! дчя г) гпах([аг !). Если возьмем сферическое среднее обеих частей (16.20) и используем (16.18), то получим 4»М Ро(у) йе(г) = — — 4»,[ ду > г (,У) 4яМ ° Ре(у) 4»(М вЂ” Ге) — — 4»Г' оу = г г Следовательно, если «е <М, то (16.19) дает Ре(г) >е,г 'Г(а О (се)0) и, таким образом, [Ре(х)сГх = 4» [ре(г)г дг > 4»соГ" г Гса 'Ъ= (ео >О), поскольку р > 4/3; пришли к противоречию.
Таким образом, 1е > М, что дополняет оценку (16,17). Закончим параграф теоремой, содержащей некоторые простые наблюдения. Опрецелим р по формуле 1 ! — + — = 1. Р Р Те о р ем а 16.5. ««Усть р >3«2, Тогда: (1) и =их локально класса С~ " 1 " за исключением множества(аь..., ае), еде о = р' — [р [ нри условии, что р не целое„и и класса С '" 'а дл» любого О < !5 ( 1, если р целое; 431 где гсо отождествляется с точкой х Е Гс', имеющей сферические координаты (г, ш!.
Пусть ре обозначает Р, соответствующее Х = О. Имеем Ре =е(и;)'Д" '! (с>0), (16. ! 9) (й) функция их — Рнринадлежит Ст(Я~) для некоторого 7>О; (ГН) р непрерывна по Гельдеру в Яз, и открытое множество й =(х; р(х) > О) содержит окрестность множества ( а,,..., аь); (1ч) каждая компонента й содержит по крайней мере одну точку ар До к азат ел ь от в о оставляем читателю (см.зацачу2). Задачи 1.
/Ьказать (16.13). [У к а з а н н е. Умножить уравнение для йн — йх на (й„— йх)' и проинтегрировать по (!х ! <Я). Устремить/2 к и использовать (167).[ 2. Доказать теорему 16.5. [У к а з а н и е: (1) и (Н) следуют из эллиптической регулярности и неравенства Соболева. Дла (й1) и (1ч) следует применить принцип максимума для йь.[ 3.
Предположим, что 0 < 1 < 1е и ! аэ ! < С для 1 <1 '~ й — 1. Показать, что если ! аь ! достаточно большое, то компонента ( р > 0), содержашая аю не содержит никакую другую точку ао 4, Предположим, что 0 < 1 < 1ь и а„..., аг э фиксированы. Показать, что если ! аг — аь, ! достаточно мало, то аь и аа ~ принадлежат одной и той же компоненте ( р > 0) . б 17. Регулярносп свободной границы в модели Томаса — Ферми В этом параграфе мы изучаем регулярность свободной границы Г=дй, где й=( р>0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
