Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 43
Текст из файла (страница 43)
н. д(ию >Е) где 01 ) У, находим откуда следует (6.6) . Из (6.5), (6.6) получаем Л ) (< — .( Ч(.Чи. д (и > О) (и > О) Так как д ( и> 0) Е С'~, то и также принадлежит С" вплоть до этой границы Т е о р е м а 6.1, Пусть им — локально минимизирующая функция, удовлетворяющая (6.1), (6.2) . Тогда ььииО в ь1П (и>0), (6.3) (см. замечание 5.4), н мы имеем .( Л+ — ( <О, а поскольку (' произвольная, то ди Л< — — .
ди Для доказательства обратного неравенства возьмем произвольную точку Хе = = (хе, у,) в Угад(и>0) . тогда существует последовательность точек к,„е У такая, что Х,„» Хе, и(Х ) = О. Действительно, в противном случае будем иметь Ьи = 0 в некоторой окрестности г' точки Х, и поэтому также Ьи = 0 в Г. По принципу максимума тогда иг— а 0 в 1', что противоречщя предположению Хе Е д(и>0) .
Выберем г малым и областиР СВ,(Хе) СУтакие, что В„(Хе)ГтдР -~В„(Х )Од(и>0) в С'+В(0<В<а), и >О вР (б.7) Х 4Р. Для определенности можно предположить, что В,(Хе) Г1 д(и >0) задана уравнением у 7(х),7'(хе) = О, Р =В,(Х )Г1(у<1' (х)), Уи (х) =йх) — е„„Ь, ) О, если т-+ Пусть .т ехр —,, если !х! <1, 1 — х (6.8) т1(х) = если 1х! > 1. О, Определим функцию /х — хей )а,„(х) = 7 „(х) + ат1~ — ), а > О, г/2 и область Р, = В„(Х,)О ( у <,~,,„ (х)) Тогда Ре м = Р и в силу (ЬД) имеется значение а = т,„такое, что и„,>0 в Ра В,(Хе) ОдР, содержит точку свободной границы, скажем, Х = (х, у,„), глеу,„=У;,,„(х,„) и а - О, если тл-ьО. Пусть Р„, =Р, м; о„, — решение задачи до =ОвР, о =0 на дР Г1В,(Х ), ом =и на д.б О дВ,(Хе). Так как Ди,„= 0 в ?), то по принципу максимума и,„> и в?1 и, следовательно, дим(Х, ) дпт(Х ) Х = ™ л' (6.10) ди де Ввиду (6.10) получаем неравенство д.
(Х) до (6.11) Полагая г- О, выводим (6.11) в Х = Хо; доказательство завершено. Задачи 1. Распространить результаты 1 2, 3, 5, 6 иа случай функционала l~~ъ Р 1(о) = Ц вЂ” + Яг1( о> о) у Их Ву, где Й вЂ” двумерная область; здесь д'и д'и 1 ди + — -0 в ( и>01, дх' ду' у ду 1 ди — — = Ц на свободной границе, у д о — внешняя нормаль.
(Теорема 4.2 также распространяется на этот случай и фактически все результаты а 2 — 6 справедливы для функционалов Х (ад(х)их пх +О'1(о>о)) «х с ЙСк" при условии, что (аи) — положительно определенная матрица, аа(х) гладкие.) [Указание.См.леммы 83 и 861 2. То же для функционала Яо(о) = Г! 17с+ еЦ1(оэо)!'Их, где ЙСЯ", е — единичный вектор в тт", и для функционала 'оп г У,(п)= 3' — +е(21(о>о) удхбу, гг где Й СВг 224 В силу (6.9) 1о (х) -+1(х) в С'+В, Поэтому ввиду эллиптических оценок и вт5 ЛВ„1г(Хо) сходятся кив (и>0) гЗ Л Вг1г(Хо) в смысле С'+е. Можно считать, что Х,„- Х при гл- и согласно (6.9) ХЕВмг(Хо) Гъд(и>0) . Тогда до (Х ) ди(Х) д. д.
$ 7. Симметри щые перестановки Лалее, в этой главе и в следующей, мы будем использовать некоторые хорошо известные факты о симметрнзации функций. Пусть Š— открытое множество в двумерной полосе ((х,у); — а < х< а) и Ер =Ет1 (х= р) .
Обозначим [ЕР! одномерную меру Лебега множества Ер, пусть ° [ 1 1 Е' = (р,у); — — ~1Е ! <у < — !Е ! 2 2 (7.1) Множество (7.2) называется симметризацией Штайнера множества Е относительно прямой у=О. Если Е замкнуто, определяем 1 1 Е*= (р,у);--!Е ~<у< — !Е ! 2 2 ! н тогда Е", определяемое по формуле (7.2), будем называться симметризацией Штсйнера множества Ь'. Очевидно, глезЕ= тезЕ'.
Можно показать, что если Е открыто (замкнуто), то Е'открыто (замкнуто). Пусть и(х, у) — непрерывная неотрицательная функция, определенная в прямоугольнике Я„ь = ((х,у); — а <х <а,— Ь <у <Ь) у;!у~< — ~о '[с,')~ и у;!у!< — !о '(с, )! 1 1 ! (' 2 соответственно. Определим, что и'(х,у) = с, если и только если у~(о 1[с ' )) М~ 1(с )) Отсюда следует, что и"(х, у) = и'(х, — у); и'(х, у) монотонно убывает по у при у)Ои шез(у1и'(х,у)Е(с,И)) = тез(у;и(х,у)Я(с,а)) при любом О < с < А Можно также показать, что [а (и * (х, у), х) ах Ыу = ( а(и (х, у), х) с(х йу (7.3) для любой непрерывной функции а и )и (х, у) и (х, у) Ь (х) ах ау,а >) и(х,у) ю(х,у) Ь(х) ах ау, (7А) если ю удовлетворяет тем же свойствам, что и, и Ь вЂ” неотрицательная непрерыв.
225 15. А. Фридман такая, что и(х, у) =и(х,— у). Лля фиксированной точки х рассмотрим функцию о(у) =и(х,у) и множества в '[с, ),и "(с, ) для с~О, где и '(А) = (уЕ [ — Ь, Ь1; о(у) Е А ) . Обозначим (о ' [с, )) ' и (о '(с, ' ))' отрезки ная функция. Если Ь > О, зу»О, то в (7.4) имеет место строгое неравенство за исключением случая и'= и цв.
Используя (7.3) и аппроксима«лне, можно теперь определить и' также, когда и — произвольная функция из Х, '; это будет функции четная по у, убывающая по у при у> 0 и удовлетворяющаа (7.3), (7.4) . О и р е д е л е н и е 7.1. Функция и (х, у) называется перестановкой и (х, у) в убывающем порядке ло переменной у, или симметризацией Штейнера функции и(х,у) относительно прямой у = О. Т е о р е м а 73. Если и Е Н'Я ь), и> О, и(х, у) = и(х, — у), и(х, Ь) = О, то ]Чи']~Ь(х)с«хсзу< ) ]Чи] Й(х)дхс«у (7.5) <2а, ь з2, ь для любой непрерывной. неотрицательной функции Ь (х) .
Этотрезультатв основном содержится в [154] (см. также [92] и [103]). 'Можно подобным образом определить перестановку в возрастающем порядке ло переменной у, предполагая, что и> О, и(х, 0) = 0 и и(х, у) = и(х, — у) . Эта функция дла произвольного х монотонно возрастает по у при у > 0 и имеет ту же функцию распределениа в у как и и(х,у) т.е. гпеа(у;и(х,у) ч: А) = тоеа(у;и' (х,у) ЕА ), Можно также определить перестановку в возрастающем порядке по у относительно меры у ду вместо ду.
Следующий результат доказан в [102] . Те о р е ма 7 1'. Если и" — перестановка и в возрастающем порядке ло у относительно мерьз уз(у, то ]Чиз]зуд»с«у< [ ]Чи]туг(хду (7.6) Оа, ь Оа, ь Пусть (т, О, г) — цилиндрические координаты в Кз, и предположим, что и (х), р (т, г), р > О, р (т, г) = р (т, — г) . Пусть и' — перестановка в убывающем порядке по переменной г.
Справедлива Т е о р е ма 7.2.Имеет место неравенство ()«(У) 3) () (У) пз нз ],] нз из 1» у] где равенство выполняется, если и только если и' = и п.в. Неравенство (7.7) вытекает из следующего результата. Т е о р е м а 7.3. Если 7'(х), я(х), Ь(х) — четные неотрицательные функции и 7', г', йз — их симметричные (относительно х = 0) перестановки в убывающем порядке, то О 7'(х)г*(у) Ь'(х — у) дхзгу > О Г(х)е(») Ь(х — у) дхбу. (7.8) ЯЯ яя Доказательство приведен9 в [112]; утверждение о равенстве в (7.8) следует из доказательства. Теперь введем сферически симметричные перепили«вки в убывающем порядке.
Пусть и(х) определена.в ограниченном открьпом множестве ЙС«та и д(г) = гпеа ( х ~ й; ]и (х) ] > г ) . Определим и* (г) = ш1 ( г > О; И(г) ( т ) ян/т и' (х ) = и'(у„т"), т = ! х[, 7„= Г(1 + и/2) Тогда и'(т) убывает и я(и' (х)) е(х = Г8(и(х)) дх Я (7.9) лля любой непрерывной положительной функции я; кроме того, / и'о'с(х~ 7' иаа~х, л с ииа принадлежат2, (С). Справедлива Те о ре ма 7.4.Если иЕ (т'а(С), 1 <р <я', то ( ]57и*]ас!х < ~]т7и]аг(х. лч с (7.10) Р: [[ 7'(х) я(х) й (х — у) Нх Ыу.
Задачи 1. Доказать (73) . 2. Доказать (7.4) . 3. Показать, что теорема 7.2 следует из теоремы 7.3. 4. Доказать теорему 7.4 для р = 2, и = 1. 5. Доказать, что если и(х, у) непрерывна, что и'(х, у) непрерывна. й 8. Осееимметричные струйньи течения Пусть 7ч' — непрерывная кривая Х=Х(г) = (х(г),у(т)) (О<г < ч) такая,что: Х(0) = А, где А = (О, 1.), Х=Х(г) есть у-график, (г) >1, (8.1) ]Х(г)]- °, если г Х(г) кусочно класса С'+а(0 < а < 1), рх(г хо) ФОдлявсехО<г <™. Второе условие в (8.1) означает, что любая прямая у =уе, которая пересекает Ф, пересекает Ф либо в одной точке, либо по одному отрезку.
Мы предположилн для простоты Х(0) = (О, 1), но все последующие результаты верны также для общего случая Х(0) = (х(0), у(0)),у(0) ) О. 227 15" Этот результат для р = 2 дан в [154], а для других р — в [!69] . В заключение приведем обобщение теоремы 7.3 нз [1б31, Т е о р е м а 7.5. Пусть Т, 8, й — неотрицательные Янкции в !!" и 7', 8', Й '— их сферически симметричные перестановки в убываюшем. норядке соответственна. Тогда ):)' 7' (х) 8' (х) й' (х — у) Их с!у -. инил Пусть А'=( — а, 1), А" =( — а,б) для некоторогоа ) 1 и 11 — луч у = 1, х > О, 1о — кривая, состоящая иа АА', А'А" и интервала у = О, — <х< -а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
