Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 40
Текст из файла (страница 40)
11, Ь, с, Идея состоит в параметризапли 7" и ж одним и тем же параметром г; г изменяется в комплексной плоскости с удаленным вещественным интервалом ( — !, 1) (рнс. 11, с1): 1/ 1т 7 = 7гт, — ~ю — — ) = Г 2 зс где г = +1 соответствует концам пластины. Используя соотношение м = Иу~Ыг, мож- "г У Рис 17 207 Рис.!2 но найти параметрнзацню г = т(г) свободной линии тока. Действительно, — =ю=( — — + — — 1 где ветвь квадратного корня выбирается так, что ю - (), если г б. Тогда Дл — с(; = 2 Й 3' (1 + х/Г- т') ~й, 4~ о (1.5) 21 у = — + — (г — 1) дпя гР'1.
2 4+и' Далее мы используем метод годографа для изучения задачи о струе с симметричным соплом, образованным двумя прямолинейнымн отрезками, каждый из которых наклонен под углом оя к оси (рис. 12, а). Образы в плоскостях/и ю изображены на рнс. 12, Ь, с, а в плоскости г (рнс. 12, г() мы исключаем интервал ( —, — 1). Тогда г=- ю = /'(г) =( „/1 — гт +1г)ь и свободные линии тока задаются формулами Ь ' (х/1 — т — (т)" г(г) = — — / г/г, 0(г(1. я ! т (1.6) и Й = 1/(4 + я) — данна пластины.
Верхняя свободная линия тока описывается фор. мулами 1 х = !гх/г' - 1 — 1П(1 + ъ/т' — 1)!, 4+а Обозначим уе координату у точки В, а у — предельную высоту верхней свободной границы при х- Число Сс =У /Уе называется коэффициентом сужения соила. Легко посчитать, что (из (1.6) ) ~ 1/2, если а= 2, С,= (1.7) ~ л/(л+ 2), если а = 1. Задачи 1. Лобовое сопротивление'/7 пластины (рис. 12) вычисляется интегрированием разности давлений на обеих сторонах; Пэ /9 = / (р — р,)ду, (1.8) — 1/" р, — давление в полости.
а) Показать, что /7 = р//(4 + л) (коэффициент лобового сопротивления есть Со = В/1 = л/(4+ я)). б) Показать, что у — с „/х вдоль верхней свободной границы при х— (с — сопв1) . 2. а) Проверить (1.5), (1.6). б) Доказать, что для произвольного а Е (О, 2) — = 2 — — 1 — '/Ф( — + -) — Ф( — )— где Ф(х) — логарифмическая производная гамма-функции. 3. Доказать в случаях плоскости и осесимметричного потока, по Э/ — + /сд = О в жидкости, Эр (1.9) где ц = ~ 1/д), р — нормаль /с — кривизна линии тока (берется положительной, когда линия тока выпукла относительно той части, на стороне которой нормаль поло- жительна). й 2. Вариациоииая задача Пусть й — область в Я", не обязательно ограниченная; предположим, что Эй кусочно класса С'. Пусть Я вЂ” непустое открытое подмножество Эй с границей ЭЯ кусочно класса С'. Пусть ие — функция, удовлетворяющая условиям це ~/, (11) 1/цо Е/г(г1) це ~О 14.
А фридман Сопла с и = 2 называется насадкам Барда; формулу (1.7) впервые (1766 г.) установил Борца на основе физических рассмотрений. Ниже установим сушествование решений дпя струй и полостей и докажем, что 6„, й имеют постоянные знаки (при у > О) для некоторых геометрических форм сопел и препятствий (для полостей). Мы установим также асимптотическое поведение Ф на бесконечности. Используя зги факты, можно применять метод годографа длн некоторых специальных геометрических форм; в частности, будут выполнены (1.5) и (1.6).
Введем выпуклое множество К=(оЕХ~ (Й), 17иЕХз(й), о=ио на Ю) и функционал 1(о) = ( [! Чю !'+ 7(ь» о)(2з16(, (2.1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функционал 1 неотрицательный, то сущест- вует минимизирующая последовательность и,„, т.е, и,„ЕК, 1(и,„)- а —= шГ 1(о) (0<а< ). епя Поскольку последовательность ! )7и,„) ограничена в Еа(й) и и,„— ие = 0 на Я, то (ию — и ) ограничена в ь~(й г) Вл) для любого шара Вя с большим радиусом А.
Следовательно, существует функция и в К такая, что для подпоследовательности 9и,н - 17и слабо в А*(й), и,„- и п.в. в й. Кроме того, найдется функция 7 Бй (й) такая, что Х(„» о) -» у *-слабо в Ь (Й). Далее. для любого большого А ,( [!(7и!'+у !п((2,В)') < О о Вя < !!пь!пГ,( ! (7и,„!з + !лп ( 1(„> (,) ш!и(!Х, Вз) < м плавя а»»овл < 1пп1(и,„). Полагая А- я замечая, что у=!п.в. в(и>0),заключаем,что 1(и) < ( (!Ри [г +,„(гг) <1! Далее предполагаем,что О < (»Зт!а < (ьч <!г!а»ьх < (2.2) Определение 2Л.
Функция и Е К называется локально минимизирующей, если дпя некоторого малере е > 0 имеем 1(и) к. :1(и) дпя любо~о о Е К такого, что 1! (7(о и)[[ь»(0) + !! 1(е» 0) — 1(и > 0)![ь (а) < е. Л е м м а 22. Если функция и локально минимизирующая, го она с) беар моническая и (но лемме 1. ! 0.1) имеется представитель и, дяя коюрого и(х) = !пп ( и Чх ЕЙ.
(2.З) ° )о в,(х) Кроме того, и нолунелрерьщна сверху. 2!0 где Д вЂ” заданная неотрицательная измеримая функция, а Уя — характеристическая функция множества г!. Теорема 2Л. Если Х(ие) <, го сущеетвуег функция иЕК такая,что 1(и) = ~пп 1(и). он к В дальнейшем всегда будем иметь в виду этот представитель. До к аз а тел ьс та о. Для неотрицательной функции 1 ЕСо (Й) У(и — е() —./(и) ~ 0 тт'е > О, откуда следует, что /171 17и < О, т.е.
и субгармоническая. Л е м м а 2.3. Естти функция и локально минимизирующая, то О~и ~ зцрио гт Доказательство. Следует использовать неравенство 3(и,) > з(и) с и, =и — етп1п(и,О) н и, =и+ еппп(тири — и, 0). гт В й 3 мы докажем, что и является непрерывной функцией (фактически, непрерывной по Липщицу). Из этого следует, чго ьтножество ( и > 0) открыто.
Воспользуемся этим фактом при установлении двух следующих результатов. Л е м м а 2.4. Если функция и локально минимизирующая, то она гармоническая в открытом множестве ( и > 0). До к а за тел ь с та о. Следует испольэовать неравенство У(и + е ь>) > 7(и) с ( Е Со (( и > 0) ) Отсюда следует, что линейный по с член обращается в нуль и, так как функция и гармоническая в ( и > 0), ( т7.
[([~7тт ['+(эт)л . 2(т) т71т)тзи) = (н>о) = 11т „Г [([Tи[э +(гт)л — 2(Л т7тт)ти[ .и = тта а(и > о) = 1тпт ( (Цт — [йи[т)Л т. ото ь(~ > т) граница О(и > 0) класса С' и и при. свободной границы, то ('т 5) Гт К. то Теорема 2.5 показывает, что если свободная надлежит С' в ( и > 0) равномерно в~по гь до 1 т7 тт 1 = 1'.7 на свободной границе. 3 а м е ч а н и с.
Так как 7(тт ) < 3(и) чти ппп .У(и) = ~п!л У(и). онл' .=к,о.= о 211 [е [ достаточно мало. Т е о р е м а 2.5. Пусть функция и локально минимизирующая и 12т ЕНтос (Й). ТОгда 1нп ( (1~7и [' — (2э)Л и = 0 (2 4) ото э(и > е) дття любого и-мерного вектора и с колищнентами из Со (Й), где и — нормаль. До к аз а тел ь от в о. Для любого вещественного е ([е [ мало) положим т,(х) = х + еп(х) и определим и, по формуле ио(т,(х)) = и(х). Тогда и, ЕК и 0 <.7(и ) — 7(и) = г [[т7и(() )-~ [т +(гтз [ д 1(), [[тт„[т + ~т [) (и > 0) =е Х (!т7и['+(2')т7.Л+ (н > о) + е 3' [-2ттиТ)Л%'и+ ттд~ т1[+О(е).
(и>о) Задачи 1. Используя сферические координаты х = (гесты а!пО, га!о~а!пО, гсоаО), определим функцию и(х) = г шах(/(0)/т (Ое). 0), где ! - соа0 ЦВ) = 2+ соаО 1п— ! + со50 есть решение задачи ((а!пО)7')'+ 2(а!пО)/' = О, 7'( — ~) = 0 'з,2/ иОе единственный нульфункции 7' на (О,л/2). а) Показать, что и гармоническая в (и > 0), [!7и ! = ! на д(и >01'т!0); д(и >0) имеет особенность в начале координат и [!7и ! < 1 — се (с>0),если Во+с<0<я- Ое б) Показать, что функция и не является минимизирующей относительно А когда й =8,(0), Я= дй, ие =и, 0= 1. [ У к а з а н н е: Ве - 33', соа'0 е > 1/2 и для О е < О < я/2 (т!пВ)7 (Ве) >(япде) 7' (0)(1 + (соазО )/(0)).
Используя зто, показать, что если ]', (х) = 4е(1/г — 1), и, = п1ах(и — !„0), 32 е зю(/(и,) — /(и)) - — и от(Ве)(хГ2а!пВе)— /г — (Я(В)) ~'~ [(ь!пО) ~'(Ое) — (оп Ое) Х'(В)]г/О < 0.] в, 2. Рассмотрим функционал 3,(е)= / [[~7и!'+()з(и')"]г/х (0<а<!) и определим Ке = ( и Е К, Ц'(е')" Е 1.'(й)). Распространить теорему 2.1 и лемму 2.2 на случай 7а, К,„. ьч 3. Регулярность и иены(зоясцеииость Из теоремы 2.5 следует, что если свободная граница гладкая, то для любой точки хе свободной границы имеем и(х+ хе) = Д(хе) пэах( — х.
и(хе). 0) + о(! х !) (3.1) при ] х ! — О, где и — внешняя (относительно (и > 0) нормаль. В этом параграфе мы выведем слабую формулировку (3.1) в терминах усредиений и. Оценка сверху дана в лемме 3.1, а оценка снизу — в лемме ЗЗ. !!ервой оценки достаточно, чтобы заключить, что и непрерывна по Липшицу (теорема 3.2). Мы часто будем использовать изменение масштаба. Если и — локально мнними.
зирующая в Вр(хе) С й, то 1 ир(х) = — и(хо + рх) (3.2) р локально минимизиРУющаЯ длЯ 1„)р(х) = Яхо + Рх) в В, = В, (0). Ле м ма 3.1. Существует ноложительная константа С' = СхД„,ь„(С„зависит только от я) такая, что для любой (локально) минимизирующей и в каждом (малом) шаре В„(хь) С й 1 — / и>С' влечет и>0 в В„(х,). (3.3) г ЭВ„1х„) Доказательство. Идея доказательства заключается в том, что если усреднение и на аВ„(хр) большое. то, заменяя и в В„(хр) на гармоническую функцию и с граничными значениями, равными и, мы уменьшим значение функционала, за исключением, конечно, случая и = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
