Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть и = г" 'и„. Доказать: а) до». 2(л — 2) и„ + о, = г - гп-з(гз))„— 2г"-гп в смысле распределений в /У, Ь)о<0 в У. [У к а з а н и е. Взять ю = е и'о и пробную функцию Г = е "пзах (и - М, 0), где М = шах ю.] с) /»/(т) звездна относительно любой точки, близкой к началу координат; следовательно, Г, липшицева: д) /У задается локально в виде х» = ь(х,,..., х»,, х,+,,..., х„, т) суй С 3.
Некоинцидентное множество для задачи Стефана имеет внд г < у(х), где »2 — непрерывна по Липшицу. [У к а з а н и е. Используйте метод доказательства теоремы 6.1 для того, чтобы показать, что Аи, + т,с»х„, — и положительна, если Хс»2 < ! и А достаточно большое.] 4. Рассмотрим одномерную задачу Стефана и,— и.=О, если 0<х<а(с), с>0, и„(0, с) = Х(с), если с > О Яс) < 0), и(х, 0)=Ь(х), если 0<х<Ь (Ь>О,Ь(х)>0), и(т(с), с) = О„если с > О, ит и„(т(с), с) = — —, если с > О, ссс глас" (0) =й'(0), й(Ь) = Онс',й непрерывны. Сделаем преобразование й(х, с)= 3 и(х, т)сСт, т(0 чтобы свести задачу к вариационному неравенству с условием Неймана в х = О.
Доказать, что существует единственное решение с тз (с) > О, т Е С 5. Предположнм, что в задаче 4 Ь (х) < О, Ь '(х) > О, Ь"(х) — монотонно возраставшая Ь'(х) ит'= — О. Доказать, что т (с) строго монотонно возрастающая. [У к а з а н н е. а) Показать, что их < О, и, > 0; Ь) а = ис/и„удовлетворяет па. раболическому уравнению н не принимает локального экстремума на свободной границе; с) рассмотреть кривые уровня ( т = а ), онн регулярны для пл.а (по лемме Сарда): ] б. Распространить результат задачи 5 на случай 7' $0, но с'(с) < О. (Указание.
Показать,что г не можетприннмать минимум пах 0.1 7. Использовать лемму 9.14 для того, чтобы вывести: Г, б С'+~ для любого 0< 1< 1. (указание. Пусть $,„=хе — х,„о, а<н, $„= — ия„(х, с), хо = (те1 ...,хоп) Е Гс о(р) = х„$„+ и(х, с). Тогда 1 1 с(с' ")'= "е е„~ "е~т~ Х(е) Оти1я Отл$я а ( и ч(Я в (с = ( 3, $„< О, ! $! < е), о = 0 на $„= О, где с' 1 + ис е со'. ФУнкциЯ и ит, (б < н) удовлетворяет эллиптическому уравнению в (т', ю = 0 на $я = 0; приме- нить эллиптические Т,аоценкн н вывести, что о Е Сз+~. Наконец, Г, представима в виде х„от„..) 8. Пусть С вЂ” область в А" и Я вЂ” открытая гнперповерхность дС класса С'+ь.
Если с1тт=у' в О, и ЕСт(0) С~Сеф), те=я на Я, гла УЕЬ (С),не С'+"(5), то РЯС'+~(С гсЯ). (указание. Предположим, что 7 =О.Пусть уа ха (се <я), уя = хи чт(х ) где Я задана в виде х„= зэ (х ) . Тогда г (у) = и — я удовлетворяет условиям а (з = — т.— 8,„(у <0), дуе э=О на у„=О, Согласно доказательству леммы 4.2 из гп. 1 г е С" цля некоторого 0 < и < 1 н нз теоремы 92 и [За] имеем г Е С'+,] 9.
Согласно задачам 7 и 8 и, Е С" ((Лг О Г,) гЗ (Г), сг — окрестность хе, с постоянными Гальдера для и,„, и„,.„, не завнслпшми отт. Используя зто, непрерыв. ность «(х, т) и монотонность 8 ло т доказать, что и, и„.„. непрерывны по ц ггГ ! / 10.
В постановке задачи 9 показать, что Г класса С' в окрестности (хе, гь). [У к а з а н н е. Взять коне шыс разности а соотношении и„(х', я(х', т), т) = 0.] ! 1. Показать, что, вообще говоря, температура в зада ее Стефана не буцет непрерьвной ло Гельдеру, если л > 3. [У к а з а н и е. Рассмотрим радиально симметриююе решение и(х, г)=й(б г) (г=]х]) такое, что (О, 1) есть точка свободной границы и Ф= ((х, Г); т>а(г)), Л.= ((х, Г)', 1<а(г)), о(0) = 1, Ввиду невырожценности й(г, 1)> сг' (с > 0).
Если и, непрерывна по Гельдеру, то дпя некоторого е > 0 йг(г, т)(Сг~, если 1 — б (г < 1, 8 ч н(г), Следовательно,й(г, т) >О,еслиб =сага ' (се >0) и темсамым ЛС ((х,т); 0<1 — т(гег' '). Так как и, — барьер для Лгв (О, 1), приходим к потиворе шю стем известным фак. том, что для уравнения теплопроводности в Ф не существует в (О, 1) барьера, когда Л лежит в зоне параболического типа см. [82, 165], гце дано вероятноспюе дока- зательство; другое доказательство следует иэ критерия Винера [86],] З 10.
Устой яавость свободных границ — Ли+У'Р~ 0 и Р'0 п.в. в И, ( — Ли+у)и=0 ] (10.1) В этом параграфе мы рассмотрим как эллиптические, так и паоаболические вариаплонные неравенства и установим оценку меры множества ( и > е ) (когда препятствие тождественно равно нулю). В качестве приложения цокажем; а) сиободная граница имее~ конечную меру Хаусдорфа Н„,, б) если свободная граница гладкая для какого-то решения и вариационного неравенства, то свободная граница для любого другого решения й такого, что ] й — и ] мало, также будет гладкой. ь Для простоты в качестве эллиптического оператора рассматривается оператор Лаиласа. Таким образом, мы изучаем задачу гле П вЂ” ограниченная область в А". Предположим, что ~еС~А(й), иеС' '(а!), (10.2) (10.3) 2>Х>О в О.
Пусть !и!сл 1(П! ~ !т !Со'!П) н, как обычно, обозначим !и', Л, Г неконнцидентное множество, коннцидентное множество и свободную границу соответственно. Для произвольного множества Е С Аю и е > 0 запишем Е(а) = ( ХЕА ' б!ат(Х,Е)<е) Е! 1= (хЕЕ; б!а1(х,Аиа 1,Е)>е) . Пусть О, = (хЕУ; [Чи(хП<в). (1 0 А) Обозначим и(К) меру Лебега множества К С А", и пусть А (дК) обозначает площадь поверхности границы дК множества К.
Следующая лемма является фундаментальной лля всех результатов этого параграфа. Л е м м а !0.1.,7ля любого компактного множества К С й с границей Б класса С' и(О, ГЗК)<Се(и(К)+А(Я)) (10.5) при всех е >О; Сзависиттолько отМ, Е,Х,К. До к азат ел ьот в о. Пусть Оа = ( ха%; ! Р и !<е) и — е если Р1и< — е, й1 =~ рги, если — е<р!и <е, е, если Р!и > е. Тогда ) !! й' г!р! ийх + 3' )г'Ь р! иг)х = к к = )' )ггР„(Р!и) г!Я, 8 где Ри — производная по внешней нормали. Следовательно, !атр;и!'с(х< )' ! !!'р т!а)х+ 6 о Х + ) 1)г!РРР!И1г(3<се(д(К) тА(Б)). Суммируя по! и используя тот факт, что Ог, З О, лля каждого 1, получаем ! 17зи !зс!х <Се(и(К) +А(Я)) .
о,ох Так как, наконец, 2 а 1 2 х' 1Ч и! < — !!ги! > — в !У, и пз то получаем (105). 193 13. А. Фридман С л е д с т в и е 10.2. Пусть К вЂ” яроизвольная область из й1 е) с границей 5 класса С'. Тогда д((0<и <а') Г1К) <Се(д(К)+А(У)). (10.б) Действительно, по лемме 3.2 (0<и <е') ЙКС Ос, ПК с некоторой константой С, и по лемме 10.1 выводим (10.6) .
Следствие 103.Если хЕ Г Пй( 41 (8 >0),тот)ля всех е>0 д(В,(х) П Осе) >7, д(В ) (10.7) где Си 7 — положительные константы, зависяигие только от М, У, Х, 8. Д о к а э а т е л ь с т в о. По лемме 3.1 существует точка у Е В, (х) такая, что сее' <и(у) <с,е' (сг>0). По лемме 3.2",(еи(у)! <сзе, и поэтому существует шар В„(у) (с >0), в котором и > О. Так как также и < сеет в этом шаре, то 1 чи! <Се (по лемме 3.2) и темсамым шар содержится в Ос„, откуда следует (10.7) .
Т е о р е м а 10А. Если К вЂ” произвольная область с границей В класса С' такая, что КезЯ С й, то Н„т(Г йК) < С(ф(К) +А(Я)). (1 0.8) Здесь Н„1 — (л — 1)-мерная мера Хаусдорфа. Напомним, что согласно определению для любого множества Е Г1 ВЯ Н„к(Е) = Йп 1пг е ~ г,д(Вг), (10.9) е о (в~) С ФС Хд(В;)< — Хд(В;г10се)< д(Осе г~К). 7 7 Оценивая правую часть по лемме 10.1, получаем Н„,(Гс Ке)<С для любого Ке С К( а) при'некотором 8 > О„Сне зависит от Ь. Полагая Ка 9 К, получаем (10.8) . В следуняцей теореме мы имеем дело с двумя,решеннюии и „из вариационных неравенств — Ьи~ + 7) Р~ 0 и;>О ~ пв.юй, (10.10) ( — Ьис+Т)и, =0 194 где ( В; ) — произвольное семейство открытых шаров В, с центрами в Е и радиусом е, покрывающее Е Можно ограничиться подлокрьпием ( В,) таким, что каждая точка из Е содержится лишь в конечном числе Ф шаров; Мне зависит от выбора покрытия и е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем покрытие Г Г1 К(,1 шарами Ве с центрами в Г Г~ К(,1 и радиусом е, имеюшее не более, чем Н перекрьпий в каждой точке. По следствию 10.3 где Т2 Е Со'2(й), иьЕС2 2(й), у)>л>о в й. (10.11) Определим; Лг(иь) — некоинпидентное множество дпя ии Л(и;) — коинцидентное множество дпя ии Г(и2) — свободная граница дпя ио (10.13) теоремы 3 10 выполняется. Следовательно, Г (из) класса С' в окрестности хе. ДО тЕОрЕМЕ 1.1, ЕСЛИ Т2 Е С +о (О < О < 1) для ИЕКОтОрОГО ЦЕЛОГО П2 > 1, тО по теореме 10.б получаем С"+' "-гладкость свободных границ.
Т е о о е м а 105. Пусть (10.10), Д0.11) имеют место. Тогда если 2 ~и, — и2~ <е,то й) И((Л(ит) ЬЛ(из)) Г1 й(,1) < Се (С> 0), (10.12) гдеСзависиттолькоотСе'2-нормуо С '2 нормы и2 и Л; (П) (Л(и2))Г С 2)С Л(и1) С (и2 <а ) (Сь > О), где Сь зависит только от С' л-нормы и2 и от Л. Д о к а з а т е и ь с т в о. Так как Л(и 2) С ( из < ет), то по следствию 10.2 д ((Л(и, ) Л Л(и, )), О й(, 1) < Се, откуда вытекает (10.12). Дпя доказательства первой части (10.13) заметим, что ес- лих Е Ф(и,),то по лемме 3.1 Л 2 2 знр и2 > Сев> е всь е(х) 2п если Се достаточно больные, и тогда зпр и2 >О, ВС ь(х) что означает х ф(Л(из))( с ер Т е о р е м а 10бПусть (1010), (1031) имеютместои К, К' области сграни- цами класса С2 такие, что К'СК, КС й, се = бит(К',дК)>0. Если Г(и2) П К вЂ” поверхность класса С', то Г(и,) П К вЂ” поверхность класса С' при условии, что ! и! — и2)у (ы)<ее,- (10.14) ее достаточно мало, зависит от Со'2-норм Ти С' '-норм ии Л, се и С' оценки на Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
