Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Де к аз а тельство такое же, как доказательство (9.29), но здесь используется ограниченность ити Теперь, располагая леммой 9.14, можно закон шть доказательство теоремы 9.9 с несколько модифицированным методом Лежандра; доказательство схематично представлено в задачах 7 — 1О. Здесь же будем рассуждать в духе анализа, проведенного в 5 4 и 5. Лемма 9.16.
Для любг1й производной второго порядка ий (по простран. ственной переменной или по времени) ий(х, г) > — СН'(х, т) (9.39) (для некоторых е >О, С> 0) в Лг Гт 1', где д(х, г) — параболическое расстояние до параболической части свободной границы. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как Г непрерывна по Лившицу (в г') и и(†ограниченная тепловая функция, то пределы ин на Г (некасательные) существу|от, т.е. они образу1от функцию /н е А (и); и — тепловая мера (см. [121)). Пусть— М = езз зор/и на Ге, где Ге — фиксировюшая открытая Г-окрестность точки (хе, ге) и К вЂ” компактное подмножество Ге. Пусть Р— /у-окрестю1сть (х„, ге) иаРгз Г = Г,. Для любого малого А > 0 положим Рь = ((х, г); (х, г) Я Р, (х, г) + Ле, С Р 'ч 0 < Л < Ь), где е — единичный вектор по/-му направлению.
Рассмотрим функции ь а — / / ну((х, г) + ге.)йгйз, 2 ь ь /', =,/,/ иу((х, Г) + ге()йгйа. Тогда Н/'г„= 0 в Рь и р', - о в Р, если й - О. Покажем, что ор(х, г) > -М вЂ” Ср' (х, г), (9.40) где рх — параболическое расстояние до параболической части границы К. Действительно, доказательство аналогично доказательству леммы 5.3; здесь используются лемма 9.7 и непрерывность по Липщицу функции К. Отметим, что принцип максимума (который необходим для доказательства) остается справедливым, когда граничные значения понимаются как некасательные пределы; фактически, это следует из единственности представления ограниченных тепловых функций через функцию Грина 1121]. Из (9.40) выв ~лим, что Н' > -М вЂ” С(рт + йе) (9.41) с другой С.
Пусть а,Рь = ((х, г) Е дРь; (х, т) + Ле Е К для некоторого 0 < Л < Ь). Если Л < л/2, то ,/ / ид((х, г) + ге,)йгйт = и((х, г) + Лег) > 0 и, следовательно, г ' > — (3/4)М. Если Л < й/2, то Нз > — ЗМ/4. Таким образом, в обоих случаях Р'„' + г~ > — (7/4)М на Э,Р» и согласно доказательству (9.40), примененному к Р' + Нз, ь ь' Еп + /ю > — (7/4)М + Ср в Р„.
Полагая, что й - О, получаем о;;(х, г) > -(7/8) М + Ср' (х, г) н, когда (х, ь) стремится к К, ем зир /7 > — (7/8) М. к Взяв К 7 Ге, получаем -М > — 7М/8, откуда М < О. Теперь можно применить доказательство (9 40) еше раз для вывода (9.39). Л е м м а 9.17. Пусть и — произвольный единичный вектор в пространстве переменных (х', г) = (хь,..., х„,, ь), и пусть Хл = ЛП, Л > О. Тогда 8(Хл) — 8(О) ят(0) - =Иль существует (9.42) л о Л идля некоторых е>0, С > 0 (не зависящих отть) (9.43) — а (о) > -Сл'. Л Ь Доказательство. Пусть «(х,) — я(о) яч(0) = 1лп тир л-е Л Если 0 < Ль < Лз/2, то 8(Хл,) — 8(О) 8(Х,) — 8(О) < + СЛ'.
(9.44) Л, Лз Действительно, рассмотрим шар (Хл (х, ьл )) В Вс„ль+г(х, 8(Хл ) ч С Лз, гл ). Поскольку 8 непрерывна по Лнпшнцу, если С /Сг достаточно большое, то В С А. Следовательно, если (9.44) неверно для некоторого большого С, то можно приме- нить параболический аналог леммы 5.5 и получить следующее: суьцествует интер- вал (аналог ( зу ) ), содержашийся в /У, который либо пересекает В, либо проходит выше В; в обоих случаях приходим к противоречию. Отметим, что лемма 5.5 осно- вана на лемме 5.3 (параболический аналог которой есть лемма 9.16) и распростра- няется на параболический случай с минимальными изменениями.
Доказав (9.44), возьмем последовательность Л, = Л и -ьо такую, что 8(Хл, ) — 8(О) -~ Кч(0), л, н из (9.44) получаем 8(хл,) — 8(О) !пп!ль > лч(0). л,-е Ль Следовательно, предел (9.42) сушествует. Наконец, (9.43) вытекает из (9.44) при л -о. Обозначим С(хе, ге) конус, порожденный всеми касательными лч (0), развернутый в /т'. Аналогично определим конус С(х, г) для произвольной точки (х, г) Е е р г'ь )г.
Л е м м а 9.18. Конус С(х, г) — вььпуклььй; так как я Е С'., конус образован двумя г и перпл ос кгк тям и. 186 До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что С(хо, го) выпуклый. ВвеФ дем направления л„пг в (х, г) — пространстве н касательные лучи 71 в направлеиии йч. (0). Пусть (х., 8 (х., гт), гт) — точка из Г с расстоянием Л от (хо, го) и ле- 7 7 7 жащая на расстоянии о(Л) от 7. (лри Л 1 0).
Применим лемму 9.17 с заменой (хо, го) ва (х,, я(х„гг), г,) и гт — направлениемот(х„г,) до (х,, гг). Обозначим (х,, Г,) точкУ в интеРвале от (хы Г,) до (хг, Гг), котоРаЯ делит его в отношении В: (1 — 0); (9.43) дает и(хг,я(х„г,) — СЛ'", г,) ) О. Пусть Л -о О, находим, что ййч (0) + (1 + б)йч (0) ~ С(х<„г,), и доказательство закончено. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 9.9. Начнем с доказательства того, что касательный конус С(хо, го) — гиперплоскость: С(хо~ Го) = ( У = 8(хо Го) + Ао(х' — хо) + А г(à — Го)) .
(9.45) Мы уже знаем, что С(хо, го) образован двумя гиперплоскостями У = и(г — Го) + $(хо~ Го). Г ~ Го У = Ь(à — го)+а(хо,го), Г(го с Ь < а. Надо показать, что а = Ь. Напомним, что 1~8(х',, г) — '7я(хг,г) ~ < о(!х', — хг !)г ~ иг (хм Г) — иб(хг, Г)! <оОХ~ — хг 1), (9.46) где иб — любые производные второго порядка по пространственным переменным и о (Л) 1 0 при Л 1 О. Возьмем три точки на вертикальном отрезке А. = (хо.о(хо го) — а1 го). В = (хо 8(хо го) — а, го + Р), С = (хо я(хо го) — а, го — б) (а ) О, В ) 0).
и(А) — — а* < о(а)аг. 2 (9.47) В силу леммы 9.17 и лнпшицевостн я й(хо го + Щ = к(хо го) + а11 + егф), 8(хо, Го — й) в 8(хо, Го) — ЬР + ег (Р) — СВ'оя < ег(б) о СВ. (9.48) Отметим, далее, что итг(хо 8(хо Го + Р) Го + Р) = (соз б) (9.49) где д — угол между осью у и "прбстранственной" нормалью к я в (хо, я (хо.
го + В), 1В7 Поскольку я непрерывна по Липшицу, если б = о(а), то все зти точки лежат в 1т'. Так как и„(хо, Го) 1, то ввиду (9А6) имеем со + /с) . Для оценки 0 используем тот факт, что я возрастает по с; О ~ ~$(х', со + Р) — 0(х', Со) - 0(хо~ Со + Р) — 0(хо, Со) + + $„'(хо со + 0)(х' — хо) + о(]х' — хо ])~х' — хо ]. Для х — хо в направлении аЧ„0(хо, со + 0) имеем Я„(хо„со + 0)(х' — х',) = 100]х' — х,']. Полагая ]х — хо ] = 0'Сз и используя (9.46), получаем ] зш0 ] < а(0стз) +, < о(бс/ ) + С0 С . + ес(0) с з Выберем 0 = о с ( с'а)а. (9.50) Тогда ] зсп 0 ] Я.
'сос 14( чу ),/а '+ о( /0), Из (9.49) следует, что и„х(хо, а(хо, со + 0), со + 0) > 1 — Соссз(~ са)а + а'( ссК). Вспоминая (9.46), (9,48), находим, что и(В) — (1/2)(а0 + ес(0) + а) > ~ -Сот ]о(Ма) + аз(з„са) + о'Сз(Ь/а)а] с некоторой константой М ) О. Аналогично н(С) — (1/2)(-Ь/С + е (/)) + о) > — Саз ]о(Ма) + о'(~,/а) + о'Сз( са)н]. Таким образом, 3 — = и(В) + н(С) — 2и(А) > (а — Ь)а'(о'с~(,/а)) + (е,(В) + + ет (В)) й — Со о(ь,/О ) — Сстз о ( Чсо ) .
(9.51) С другой стороны, У = (и(Н) — и(А)) +. (и(С) — и(А)) < (знр и, — спс" и,) о' Сз(,/а) о, Х~ где Ус = АВ, Уз = АС. Поскольку и„ограничена, то / < Со( ~/а ) аз„ что противоречит (9.51), если только а Ф Ь. Таким образом, (9.45) доказано. Схоцимость в (9.42) равномерна как относительно выбора точки (хо, со) свободной границы, так и относительно направления сС. В силу (9.45) ,е(х', с') — Я(хо, со) = (х' — хо)0„(хо, со) + + (с со)хс(хо со) + 7(]х хо ] + ] с со ]) где 7(Л) -ь О, если Л -+ О.
Следовательно, я Е С' в (х, С). Докажем, далее, что ис -+ О, если (х, с) -ь (хо, с), (9. 52) цля произвольной производной второго порядка (по пространственным перемен. ным или по времени) такой, что направление ~ касательно к свободной границе в (хо. го) Сформируем разностные отношения 1 Кь = — (и1((х, г) + йе;) — и;(х, т)) в открытом множестве Ва = ( (х, г) Е Ь! Гэ г'„(х, г) т йе; Е Ьг гэ Г). Так как р Е С~, то Э вЂ” К -+ О, если (х', г) - (х'„, г), Эе, Замечая, что и;(х, Ь (х, Г), Г) = О и ! Взи ! < С, получаем Еь = е (Ь) в о-окрестности (ха, ге), пересекающей Вь, где е (Ь) — О при Ь - О.
Имеем также !К !<С в В,. Задачи 1, Доказать лемму 9.7 (У к а з а н и е. Представить и через функцию Грина В„, (у, г) в цилиндре Э (!у ! < 1) с центром в (х, г). Следует (!) оценить — Во о (и — внутренняя нор- Э Эа маль) снизу и — В, сверху на боковой поверхности Эр?„; (И) оценить Во с Э снизу и С .„, сверху на верхнем основании ЭтЕ.„. При К(~х 1, г) = К(х, г)— фундаментальном решении уравнения тсплопроводностн— К(1х !, г) - К(1 та) < Вс р(!х !, г) (!х!<1,г<г), так как К,(1, г) > О, если у < 2/л.
Следовательно, Э С вЂ” Во,с(1, Ге) > — К(1, ге) = - е Эа ' Эа г(а+2)/2 о (С> О), Со,о(!х 1, у) > С(е '"' !"т — е"'г~т) (С > О). Представим теперь Еь через функцию Грина (см., например, !121)) и выведем,что ! Рь ! < 2е(Ь) 1 Ф в Ь -окрестности (хе, ге), пересекающей Вь, где Ь достаточно мало. Полагая Ь О, получаем ! пб ! < 2е(Ь) в этой окрестности, откуда получаем (9.52) . Остается доказать,что существует 1пп и„„, где и — нормаль к свободной границе в (хе, ге).
В силу (9.52) достаточно доказщь зто, когда а — ли~пь какое-то некасательнсе направление. Но для и в направлении оси у 1!щи„„существует. Для оценки дС,(е„т)/ди (е1 = (», О,..., 0)) при а > г положим: т — нолупространство, касательное к Э,Ут вдоль е„и 6", (х, а) — функция Грина для 2. Так как С,*,, > С„,, то д Су» ]е,— у! ) С вЂ” С,,(ем з) < ехр ~— < Эи (з — г)!«'202 4(т — т) Ьп м поскольку ! е, — у ! > Ь, з — т < Ь . На дгУт, если у„= йа»(у, дй), х„= йат(х, ЭХ), то Сю,(х, 7) < — „ехр — — ехр С х„у„С вЂ” — — (! — ]х !); Ьп Ь2 Ьп аз наконец, если т > 2/л, слелует повторить приведенные выше выкладки несколько раз.] 2. Предп<злажим, что Ге — граница шара В„, и запишем Ьи в полярных коор"и' пилатах: дЮ и Г1 — п(тп — 3 Ю ) + Г-24Ю Предположим, что с а(х, г) — Х(х, О) — г,'А ( /Ь(х, т)с/а) > 0 на Ге Х [О, Т], о (г' Ь(х))„< 0 в (Последнее условие означает (так как /» > 0 в С), что Се !.2 6 звездна относительно любой точки, близкой к началу координат).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
