Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Обратная к й функция /т принадлежит С +' ((1шп = О, ~ и ~ < ее ) ) для некоторого ер > О, и согласно общим результатам по регулярности для эллиптических уравнений (см, (180)) принадлежит С1+' вплоть до границы. Покажем, что для некоторого пе > 0 ) ~7 /г ) > с > О, если 1ш П > О, ) П 1 < Пе. Используя (р, В) как полярные координаты 1, заметим, что для любого малого -Л>0 фу я о = р а)п В + рг соа(2 — Х) В положительна на границе й~ О ( ) ( ) = ре ), если ре достаточно мало (райн В > > — сонат р в й1 вблизи (' = 0). следовательно, си > ~ 1п1 ь! на этой границе, если Сдостаточно большое, и по принципу максимума ~1шй|<Со<сопа1р в Йы Согласно внутренним оценкам для гармонических функций )ч (йпй) ! <С вдоль биссектрисы Т„Т,.
Следовательно, ) 1гй ) > с > О вдоль биссектрисы 1ш т/ = О. Так как й Е С~+», имеем также (8.5). Из (8.5) вытекает, что ~ ~ л ) -'~ С в некоторой й, юкрестности 0 и фактически, л~ С'+' вплоть до границы. (8.6) Полагая й(й) = и(з), где г =8(з), находим !з 1и где правая часть — ограниченная функции (в силу (8.6) ) . Тогда, применяя к й доказательство предыдущего частного случаи, заключаем, что й < Сдт ти вблизи начала координат, где я = (л/2о) — 1, с/ — функция расстояния для преобразованной области и т = = ! г !. Так как с/ < Сс/, т < Ст, получаем и <:. д/2 в некоторой й окрестности тя, и доказательство закончено.
Неизвестно, будет ли число компонент пластичности конечно в й. Однако, когда дй содержит линейный отрезок Л, можно доказать, что число компонент пластичности, связанных с Л, конечно. Т е о р е м а 8.4. Пусть Л вЂ” замкнутый интересы, содержащийся в одной из открытых дуг 51 . Тогда число компонент пластичности, связанных с* Л, конечно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем для простоты Л = ( а < х1 < Ь, х, = 0 ) и пред. положим, что имеется бесконечное число компонент пластичности Рг вида Рс = ( а; < х < Ьп 0 < хз ~: 'д (х! ) ) .
Пусть УА = снах ч!(х). а,:. чь, Если / -+, то Ьс — а! -+ 0 и также Пс -+ О. Следовательно, любая прямая хз = с1 (и > > 0 и мало) пересекает только конечное число Л(П) компонент пластичности и Л(тс) -» ' при П- О. Рассмотрим подобласть Ея С Е О ( .кз > и ) (рис. 7). Она ограничена кусочно- аналитической кривой у в Е, частью дР и некоторыми интерваламн,лежащими на хз = П. Выберем у так, что Ы(х) = ха в Е„дпя всех малых П; Тне зависитотл. (Если Р, сгущаются в х! "а, то возьмем у так чтобы она начнналасьв х, =а — е для некоторого малого е > О, если (а — е, 0) имеет йокрестность упругости; иначе з будет начинаться на свободной границе на (х, = а — е ), модификация Т в точке х, Ь аналогична.) На каждом интервале (ха = щ Ы, < »х, < с! ) иа дЕч с концевыми точками на Г функция (и — с/) = и„аналитическая и меняет знак (так как и — с/ = 0 в концевых точках и и — с/ < О внутри).
Можно ныбрать зачин с/! < с/! < ег < ес так, что и„,(х!, т1) < О, если с/с <х! <Й., и„, (х!,П)>0, если е,<х, <ер (дй) 11. Л. Фридман !б! Теперь рассмотрим поверхности уровня»Л» и Г» дпя ( и, = сола!), которме начинаются в (»/», П) н (е», б) соответсзвввио По лемме 8.11 зги кривые могут продолжаться до тех пор, пока не покинут Ее = (/ Е . Отметим, пои„ ч>е ! = (и — !/) = 0 на ЬР; н тем самым»Л», Г» не может покинуть Ее на свободной границе. Они не могут бйть также произвольно близки к (х, = 0 ] поскольку и„" 0 на (хз = 0 ). Наконец, в силу (8.7) они должны покинуть Е, на 7 в точках М» (в которых знак и„меняется) н М» предшествует М/ вдоль 7, если тп же верно Дпа начальных точек кРивых на хз = »1.
Следовательно, и„меняет знак на 7 по крайней мере (2Л(п) — 1) раз, число зто растет до бесконечности прн П -+ О. Но поскольку и„аналитическая в окрест- $ ности у и 7 кусочно-аналитическая, зто невозможно. Теперь оценим число компонент пластичности, связанных с Л. Возьмем Л=Е! = ((х„О); О<х! <Ь); 1 =(о,о), и, =(ь,о) и положим д = Уз !/ ... (/ 5„,. Предположим, что некоторая й.окрестность Я! лежит на ( х» ) О) .
Пусть х = /(г) (О < г </.) — параметризация дй с Д(0) = Р'е, Дт») = г'!. Рассмотрим сначала случай, когда (8.8) нет входацих углов. Функция расстояния»/(х) днфференцируема вдоль х = /(г), а Ф г; (/(г/) = (~/). Пусть д»/ »/»(а) = — ща)), если г ьа/, дх! с!, (г) = !/!(г/ + 0) (а »(0) = »/! (/„0)). Предположим, что множество ( г; »/»(а) = О, 0<а </,) состоит из конечного числа точек А» и интервалов /а. (8.9) Следовательно, а!! (а) меняет знак (с положительного на отрицательный или на.
оборот) конечное число раз. Пусть /с равно числу изменений знака с/»(а) с положительного иа отрицательный, когдаа возрастает от»=а, доз=8. (8.! о) Обозначим Р„..., Р компоненты пластичности, связанные с Л; по теоремам 8.3 и 8.4 и предположению (8,8) т < '. Можем записать Р/= ((х»,хз); 0<х! «р(х!), а; Кх! <Ь;), где а, < Ь! <а! < Ьз <...
< Ьч ! <а, < Ь,; отметим, что а! )О, Ь, <Ь. Согласно 8 7 р(х») положительна и аналитическая в каждом интервале а/ < х, < < Ь/, она непрерывна и равна нулю в х, = а/, х! = Ь;. Пусть р(х») = О, если х, !р Ф и (а/,ь/), /'= 1 »Ь2 В каждом интервале ( а! «х1 «Ь! ) функция р имеет конечное чясло Л(! то чек, в которых она достигает локального максимума (зги максимумм строгие так как з аналитическая). Т е о р е м а 85. Каждое Л(! конечно и Х ЛЯ! «Ь. 1=1 (8.11) Следствие 8.б.
(1) Общее число компонент пластичности, связанных с Х, конечно и не больше к; (П) если число петель пластичности, связанных сЪ,в точ- ности й, го в каждом интервале (а! ( х < Ь1 ) суьчествует точка с; такая. что н(х,) строго возрастающая, если ат ( х! < ср и строго убывающая, если с. < х, < Ьр След с та не 8.7 Если й — выпуклый многоугольник, то для любой сторо. ны Е; существует не более, чем одна петля пластичности, связанная с 81 „если она задайа в виде ( Я (8) + Р (3) Г, 0 «Г «Ь (8), А! «8 «ВЯ ), то Ь(з) строго возрастающая в некотором ин тервале А; «я «С; и строго убывающая в интервале С1 «3 «Вр Для облегчения доказательств теоремы 8.5 начнем с некоторых вспомо- гательных результатов.
Предположим, для определенности, что б1(я) > О, если з > 8„8 — з1 мало и Ы! (з) < О, если з — Ь, Ь вЂ” з мапо; доказательство других слу- чаев аналогично. При 1= 21с имеется разбиение 3! = 31. ! «81,2 «81.3 ««81,т! 82,1 «82,2 « " «82,ть =ЗЗ,1 «ЗЗ,2 « ° ° ° «81,т!и =3!+!.! «8!+1,2 ««3!+1, 1+1 такое, что Ы1(з)> О, а11(з) = О, б, (3) > О, б1(8) =О, !( (8)>О, ЕСЛИ 81 1 <8<81 2 (81 2 (81 2) 81,2 «8«81,3 (81,2 «81,3) ЕС1ЯН 81 3 <Я (81 4 (81 3 (81 4) 81,4 «3 «81,5 (81,4 «81,5) ЕСЛН 81 5 (8<Я! 6 (81 5 (81 6) И1(8)(0, если 82 1 <Я(82 2 (82 1 <82 2), !81(8) = О если 82, г «3 «82 з (82 г «82 з), А(8)>0, если 82,з <8<зг,ч (зг,з <82,4) (8.12) Я(1(8)(0, если 8!+,, <8(з!+, г (зн,, <з,+! 2), А(8)=0, если 3! ! 2 «8«8!+! з (81 ! 2 «3! ! з).
Тем самым И!(3) изменяет знак в точках з,,„, 82,„,..., 3! ю . Точки 1'! (2 «! « «и! — 1) не обязательно совпадают с 7'(3;,„), т.е. 3! может лежать в некотором интервале (Я„р, з„р+1). Некоторые из интервалов (~ Ял 81141), где !г! ж О, могут состоять из единственной точки. Напомним, что свободная граница может баять записана в виде х =я (я) + о(я)й(я), где я — нормаль к д(я в Дя) и й(я) > 0; дпя точек, где й(я) = О, нет интервалов пластичности, исходящих из Дя) и перпендикулярных д 11. Рассмотрим функцию д~( с[я (я) ю — Щя) + и(я) й (я)) (О < я ч А) (80 3) дхя вточкея=то такой,что яоФ я,для 1<1 <т,и о[,(яо) > О, (8.14) В силу непрерывности я(, (я) > 0 в некотором интервале [я — яо [ < 6о.
Следовательно, некоторая Й.окрестность|'(я~) имеет вид я(хт) <х, <я(хз) 16ю [хт — х~т[< 6,, (8.1 8) гдех, =я(хт) — часть дй и Х-(Я~) =(8(хгт), хо) =хо. Пусть о ((о)+ (о)й(о) — ( о о) Предположим, что й (то) > О.
Тогда хо — точка на дй, ближайшая к уо. Очевидно, что для любого положительного и достаточно малого т[ луч, исходящий из уч = (уо — ч,уоз) в направленииуахб,пересекаетдяя в (х7,хч) жхч и [ хч,ч[<[хо уо[. фактически, так как я (хт) — ограниченная функция, то [х" — у" [<,[х — у [ — сп (с>0), откуда с[(уч) < с~(у ) — сл, позтоъгу А(яо)=[ (уо)>с- (8.15) Так как ч (и — Ы) = 0 на свободной границе, заключаем, что и„,(7'(я')+ я(я') й(я')) = А(я') > с >О, (8.1 б) если й(яо) > О. Соотношение (8.!б) выполняется также в любой точке яо такой, что й(яо) = 0 и существует последовательность яа такая, что (8.17) яа -~яо, й(яь): О, Предположим теперь, что й (яо) = О, но (8.17) не выполняется. Тогда й (я) = 0 в ок- рестности то.
Следовательно, существует 11 окрестность [т' точки хо, которая будет множеством упругости. Так как — Ьи=д>О, и>0 в ~И', и=О на дй, ди по строгому принципу максимума имеем — (хо) > О. Вспоминая (8.14), выди (яо) водим, что и „(Я(яо) ) > О. Таким образом, доказано, что если Н,(яо) >О, то я[~(яо) > О, их (7(то)) + и(то) й(ао) > О. Аналогично можно показать, что если с(, (я о ) < О, то 1 ( о) <О (|( о))+„( о)й( о) ° О Наконец, еспи Ис(я) = 0 в открытом интервапе и < я < )8, то (|'(я), а < я < )) ) — ко- нечный отрезок, паралпепьный осн хс, следовательно, с7с(я) = О, и„, (|'(я) + а(я) й(я)) = О, если п < я < 1).
Пусть ди и,(я) = — (|'(я) + а(я) )с(я)), 0 < я < Ь, дхр (8.19) еспи я Ф яс и и с (яс) = и с (я; + 0) . По теореме 8 3 й (я ) = 0 в окрестности я = я). Теперь можем подвести итог: Л е м м а 8 8. Утв грасс) ение (8 1 2) имеет место с сс с (я ) или и, (я ) вместо с1 (я ); кроме того, с|с (я) = и, (я) = 0 если О < я < я, . (8.20) О и р е д е и е н и е 8 1. Точки | (я) = и (я) й (я ), дпя которых и (я) = 0 будем называть плоскими точками. *) Множество вюских точек состоит из конечного числа точек и конечного числа дуг (называемых плоскими интервалами) *о) . Отметим, что плоские интервапы соответствуют [О, я,] и тем интервалам [яс,з яг,з]1 [яс,ч, яг,я], в (8.12),дня которых с|с (я) = Ои которые не сводятся к одной точке, Функция и„гармонична в Е и имеет гармоническое продолжение в окрест. ность внутренности каждого плоского интервала.
Доказательство теоремы 8.5 будет использовать анапиз кривых уровня. Потребуется спедуюший вариант леммы 6.1. Л е м м а 8.9. Через каждую точкух ЕЕ. гдеи„, (хо) = О,проходиткусочноаналитическая кривая у: ( х = у(г), — < с < ), содерокащался в мнохсестве Е, вдоль которого и„= О, т не имеет самопересечений и т(+ ) = 1пп 'у(г), т(-' ) = йт 7(с) ') В оригинале "Пас ро)ас"„- Примеч. лер. чч) В оригинале "пас 1осесть!". — примеч. нер. существуют и принадлежат дЕ, Д о к а з а т е и ь с т в о анэпогично доказательству леммы 6.11. Здесь испопьзуется лемма 8.8, в силу которой т(г) допжна отстоять от всех точек дЕ за искпючением плоских точек и плоских интервалов.
Отметим, что 7 не может колебаться вбпизи плоского интервапа| (при с - ипи г - — ), так каки„, имеет гармоническое продопжение в окрестность внутренгюсти Е Обозначим Лп часть Л, не пежашую в тех компонентах множества ппастичности, которые связаны с Л, и пусть доР" обозначает обьединение свободных границ компонент пластичности, связанных с Л. Пусть Ло = Лп СЯ доР . Анапогично опреде. пим множества рп,доР" и до = рн О доР" пдяд = )-) ЕР )=3 (8.21) Рассмотрим теперь петлю пластичности Р1 (1 <у <т) . Она имеет вид 0<хо < р(х,), а.<х, <Ь;, Предположим, что б — точка локального максимума р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
