Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поскольку д произвольно, получаем (6 36) . По лемме 67 и принципу максимума заключаем, что Х; Ф Хи 3 а м е ч а н и е 6.!. В приложениях часто мы будем иметь дело нс с точной формулировкой леммы 6.1, а некоторым несколько отличающимся ее вариантом. Поскольку свободная граница аналитическая, ю имеет аналитическое продолжение через свободную границу. Следовательно, функцию и „нельзя продолжить как гармоническую функцию в область, содержащую 1Ь' ГЗ Г. Л е м м а 6.12. Функлия р (х) не может принимать локального минимума в интервале О < х < а. Доказательство проведем от противного. Предположим, что р (х) имеетлокальныйминимумвнекоторойточкехо,О<хо<а,ипустьачюуу(хо оо(хо)) Тогда юуу(х р(х)) > и (6.
37) если х Ф х, 1х — хо 1 мало. Следовательно, существует по крайней мере две кривых уровня юу ( тууу о), исходящих из (хо, р(хо)) и входящих в Ь'. Таким образом, существует открытая компонента С множества )ь' гз ( юуу < о ) такаЯ, что (хо, Р (хо)) ~ д Р, ОбозначимЯ~ иЯз кривые уровня ( тоуу а), которые выходят из (хо, р(хо)) и ограничивают дб так, что Я, находится слева от Хз вблизи (хо, р(хо)). Такие кривые не могут пересечься в Ь' (за исключением (хо, р (хо))), так как иначе юу сч == а в Р (по лемме 6.7 и принципу максимума) . Каждая Я, не может пересекать свободную границу, так как иначе по лемме 6.8 юуу ю о в множестве, ограниченном Я, и Г.
Далее, и~уу = О или 1 на д (Ь"т Г (за исключением, возможно, точек (О, Н), (а, л), (а, р(а)),' в которых юуу может быть разрывной). Таким образом, можно приме- нить доказательство леммы 6.1 дпя доказательства того, что Яг непрерывны вплоть до концевой точки Рн Р, ФРз, и только следующие случаи могут иметь место: (1) Ръ = (О,Л), (и) Ра (а, Ь), Рт = (а,та(а)), р(а) > Ь. В случае (П) возьмем любую кривую уровня, исходящую из (х, р(х)), х < хо, юуу (х, р (х)) > а.
Тогда еуу В > и вдоль Т. Концевая точка Т должна также соа. пасть с Р,. Поэтому применяя лемму 6.7 (вблизи (О, Н)) и замечая, что юуу = 1 пах = О, получаем 1 > и> В; приходим к противоречию. В случае (П) ввиду равенства жуу (а, у) = О при Ь < у < р (а) рассуждая так же, как и выше, получаем В Р: о и, аналогично, юуу(х, р(х)) > юу,(х, р(х)), если х < х.
Следовательно, р (х) монотонна и, в частности сушествует р (а — 0). По тогда по лемме (6.10) О!) а < и „х(х, ~а(х)) . О, если х -ь а; приходим к противоречию. Доказательство теоремы 65. В силу леммы 6!2 р (х) монотонна. Следовательно, можно применить лемму 6.10 и получить. что Ф(0) = О, ~р(а) = —, р(а) > й. Окончательно заключаем, что р (х) убывает. Задачи 1. Доказать, что и„„и ю„,, непрерывны в ]$'~ ((а, Ь) ); ю такая же, как в теореме 6.5.
2. Рассмотрим задачу фильтрации с проницаемым дном: и (х, 0) 0 заменится на и (х, 0) = 1(х) (О < х < а). В вариационном неравенстве единственное изменение будет в граничном условии на у = 0: и~(х, О) = Цх), где lс = 1(х), Ц(0) Нт/2 Ца) Ьг12 Предпопожим, что 1(0) = 1(а) = О, Цх) > О. Доказать, что (!)ихч 0; (П) если 1(х) > О, то ю„.„> 0 и р~(х) < 0 при 0 <х <хе, р (х) > О при хе < <х <а; (Ш) если хе < а, то р'(а — 0) = 0; ((ч) если 1(х) изменяет знак гл раз, то р (х) изменяет знак, самое большее, т+ 1 раз. 3.
Пусть и такая же, как в теореме 6.5. Доказать, что (!) и~х -ь, если (х,у) -+ (а, Ь), (!!) юх„> О в (т'; (!В) р (х) — (1!я) 1п (а — х) Е С (О, а) . (Указание. Для (1) рассмотреть г(х,у) = — — ( 1п(ут + (а — х) ) — 1п((у — 6)з + (а — х)з)! + 2я у — 6 у у — Ь + — ~агс !я ]— атс !я 2я а — х а — х и показать, что ! = ю — г гармоническая и гладкая функция в !т'-окрестности (а, Ь).
ДЛЯ (П) НаДО РаССМОтРЕтЬ ОтОбРажЕНИЕ ГОДОГРафа т = Р + 1а, ГДЕ Р = — Ихы д = 1 — и „, и показать, что г отображает )т' взаимно однозначно и конформно на область, ограниченную пучами а = О, р < 0; д = — 1,р < 0 и полукругом р' + цз + т д = О,р <О. Для (ш) следует использовать отображение (х, у ) = (йх (х, у), й„(х, у)), где й = ю — хз/2. Показать, что оно взаимно однозначно, и что о(х, у ) = и(х, у) 149 гармоническая; и(х,О) = — х'/2, если х > — а, о(х, О) = — аз/2, если х < -а; и(х,у) — т(х,у) ~ С для (х,у), близких к( — а, 0), у < О,где 1 т(х, у) = — ху(1п (хз + уз) — 1л ((хт + ут) + у )] + 2я х х+а ],( х+а я ь (у' — хт) ~ агс щ — — агс 18 — ~ — а' ~ агс 18 — + — ~ у у у 2 1 и, ! о (и„,О) 1 х.
1о(х) = — — = -~ — = — — 1п — + р (х), юуу ~ г ш(и„,О) г я х — а где ро ~ С" (а — е, а].] 4. Рассмотрим постановку задачи 5 из й 5 гл. 1 при ( 1, если уо <у <Н. /с(г) = (/с, если 0<у(уо и й > 1, так что тс(у) не возрастает. Пусть /с„(у) = /с(у), если ]у — уо ! > 1/и, 1 < йо(у) < 1с. Обозначим и~л решение вариационного неравенства (с соответствуюшим /со). Доказать, что юл „< 0 (так что свободная граница дается уравнением х = Чго(у)) и О (ио „„<й. Показать, что (1) ю„<0, ю„я и сч ограничены, если у чьуо; (11) 0 < юк ( й юуу 0 (ш) свободная граница есть х = й(у), где (с(у) аналитическая, если у Фуо; (гч) существует Ф(уо + 0).
(У к а з а н и е. См. теорему 7.2.] (В [58в] доказано, что (а) чс(у) имеет не более одного локального максимума и не более одного локального минимума (есть примеры с немонотонной й); (в) Ф(у) имеет не более одной точки перегиба при у > уо и не более одной точки перегиба при у < уо; (с) если а и  — углы, образованные отрицательной осью с касательными к Г в у = уо, идушими вверх и вниз соответственно, то имеет место следуюший закон рефракции: .
либо о = О, В = я, либо и = я, Р = О, либо и/2 < о ( я, 18 а = к, В = и — я/2, либо 0 < о < я/2, 18' о = /с, В = а + я/2.] $ 7. Регулярносп свободной границы в задаче упруго-пластичности Л е м м а 7.1. Предположим, что -с5и+/'Ро О, и >О, ( — с5и+/')и =О в й, (7.1) /'> )с > О, ! ! 1л ~<М( (7.2) где ос — область в сс" з, пересекающая цилиндр /(' . = В . л ! О (у < Ь !. Пусть б — область в Кд г1 У (Лс = ( и > 0)) такал, что дб С1 (Вл Х (0 < у <Ь)) сот)ержитсл в л = (и = О), дс г1(у = ь) содержит точку (хо, ь), дб т1(у = О) содер- 150 жиг точку (х', 0)Е Г. Тогда ( +цм '"„ Л До к аз а тел ь с т во.
Следуя доказательству леммы 3.1 при Х и (х, у) = и(х, у) — (1х — х, 1з + (у — у„,)з ), 2(п+1) (7.3) где х,„- хо, ум -»Ь, заключаем, что Х зор и > ьт, осг«(у= о) 2(л+1) Так как, однако, и (х', 0) Е Г, левая часть не больше (1/2)М(2А) з, откуда имеем (7.3). Эта лемма особенно полезна в случае л = 1.
Приведем ее вариант, удобный для применения в задаче упруго-пластичности. Предположим, что 12=(а> <х <аз, 0 <у <!(х)); !(х) непрерывна; (7.4) Ф=(а~ <х <а,, 0 <у <Ф(х)); е<4(х)<!(х) для некоторого е > О. Заметим, что Г содержит точки (х, «у(х)), где х принадлежит некоторому подмножеству ( а«< х < аз) . Т е о р е м а 72. Предположим, что (7.1), (7.2), (7.4) выполнены и Т и 1.
Тогда Ф(х) непрерывна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что а, < хо < аю Ф(хо) < !(х,), тогда (хо, 1Ь(хо) ) Е Г. Должны существовать последовательности х 1 хо, х Ф хо такие, что Ф(х„,) - ч«(хо), Ф(х ) -» ч«(хо). Действительно, иначе и > 0 с одной стороны от интервала ( х = хо, Цхо) < у < $(хо) + е), что противоречит единственности в задаче Коши (здесь использовано условие Т вЂ” = 1) .
Покажем, далее, что ф(х) < !(х), если 1х — х, 1 достаточно мало и й(х)- -«Ч«(хо), если х -»хо. Действительно, если зто не так, то существует ~юследовательиость х,*„-»хо такая, что «Ь(х" )-«Ф(хо)+бе для некоторого бо > О. Можно предположить, что каждая точка х,'„лежнт в некотором интервале (х, ха), хм такая же, как в первой части доказательства, причем ф(х )-» $(хо), ф(хе)-» 4(хо); здесь 7=7(«п), А =/с(гл). Пусть х,'„*Е(х1,ха), ф(х,'„')= щах Щх)гзНю. х!кхкхн Обозначим б интервал ( х = х *', !г,„< у < Нм), где Ь„, = шах( ч«(х1), т«(ха)), и пусть К вЂ” прямоугольник ( х; < х < хю Ь„, < у < Н,,1. Применяя лемму 7Л с Кл = К, получаем Н вЂ” Ь <С1хь — х!!»О, что противоречит тому, что !пп (Нм — Ьм) >бе > 0 Пока что мы установили, что множество Я = ( ф(х) < /(х)) открыто и ф непрерывна на каждом отрезке иэ этого множества.
Предположим теперь, что хе Е б~б, а1 <хе < аз. Если х . хе, то, очевидно, !пп!пГ ф(х ) > ф(хе), и так как ф(хе) = /(хе), то 1цп ф(х ) н ф(хе). Окончательно, ф(х) непрерывна в любой точке хь б Я. Рассмотрим задачу с препятствием — Ьи+ Г > О, и>~а, (-Ьи+Т)(и — ф)=0 в й, (7.5) /и 1сг,~(„, <М<, фаст, где й — область в /(п. На коинцидентном множестве Л имеем à — стф > 0 п.в. на Г почти всюду à — Ьф > 0; действительно, если ( à — Ьээ) (хь) < О, хе Е Г, то ц = и — ф удовлетворяет неравенствам -Ьц > О, ц > 0 в окрестности хь, что противоречит строгому принципу максимума, поскольку ц(хе) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
