Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Рассмотрения будут зависеть от *'толшины" Л в О, что выражается в терминах мп(л г1 в„) б„(Л)- (3.24) Легко проверить, что ! ЛОВ„! сь < б,(Л) < 2 !Вг! (3.25) такая, что если для некоторого 0 <г < ге бг(Л) > о(г), тодля некоторого г >О Г т1Вг-(0) задается поверхностью класса С': х; = й(х,,..., х, ы хз „,..., х„) (к Е С' ) и и принадлежит С э((!ч 11 Г) О Вг (0) ) . Ввиду (3.25) справедливо также С л е д с т в и е 3.11. Если !Лт1В,! 1нпзпр > О, о !В,! (3.26) (3.27) то утверждение теоремы 3.10 остается верным.
Д о к а з а те л ь с т в о теоремы 3.10 показывает, что о(г) можно выбрать не зависЯшим от хе Е Г пРи Условии д(ат(хе, Эй) а бе > О. В теореме 3.10 и — решение обшей эллиптической задачи с препятствием (т.е. (3.18) ) . Сначала мы рассмотрим, однако, частный случай А= — Ь, т"=1, (3.28) и только в конце (см, б 5) отметим необходимые в обшем случае модификапни. 127 (сь — положительная константа) . Действительно, для г = 1 зто очевидно, а при произвольном г устанавливается путем изменения масштаба. Следующая фундаментальная теорема принадлежит Каффарелли [56Ь] и будет доказана в двух следуюших параграфах. Т е о р е м а 3.10.
Предположим, что Г> Х> Ов ьь. Тогда существуетположительная неубывающая функция о(г), 0 <с<ге, о(0+)=0 Э 4. Выпуклость конндндентного множества Результаты этого параграфа будут использованы в э 5 при доказательстве 'теоремы 3.10. Определенно 44. Функция ипринадлежиг кяассуР„(М), если иЕС Я(В„), зпр 1Вби) ~М (4.1) н„ для всех производных /);; = 0;В;, и>0 в В„ ОЕГ, (4.2) (4.3) (4.4) Ли=1 в Л«, где принадлежит Р„/з (М), если и Е Р„(М) и Л(и,) = Л (и), /)/(и ) = Л(з(и), Г(и,) = Г (и), где по определению Е, = ( х, зх Е Е ) для любого множества Е.
Предположим, что и(~) Е Р, (М), г,„-«го„го >О, и("') - ио равномерно на компактных подмножествах В, . Тогда, очевидно, Р' 1)пз Л (и ) С Л (ио ), (45) (4.6) где 1нп Л(ин«) означает множество всех предельных точек последовательности (х,„), х,„Е Л(и ). Л е м м а 4.1. Если (4.5) имеет место, то ио Е.
Р„.(М) и 1лп Л'(и ) С )у(ио). (4.7) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что у Е 1нп /у (и'")1 Л«(ио). Тогда ио 0 в В, (()«) для некоторого е > 0 н в то же время существует последовательностьу Е /т(и ~) ) такая, что у -«у. По лемме 3.1 пзр и(ю) > ез/8н, Не/2 (у«н) н так как и(~) -«ио равномерно зз В, (у), если е достаточно мало, то зор ио > ет/8и > 0; Ве(з) приходим к противоречию. Л« =(хЕВ„, и(х)>0), Г = ЭЖ О В„.
Положим Л =(хЕВ„, и(х)=0) нзапншем Л(=Л((и),Л = Л(и), Г = Г(и). Отметим, что и(0) =О,'7и(0) =О. Для любого фиксированного з > 0 1 и,(х) — — и (зх) Очевидно, что ио удовлетворяет (41), (4.2) и (4.4). Ввиду (47» справедли. во (4.3) дпя ио и тем самым ио Е Р, (М) Оп редел ение 4.2. Если игю1Е Р,(М), ем 10, (4.8) и1ю1 -+ ио равномерно на компактных подмножествах Я" ччч (напомним, что и(ю1 получается из и1~1 изменением масштаба), то назовем ио чм блоуап-пределом ) лля и("'1. Ле м м а 4.2. Если ио — блоуап-предел для и1~1, то ио — выпуклаа функ. иия в Я".
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме З.б Рли (х) = Рийп)(еечх) е -С ~ 1п(е,„! х1)! Следовательно, для фиксированного Я > 0 функция ющ(х) и~ 1(х) + С!1п(енчЯ)~ )х! выпукла в Вл (т.е. Рп то> 0 для любого направления1) им - ио равномерно в Вя Таким образом, ио выпукла. Если и Е Р,(М) и и выпукла вВп,то будем говорить, что ипринацпежи1 Р„'(М) . Л е м м а 43. Предположим, что иЕР„"(М),е 10, и, -чио равномерно в компактных подмножествах Вл. Тоеда в подходягией системе координат ио принимае~ одну из следующих форм: л л ио(х) = Х аг(хг)з, а,> О, Х аг = 112, (4.9) ио(х) = — (х„) з 2 (4.10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай 1пт Л(и) = Ф. (4.
1) Поскольку и выпукла, то множество Л(и) выпукло и поэтому должно лежать в ги перплоскости. Но тогда Ьи =1 лв. Следовательно, ио является неотрицательным решением Ьио = 1 в Я". Так как 1РгРГио ~ < М. х~ Яп ') В орвгвволе "Ыоп-ар цюи" — Примеч. пер. 9.
А. Фридман можно пРименить теоРемУ ЛиУвиллЯ к РгР1ио. ПолУчим, что Р,Р;ио ' сонат Поскольку, кроме того, ио (0) = О, ио > О, имеем (4.9). Предположим, далее, что 1пг Л(и) Ф ф, (4.12) Пусть х Е Л (и). Так как Л(и) выпукло, то е„,гх Е Л(и) для любого г > 0 прн уело. вин, что еюг ( 1. Таким образом, гх Е Л(и, ) н Л(и,) Э Цт Л(и, ) Э С(Л(и)), где С(К) обозначает конус, порожденный К (с вершиной в начале координат).
Если х ф С(Л(и)), то х' Ф С(Л(и)) для всех х таких„что ~ х — х' ~ < б (б достаточно мало). Ио тогда еюх' е= м(и) если 0< е <1 итемсамымх В У(ио ). используя лемму 4.1, выводим, что х Е М(ио) и, следовательно, х Е Ф(ио) (действительно, М(ио) выпукло и шт Л(ио) Э (п1 С(Л(и))Ф О, поэтому, если х р Ф(ио), то существует открытое множество в (! х — х! < 6), со- держащееся в (па Л (ио ) ) . Таким образом, мы доказали, что Л(ио ) = С(Л(ио)) . Возьмем произвольный вектор — ег, внутренний относительно Л(ио). Тог- да любая прямая, имеющая направление ег, пересекает Ф(ио) по полупрямой, вдоль которой Рнио ) 0 в силу выпуклости ио (Р, — производная цо направлению ег) и Р; ио = 0 в начальной точке (которая принадлежит 1'(ио ) ) .
Следовательно, Р1 ио > 0 в У(ио) и по принципу максимума Ргио ) 0 в Лг(ио). (4.13) Покажем, что Л(и) — полулространстао. Действительно, иначе записывая х = (рсозВ,р япВ,х„...,хо), имеем Л(ио) С (х, Ио < И < 2я — Во) длн некоторого л/2 < Ио < е. Если я/2 < В, Во, то функция й (х) = рчтв соз(яВ/20,) гармоническая и обращается в нуль на В + В,. Отсюда для некоторого достаточно мзлого с ) 0 Р;ио ) сй, если И = Я В, или если ! 0 ! < И,,! х ! = б ) 0 (с зависит от б). По принципу максимума тогда Ргио ) ср 1з~' соз(пВ(20,), если ! В ~ < И,, 1 х ) < 6.
Так как е/20~ < 1, приходим к противоречию с непрерывностью по Липшицу Рг из в О. Таким образом, мы доказали, что Л(ио) — полупространство, скажем,(х„> О) . В силу единственности решения задачи Коши отсюда получаем, что ио должна иметь вид (4.10). Обозначим а(х, у) угол между векторами х ну. Л е м ма 4.4.Для любых е >0,6 >ОсуществуетЛ = Л(е, б) такое, что селии Е Е Р; (М и б, (Л(и)) ) е (6, (Л) определено в (3,24)), то в подходящей системе координат ( 1 я Л(и) ~ Вх О ( х„. а (х, — е„) < — — 6, 1 /' (4.14) Лг(и) ~ Вх г1 х;а(х, е„) < — — б . 2 130 До к аз а тел ь от в о.
Если утверждение неверно, то существуют последовательности Л,„4 О и и(~1 Е Р;Я), дпя которых (4! 4) нарушается в любой системе координат. Тогда для произвольной системы координат е„..., е„хотя бы одно из соотношений Л(и )~ Вл Г1 х;а(х, -е„) < — — б (4.15) Лг(и 1)~ Вл г1 х;и(х,е„) < — — 6 я 2 (4А б) не выполняется.
Заметим, что если (4.15) имеет место в ка1сой-то системе координат, то тоже будет верно и для (4.16). Действительно, в противном случае найдетсн векторе("'1, п(е(~1 — е„) < я/2 — 6, такой, что ее(~1 ф Ф(и(~1) лдя некоторого О < з < Л . Поскольку (в силу (4.15)) малая окрестность — тейп» принадлежит Л(и(~1), то ввиду выпуклости Л(и~~~) ИМЕЕМ О Е Шт Л(и(ю1); ПрнХОдИМ К ПрОтИВОрЕЧИЮ. СОГЛаСНО ПрИВЕдЕННОМу ВЫШЕ замечанию заключаем, что уже (4.15) неверно в произвольной системе координат.
Возьмем последовательность и( 1; и(ю1 -ь и ршномерно в произвольном компактном множестве. Тогда и С- Р;(М). Для любой последовательности замкнутых множеств А,„С В, имеем (см. задачу 1) Л(и) Г1 Вя С (х;х„< 6(х,,..., хп ь)», д и модуль непрерывности Втаб е зависят только отМ и е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Л (и) г1 Вьгг(у) Э Л (и) гг В~ге' если 1 у 1 < 1/4, то М»З(Л (и) Гг Вь/г(У)) Э М19(Л(и) Г1 Вг!4) = (1/4)бт/а(Л(и)) > Е/4. Следовательно, лемма 4.4 справедлива при любой точке (4.19) у е Г, 1у 1 < 1/4.
По лемме 4.4 с у = О Е Г для любого б = 1/и найдется система координат (ег ) (т ) (1 = 1... п) такая, что имеет место (4.14) с е„в е(ю1. Поскольку Л(и) выпук- ло, любая прямая хе + ге „пересекает л(и) по отрезку, лежащему в (т < ть» и у(и)— (4.18) 131 9' б,(1пп А ) > 1пп б,(А ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
