Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 19
Текст из файла (страница 19)
7. Рассмотрим задачу с тонким препятствием в уаювнях теоремы 11.4 в пред- положении, что л = 2 и )е(х) аналитическая. Доказать, что Л состоит из коночного числа интервалов. [У к а з а н и е. Пусть и — гармоническая сопряженная к и в Ьпг>0(т=х+гу), !г(г)=и(х,у)+)п(т,у), г (г)=И+1)г, Ф(т) — голоморфное продолжение )т(х) . Тогда (Р'( ) Ф'( ))2 — (чтт+ )г ф')2 голоморфна в 1т т>О и нау = 0 равна ((à — Ф'(х))' — !'т + 2((Н вЂ” Ф '(х)) )г Е А. Следовательно, я = (П вЂ” Ф ) ' — 1'з имеет аналитическое продолжение иа ( у = 0) . Далее, я Ф О, так как л — )'т на Л и / К(х, 0)т/х Ф О.
Если я(х) < О, то — «'(х) > > 0 и х Е Л; еспия(х)>О,тохЕЛтеслих — точкасвободной границы,год(х)жО ) 3. Рассмотрим задачу с тонким препятствием для пластины; /' Ьид(о — и) > О ч пЕК; и~ К, где й — круг ( хт + ут < 1) и К = ( в Е Нот (йа), п(х, О) > )а(х) ).
Предположим, что )т Е Ст и )т(т1) < О. Доказать, что и ~ И' Ррй) ч'р < 2 (н, следовательно, и Е И' ~' " (й) чт г < ) . [Указание. Для любой точки — 1 < хо < ! сушествует окрестность 1) точ ки (х„О) такая,что если и Е К то функция пч =и+ ей ')'(х)Ьь'[(а+и)М) принадлежит К дпя произвольного малого е > О, где ) Е Со, „" = О, если (х, 0) р К 0 <Г <1,а — некоторое вещественное число и л(х) = 1 — — (егх — е""') дпя некоторого г > 0; 2 см.
задачи 4 — 6 из в 10. Подставим цт в вариационное неравенство и выведем, что и„Е Н'. Далее, ввиду симметрии (д/др) таи сохраняет знак на у = 0 (в смысле распределений) . Поскольку !зи гармонична в й+, отсюда вытекает, что 1 д — Ьи < ,=о[ау Представим д (Ьи)/ду через функцию Грина в й, и покажем, что она принадлежнг ЕР(й+) дпялюбогз р < 2.] д 12. Библиографические замечания*) По теме вариационных неравенств недавно вышли две книги: Вайокки и Ка. пело [20), Киндерлерера и Стампаккьи [126Ь[.
Назовем также краткий обзор Киндерлерера [122с) . Систематическая теория существования дпя вариацноиных неравенств впервые бьша развита Лионсом и Стампаккья [141) . Изложение д 2 соответствует работе Стампаккьн [167а[; метод, схематично описанный в зацачах (1.1)— (15) взят из [141!. И'т Р оценки для задачи с препятствием впервые получены Леви ) См. также Дополнение.
— Примеч. яер. и Стампаккья [138а — с]. Метод штрафа использовали Брезнс и Стампаккья [53а); см. также Брезис [45а) (откуда взята зацача 5, 4 3), Герхардт [104а] и Лионе [!40]. Аналогичные результаты при условии Неймана на границе получены Мурфи и Стампаккья [149]. Результат о локальной И'з "-регулярности (теорема 4.1) получен Брезисом н Киндерлерером [49); частный случай ранее изучил Фразе [93а) .
Глобальная И'з регулярность установлена йенсеном [116с) . Задачи 3-11 из $ 4 основаны на работе Каффарелли и Киццерлерера [62); см. также [581) . Фрезе, Моско [184) и Фрезе [93е] доказали непрерывность по Гельдеру для решений задачи с препятствием в случае негладкого препятствия. Ь'з'дрегулярность для двух препятствий дбказал Брезис [45а] и локальную И'з "-регулярность — Кеффарелли, Киндерперер [62) и Шипот [71а] . Задачу фильтрации (см.
й 5) исследовал Байокки [19а], схожие задачи рассматривал Бза [26). Физическая задача поставлена Лапшов в [131], там же был выведен вариационный принцип; см. также монографию Дюво, Лионе [8!], Брезис [45Ь] решил задачу (6.3). Теорему 6.1 доказали Брезнс и Сибони [52]; 1г'~ "- регулярность (теорема 6.2) установлена Брезисом и Стампаккья [53а] для выпук. лых й; изложенный здесь вариант принадлежит Герхардту [104Ь) . Локальную И~з'Я-регулярность дпя общих вариационных неравенств с ограничением на грагиент недавно получил Йеисен [1166] . Теорема 7.1 (!уз -регулярность) принадлежит Каффарелли и Ривьере [63е). Другой метод, основанный на рассмотрении задачи со штрафом — ди + ре (] !7 и ] — 1) = — д недавно предпожил Эванс [85] в случае одиосвязной области, Результат Эванса обобщил Вигнер [181]; см.
также [191]. Простой, но полезный результат из задачи 2, 8 7 впервые был замечен Тннгом [172Ь] . 1г' "-регулярность для параболических вариациоиных неравенств с одним или двумя препятствиями доказана Брезисом и Фрндманом [94г(, е, 8]. Оценки носителей решений, приведенные в задачах 8 — 12 из з 8, выведены Брезисом, Фридмаиом [48) . Бревне [45а) изучил вариацнонные неравенства (8.10) с замкнутыми выпуклымн множествами К общего вида. Метод доказательства, схематично представленный в задачах 10 — 11 из 8 8, взят из работы Эванса и Кнерра [87а].
Яюво [80] преобразовал однофазиую задачу Стефана в вариационное неравенство. Теоремы 9.1 н 9.2, а также задача 9.3 взяты из статьи Фридмана и Киндерлере. ра [97]. Относительно двухфазной задачи Стефана см. Фридман [94а, Ь, Ь], Рубинштейн [156) и библиографию в указанных работах. Однофазная задача Стефана с сверххолодной водой изучалась Фридманом [94(), Йенсеном [116Ь] и ванМоербек [144а, Ь]. Материал й 10 изложен в статье Каффарелли и Фридмана [580] . Фрезе [93Ь, с] ранее доказал И'з "- и Из з-регулярность. Каффарелли, Фридман и Торелли [60Ь] доказали И'~ -регулярность для соответствуюшей задачи с двумя препятствиями и дал контрпример, показываюший, что решение вообще говоря, не принадлежит Сз, селил > 2.
Задача 3 из й 10 дается по статье Брезиса и Стампаккья [536] . Оин рассмотрели такое вариационное неравенство с множеством вида К я = ( ц Е Нет (й), а < < бо < б]. Каффарепли, Фридман, Торелли [60а] исследовали такое вариационное неравенство при — а = б = е ) 0 и доказали, что когда й — прямоугольник или пра. вильный треугольник, решение и = и, удовлетворяет условию (1/е)ди, - (У при е ~0, где У вЂ” решение задачи с препятствием для оператора — Д и препятствия Ыз(х) = = (68зт(х, дй))з. Эванс и Кнерр [87Ь] изучали упрую-пластяческие задачи дпя пластин; ограничение представляет отбой дифференциальное неравенство, включающее вторые производные и. Они доказали 1т'э э-регулярность.
Задачи 4 — 6 иэ 8 10 основаны на работе Фрезе [93Ь] . Содержание 8 11 соответствует работе Каффарелли [56о]. В несколько поздней работе Киндерлерер [122о] получил аналогичный результат, используя другую регуляризацию штрафом. Леви [137а — с] изучил непрерывность по Липшицу решения в двумерном случае и показал, что коинцидентное множество состоит из конечного числа интервалов в случае аналитического препятствия (этот результат приведен в задаче 7 из 8 11) .
Аналогичные результаты получены в [16]. Фрезе [93о] показал непрерывность первых производных при любой размерности; см. [936], где даны подобнью результаты дпя тонких препятствий щтя минимальных поверхностей. Резулыат задачи 8 из 8 11 получен Каффарелли и Фридманом. Недавно Шилд [188] установил 1г'э -регулярность в л-мерном случае дпя задачи с тонким препятствием для д~ н Сс-регулярность при л = 2.
Задача Синьорнни для систем моделирует деформации в линейной упругости. Впервые она изучалась Фикерой [89].Фикера установил существование решений в Н'. Киндерлерер [122е, Е) доказал, что решения принадлежат Нз и вывел оценки коинцидентного множества; при л = 2 он показач, что решение принадлежит С'~. В недавно вышедшей монографии [192] приведено большое количество примеров задач со свободной границей, возникающих в физике и механике. глявя г ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА: АНАЛИЗ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ В этой главе будут изучены регупярность н конфигурация свободной границы.
Показано, что если неконнцндевтное множество нмеет положительную ппотность в точке хе свободной границы, то в окрестностя этой точки свободная граница гладкая. Попожнтельная плотность в хе неконнцндентного множества вытекает (прн подходящих усповнях) нз обшнх теорем, доказательства которых здесь приводятся. Дпя варнацнонных неравенств нэ гп. 1, возникающих в фнзнческнх задачах, в этой главе будет установлена гладкость свободной граннцы, а также изучена ее форма.
В главу включены результаты по устойчнвостн дпя свободных границ н примеры варнацнонных неравенств, в которых свободная греннца имеет особенности. з 1. Преобразовюнге годографа Покажем, что если свободная граница класса С', то она фактнческн сколь угодно гладкая прн условии, что козффнцненты уравнения н препятствие доста- точно гладки. Рассмотрим 1вгя прнмвра ва1мзцнонное неравенство Ьи'~,(; и>О, (Ьи — ))и а О (1.1) в обпастн С С Я" н обозначим й неконнцнденпгое множество ( и > О ), а à — сво- бодную граюшу. Таким образом, Ьи=,Г в й, , и = О, р и = О на Г. Потребуем: Г класса С', иЕСз в йОГ 103 (1 .4) (1.5) где последнее условие означает, что Р и непрерывна в й н имеет непрерывное продопженне на Г.
Докажем регулярность Г в окрестности произвольной точки хе Е Е Г, причем не требуя, чтобы и, Г, й быпн обязательно нз варнацнонного неравенства (1.1); й — произвольная область в Д" н à — открытое подмножество д й. Те о ре ма 1.1. Предположим, что вылолнены (1.2) — (1.5) и хе Е Г. Тогда (1) если ) (хе) чь О и,( класса С' в окрестности хе, то Г класса Сг+" для любого О < и < 1 в некоторой окрестности хе; (П) если г Е См Е (и > 1 целое, О < д < 1) в окрестности хе, то Г класса См+~ Е в некоторой окрестности хе; ди д'и и;= —, иу= дх; дх; дх! Для простоты возьмем хе = 0 и предположим, что внутренняя нормаль к Г в хе имеет вид (1, О,..., 0) . Продолжим и» как функцию класса С' в окрестность О. Заменой переменных уа =ха (2~а~я), у» ='-и» определим новую функцию о(у) следующим образом: о(у) =х,у, +и(х).
(1.7) Тогда и;=0 на Г, иьь(О) 0 (1<!<л, 2<а<я), низ (1.2) и»» (О) а/ (0) > О. Следовательно, »!еС(ду/дх) Ф О в О, так что (1.6) действительно является локана. ным диффеоморфиэмом. Он отображает окрестность О в»2 на открытое множество И» в (у, (О) иокрестностьОнаà — наоткрь»тое множество Янау» =0; 0~ 8, Заметим, по а»о(у) ах»»/у» +у»»(х» +»!и = л =х»»1у» — и»»/х» + Е и!с»х = l 1=1 л л х»»У» + ~ иа»~ха х»»у» + ~ иаа»уа а=э а=2 (! .8) так что о» ах», па=на (2<а<а), (! .9) где о! = ди/дур Так какБэаданауравнениему» аОспроизвольнымиу ( Е (у )2 а=2 мало), соответствуюпще точки в хркоординатах имеют вид х» = о»(О,у», ° ° ул) ха =уа (2 «»<л). Таким образом, до Х» = — (О,х»,...,Хл) ду» (!до) (ш) если / аналитическая в окрестности хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
