Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вя'вя12 Поскольку и ЕН2 (тс"), то Д сги,!г < С, (10.19) (10.20) где С не зависит от е. Заметим, что зпррЧ1" содержится в Ся = — ВВ~Вгя12. Следовательно, 1сЧ(йи ) Ч('= — )' Ьи,Ч((сЧг,'). вя~ вя о, Используя последнее равенство и (10.20), получаем из (10.19) Ьи,(х) = — Г г::с12и, — Х $'Лги,Т+ а,(х), (10.21) вя12 вя1вясг где 1и,(х))< С, если хЕВВ72. Интегрируя по частям (подобно тому, как в (10.18)), приходим к формуле 3' 1(х -у)Ь ие(у)ссу = 3' (се(х — у) Ь'и(у) + ~3„ (10.22) Вя 12 ВЯ /2 где б,(х)-ьО, если х ЕВясг, е- О. Рассмотрим теперь интеграл Р(х)= ) И(х — у)с(д(у).
вя сг Он существует как собственный, т.е. существует 1!гл Г 1'(х — У)Вд(У) а е (1х-у1>Б) унВВ12 дпя почти всех х. Действительно, зто следует из теоремы Фубини, так как дпя любого 7с< 7и(у) Х 1'(х-у)с1х< С Х 7и(у)<". ~ х1<а ВЯ72 Отметим, что Р полунепрерывна снизу. тв имеем неравенство ю(хр) — Ь~р(хр) р О. Полагая р -+ О, хр -~х, получаем (опять же используя полунепрерывность сверху и ) нс(хе) — сгр(хе) > О. Те о ре ма 10З. Если и — решение яариаиионного неравенства (103), то Ьи ЕА",р,(й).
Доказательство. Возьмем произвольную точку х е Й и обозначим В шар с центром в хе н радиусом р. Выберем А так, чтобы Вя С й и г е Се (Вя), 2 = 1 в Вгя се 0 < ~ < 1 всюлу. Для любой точки х ЕВгя12 Ьи,(х) = Ьи,(х) ((х) = — Г Ис(сси ()йу, вя Далее, Ре(г) = К(г), если ]г! > е (так как К гармоническая и усреднение берется по сфере) и 1«,. (т) < К(г),если ]з ! ( е. Следовательно, !пп / г',(х -у)г1д(у) существует и равен Р(х) пв.
(1 0.23) о вя з Аналогично (10.22) имеем для х ЕВя «т ) К(х -у)Лэи,(у)](у)ИУ = плавя(2- / Х,(](у) 1'(х — У))Л и(у)ду+В,(х), вя1вя,з где В,(х)-«О, если е -«О. Поэтому К(х — у)Л'и,( ч)]'(у)дувя'~вя/т -+ ) Р(х — у)Л и(у)!'(у)г(у, вя(вя т (10.24) если х ЕВя!т, с-+ О. Теперь можно записать Ли, = /и(т)Л).(х — г)г(т = /Ли(г)!,(х — з)г2з = =~ (г)(,(х-т)де=ИЛ,(р)»(р,В)дВ.д,, е где (р, В) = ( р, В,,..., В„,) — сферические координаты и Л, ( р) — гладкая неотрицательная функция, Поскольку 1 — )'ю(р,В)г1ое 1 ю(х) пэи р1,0, гол гле со„— площадь единичной сферы, по теореме о соеднем Ли,(х) -+ и«(х) при е -«О. Комбинируя последнее соотношение с (1022) — (10.24), выводим из (1021) при е «О, что ю(х)= — Р(х) — ) ]'(у) К(х -у)Лги(у)гну+В(х), вя)вя (10.25) 79 !В(х)]< С, Лли хЕВя1а.
Далее нам понадобится следующий принцип максимума (Эванса) . Л е м м а 10.4. Пусть г. — сулцзгармоническая функция в Ял; Я лолуненре- рывнл снизу в В" и и = — ЛŠ— мера, Предлолс«жим, что 2 (х) -+ О, если ! х!-+ « и лолохшмЯ =зорро. Еслис <Млад, гдеМ> О,го2 ~МеЯ", Доказательство см. в [бб] или ]132] . Применим этот результат к 2 = Р— 12 ( ); мера я есть сужение и на Вя «т.
По теореме 10.2 «ч(х)>Лр(х) на апррд. Так как интеграл в правой части (10.15) неотрицателен, "г'(х) < - «ч(х) + б (х) ~ С на ьорр и, и в силу леммы 10.4 Р(х):~С в В", Замечая, наконец, что интеграл в (10.25) ограничен в Вн1з, заключаем, что ! и! <Св Вн1з. Доказательство закончено. Т е о р е м а 105. Если и — решение варианионного неравенства (10,3), го и Е Ю!ос (П) Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно записать и,= ) Ю(х — у)Л*Яи,)(У)с!у, хЕВи1г, вн где И' — фундаментальное решение Л г: Тн !х!~ ", если л= 3, или и> 5, ! 'т„1п —, если л = 4, !х! )н )х!'(1п !х! — 1) И~(х) = где Тн — константы, подобРанные так, что ~2 )у — — — Л И~Э вЂ” с, дх( 2 (10.27) где с — положительная константа, н — — -Л И'= тг (10.28) если я = 2. Применяя да/дх~а — Л/2 к обеим сторонам (10.2б), ввиду (10.27) и неравенства ~Лги, > О, получаем 82 — — — Л /и, ) — с ( 1(у) Лги,(у) йу — С, Эху 2 ! вгн1з Поскольку последний интеграл равен 3' ~,(у)Л~ис)у — С, 1С!<С, если хЕВн)г вгн 1з с другой константой С, то дг ! — — - Л /и, > — С в Вн1г, Эх! 2 (8 — мера Днрака) .
Разлагая Лг Яи,) = !'Л'и, +... и выполняя интегрирование по частям, находим, используя оценку ! Ли, ! < С (вьпекаюгцую из теоремы 4.3), по Х )Р(х у) ((у) Л ие(у)т)у+бе(х), (10,2б) вгн1з где 1баб, (х)! <Св Вн1г для любой производнон 0а. Можно непосредственно проверить, что Так как в силу теоремы 10.3 Ьи лока~ьно ограничено, то же верно для би, и, сле- довательно, даи, — '>-С в Вя/2. Эха 1 Но тогда д'и, д и, — — Ли, — Х < Ья, +(л — !) С, Эха ' ( -/ Эха поэтому Эаи, — <С в Эха / Отсюда следует, что мера де = оти, удовлетворяет неравенству С и,(В„(хе)) < 1п(1/г) еслиВ,(х ) С К, КС й,гдеС зависитотК.
Применяя оцерато р П, д' д П= — —— Эха дх', ' (10.29) к обеим частям (! 0.26), получаем Пи,(х) = 3' Е(х, у) 4~а(у)+ у,(х), взя/3 где у,(х) непрерывна по х Е Вя/т равномерно относительно е и, в силу (10.28), Е(х, у) — ограниченная функция, непрерывная ло (х, у) при х чь у. Поэтому ввиду (1 0.29) ре(В„(у)) -ь О, если г — 0 равномерно относительно у, е. Согласно теории потенциала Пи,(х) равномерно непрерывна по х, (1 0.30) когда х принадлежит произвольному компактному подмножеству К С й, равномерно по е, 0 ( е < е е (К) . 6. А. Фридман Устремляя е к нулю и замечая, что х может быть любым направленнсьп выводим утверждение теоремы. В следующей теореме мы ограничимся рассмотрением случая и = 2.
Т е о р е м а 10,6. Если п = 2, го и ~ С' (й ) . Л о к а з а т ел ь с т в о. По формуле Грина, если В„(хе) Г й, то дС (тие(х') = — / бис — с/Š—,/ СЙ'и.дх, ав„(а'1 Эр в„(а'1 где С = (1/2я) 1и г/р — функция Грина с полюсом х и р = ! х — х 1. Так как ! Ьи, ! ( сС па компактных подмножествах й, то 1 л и,. ( у) ау < С в,(а'1 ! хе — У ! Поэтому для последовательности е -+О имеем Пио — Пи равномерно по хЕК, (10.31) (! 0.32) Пусть Р = (хм,ум) Е Я, Рм ~Ро так,что еслиа — угол межцуР,Р и осью Оу, то а -+О, если и -» 1 ) Р,„»~ — Ро) < — ) Р— Ро). 5 (10 34) Докажем, что ю(Рм) - я»(Ро). (1ОЗ5) Возьмем для простоты (хо, уо) = (О, 0) и рассмотрим квадрат Вы = (0<у<у,„, )х)<у /2). Можно написать и~ = й и = 脄— иу „+ 2(и — р„т) + 2ч»„„п.в.
Так как и — »о=О, Ч(и — д)=-0, в Р, то Ц (иуя — угу) о)ха1у = ям г 1г я )г — (иг — еу) (х), у ) е)х — Г (и — ч» ) (х, О) дх = у )г у гг (10.36) ум(г — у,/г Х (ихх — р „) ($, у ) с1$ с)х— хо з»е» I г н )' (и„— ~Е„Г) ($, 0) г)е е)х, -Ум 1г о (10.37) где Пи понимается как представитель обобщенной функции Пи. Таким образом, существует поецставитель и,, „— и,,„, непрерывный в й. Заменой переменных х,+хг х,— хг х~-» —, х,- .2 ' ' '2 находим, что и„х также имеет непрерывный представитель в й.
Объясним пос- 1» леднее утверждение более подробно. При е -+О и~ +их, и~ з, 'ит, ие „з, +С» рарномерно на компактных подмножествах. Слецовательно, (и„) г и (и )„существу- ют и совпадают с У. Полагаем, естественно, У= и„э Таким образом, (и~)у (и„)к = и„„существует и непрерывна. Л е м ма 10.7. Функция ю непрерывное й.
До к а з а т ел ь ство. ОбозначимЯ носитель и =2г'и, По теореме непрерыв- ности для субгармонических функций 166), если сужение н яа 5 непрерывно, то функция ю непрерывна в й. Так что достаточно показать если Ро =(то,уо)ЕВ (10.33) то я») .о непрерывна в Р,. Из равенств (при й=и — Ф) О = й„(х, У ) — й„(0, О) = = 1й„(х,у ) — й,.(х, 0)] + + (й,(»,„,0) — й,(0,0)] = Ут ~ги ) нгт(»~,У)пУ+ Х ™~т(» О)'1х о о получаем (й„„(О,О)+8 )У +0(]хю !)=0 (бю ~0), так как й„непрерывна и ]й„]< С.
Ввиду (10.34) й„(0, 0) = О. Следовательно, можно вывести из (10.3?) ! Д' (итт — ртг) Вх Ну = о„, /2, ]Я ! и,„ о„, -+О, если лз- (10.38) где 1А„! — площадьЯю. Пусть У вЂ” непрерывный представитель обобщенной производной 脄— и„. Введем непрерывную функцию я = Сг + 2 р„,. Тогда из (10 38) имеем 1 Д (в — 8)И»НУ=о,„, ]Я ! я,„ о„, -ьО, еа и лт-~ где Л не зависит от лг при условииг что ю достаточно болыпое. Так как функция ю субгармонична, а е непрерывна, левая часть последнего неравенства не меньше величины ю(Р) — 8(Р) + Пю, где и -ьО, если лг . Следовательно, ю(Р) — 8(Р) < ЛМ + (1 — Л) а + т1 < Л'М для любого Л ( Л' < 1, если т досгаточно большое. Таким образом, и — 8<ЛМ, если РЕВ, т Эта. Повторяя рассуждения, проведенные вьши, получим и -я<(Л')~М в В и тогда —,( ( я)<(Л') М- О, 1 а ]Вю ! вюь если Л.
-+ ' . Поскольку и субгармонична и я непрерывна, левая часть не меньше Пусть  — шар с центром Ре и ралиусомум,и пустьРС В . ОбозначимВр(Р) шар с центром Р и радиусом р. Очевидно, Я„, С Вчх (Р). Пусть М вЂ” верхняя граница ю — я на компактном подмножестве 11, содержащем Ре. В силу (10.39) (ж — я) < ЛМ + (! — Л) о,„(0 < Л < 1), пчт (л) н«(Р ) — я(Ра), Ра Е В«аа. Следовательно, 1у(Ре) <у( е) (10.40) Для произвольного малого и ) 0 рассмотрила прямоугольник та= (ха«<х<х +Л', ую <у<у +7«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
