Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Г д и — ~ е'т(й). д." (8.21) с ( — т7„— + — ) е7х (с> 0), Поэтому функция у д е~з» Ф(г) = 3'( — ) с(х тт дг ь5 5. А. Фридмен Используя (8.9), находим, что второй член в левой части (8.20) ограничен снизу величиной удовлетворяет неравенству эа — 1 Ф'+тф4СФ э~ < Тф/2+С, дчя некоторых т > О, С > О, С, > О, которое дает (так как Ф(О) < С) (8.22) / дх<С. (8.23) Из этого и леммы 8.1 получаем (для и = и,) / ! Аи !аг/х ~ С Ч1 < р « . (8.24) Предположение (8.21) не нужно, если брать конечные разности (8.12) относительно г и умножать на (Ьни)эе ~, где дьи — конечно-разностное отношение и относительно г.
Теперь можно обратиться к ьаоценкам и заключить, что для л.в. г Е (О, Т) / (! Р„и !" + ! Р„'и !в + !Рги !" )дх < С. (8.25) й Если я(х, г) непрерывна по Гельдеру в /гт, то (см. [94а!) функция т н (х, г) = / /К(х — у, г — т) 8(у, т)/у дт е а есть решение юг — ~~~'=8 в От (8.27) Кроме того, !ю! 1 <С!8! рпр р если р>1+и/2. ь" Ойт1 ь Орт!' (8.28) Используя этот факт, можно повторить доказательство теоремы 4.1 с заменой лем- Полагая е -+ О, получаем такое же неравенство лля решении вариацнонного неравенства. Таким образом, справедлива Т е о р е м а 8.3.
Пусть вьоюлнены (8.13), (8.16) и (8.18). Тогда регаение вариационного неравенства (8.15) удовлетворяет (8.25). Следовательно, для п.в. г производная Р„и(х, «) непрерывна по Гельдеру с показателем /3 ( 1. Изложенное доказательство (8.25) подходит также для переменных коэффициентов оператора А и у, е, зависящих от г (более точно, если имеет место (8.13), если р,,Р„ээ, Р', р принадлежат СЯт) и если а;., т7„ац, Ьл с и их первые производные по г ограничены; (8.26) то оценка (8.25) верна; подробности см.
в (948]. Далее, опишем кратко Ига' оценку. Дпя простоты возьмем Аи = — гэи. Введем фундаментальное решение К(х, г)=(4аг) э ехр( — !х!'/4г). мы 4.2 на (8.27), (8.28) . Получим, что и11(х, с) ) — С в любом компактном подмножестве (гт (и = и,) . Далее, дифференцируя уравнение со штрафом по Г, имеем (и,), — дис + б,'(и — р) (ис — рс) = О (р = 'р~). Рассуждая, как и выше, выведем оценку + и, ) — С в компактных подмножествах., Так как! Вс ~ <С,то и,— сзи < С и мы получаем, как и раньше, ис 1 < С. Таким образом, доказана Те о ре м а 8.4.Волив теореме 8.2 асс =Ьср Ьс = О, с = 0 и препятствие о такое, что ~р липшицево по х и Г, У ргг ) — С в Й ((гт) для любого направления 8, йт — окрестностъ0т,где С- константа, то решение и вариационного неравенства (8.15) удовлетворяетусловию: Р и, Р~ и, Р,и принадлежат Ь, Щт).
Этот результат распространяется также на случай оператора А с переменными коэффициентами. Задачи 1. Доказать лемму 8.1. 2. Завершить доказательство теоремы 8.2. 3. Восполнить детали в доказательстве (8.23) . 4. Доказать (8.28). 5. Доказать теорему сравнения: е5ли и — решение (8.10), (8.11) и если й— решение аналогичной задачи с )', 8, р, то ) ) т, е > я, р ) р влечет й ) и.
6. Предположим, что пв. в (гл т =Вя Х (О, Т) и,— са )т, .в.вйл = В, Х(О,Т), (и, — дс и — ))и О, где т'< — Т,и <М (Т,М положительные) и и Е С(()л т). Показать, что если дЯ~ ) ) 2пМ/7, (1-4) Т ) М)7 Лля некоторого 0 < д < 1, то и (О, Т) = О. 1У к а з а н и е.
См. задачу 3 из 8 1.] 7. Рассмотрим вариационное неравенство в Нн Х (О, Т) и ) 0; (и, — б и)(о — и) > 1'(о — и) п.в. Чо ) О, и (х,:0) = ис(х), (8.29) гле ие ) О, ие Е Ьс и 1, )с Е А . С помощью задачи со штрафом получить существование решения и, л (х, г) в (! х ! < Л, г < Т), обращающегося в нуль на ( ! х! = = Я ) и положить е .+О, В -+ длядоказательствасуществованнарешенияи (8.29), 47 удовлетворяющего условиям и,, 17„и, штази Е г.л в компактных подмножествах Я" Х (О, Т), и(х, г) — ) К(х — у,г)ио(у)ду — О, если г-«О и где К вЂ” фундаментальное решение и !и, — Ьи ! < С, если ио Е Е .
8. Если в задаче7 /<г и (и >О),то существует То <, зависящее отис и г такое,что если Т> Т„то и(х,г) =Оприг > Т,. [У к а з а н и е. Сравнить с М вЂ” г.! 9. Если в задаче 8 ио имеет компактный носитель. го и (х, г) = О при ! х ! > Яо для некоторого Яо < [У к а з а н и е. Сравнить с д (Яо — г) "-.) 10. Если в задаче 8 ио (х, г) .+О при ! х ! -«,топ(х, г) =Одля каждого г >0 при ! х ! > Я(г),Я(г) < [Указание. Если и(хо,го) >О,то рассмотрите и ! !х — хо !з и = и — — ~(го — г) + 2л в ( и > О, ! х — хо ! < Я, г < го); и принимает положительный максимум на парабо.
лической границе.) 11. Пусть 5 (г) — носитель г -' и(х, г), и предположим, что /, ио такие же, как в задаче 7, /< — р < О, В(О) =вирр ио ограничен и ио ЕЬ . Доказать,что В(г) С В + В(Соз/г [1пг !) для всех малых г, где В(р) =(! х ! < р), Со > О. [У к а з а н и е. Если и (хо, го ) > О, то рассмот ррте функцию (Г= и-с ! х — хо ! з в С =(Йат(х, В(0))> е, г<то, и(х, г) > 0), (7 принимает положительный максимум на границе С в (х', г') . Кроме того, и(х', г') < /К(х' — у, г')ио(у)йу + Сг ) 12.Есливзадаче11 /> — ио>Оиио>Р>Она5(0),то В(г) г В + В(соз/г !(пг ! ) для всех малых г, при некотором со > О.
[У к а э а ни е. гг > Р / К(х — у. г) г(у — рог.! ! 1 9. Задача Стефана В атом параграфе мы рассмотрим задачу о плавлении твердого вещества и све. дем ее к параболическому вариационному неравенству. Затем мы опишем некоторые специальные свойства решения. Пусть С вЂ” ограниченная область в Я", граница которой состоит из двух Со ~о-гиперповерхностей Го и Гг таких, что Го лежит внутри Г, и ограничивает односвязную область Со (рис. 2) . Пусть Вл (! х ! < Я) — шар, содержащий С и й = Вл ~ Со, Яг й Х (О, Т) . Предположим, что вначале область С заполнена водой, а Я" ~ (С Ш Со)— льдом при температуре 0'С. Обозначим В = 0(х, г) температуру воды.
Нзм заданы начальная температура (9.1) В (х, 0) = Ь (х) на 6 Х ( 0 ) и температура вдоль граню(ы Ге для всех г 0(х, г') = 0(х, г) на Ге Х 10, ). (9.2) Рхс. 2 называется свободной границей, Предположим. что свободная граница задана урав. пением з(х) — с = 0 (при з(х) > г в области льда). Тогда вдоль свободной границы 0 = 0 (непрерывность температуры), «х 0 « „.т = — )г (сохранение энергии), (9.3) где )с — положительная константа. Наконец, Вз — ЬВ = 0 в области (В > О) .
(9.4) Задача нахождения решения В, з в (9.1 ), — (9.4) называется (класеич(ской) однофаз- ной задачей Стефана Преобразуем задачу в вариационное неравенство для и, где и определяется следующим образом: г ( 0(х,т)йт, при хай(0, г> з(х), х(х) О, если хя йЫ, г < г(х), )' 0 (х, ) йт, если х Е 6. о Для хЕ й(0, г > з (х) имеем их((х, г) ) Вх.(х, т) а'г - гх((х) В (х, х (х)) = х(х) с / Вх((х, т)а'т, х(х) их,.„,(х,г) = ) Вх х.(х,г)ат — тх (х)Вх (х,т(х)).
( з ' хзх( х( ,«Г Предполагается, что л, 0 положительны. Озедовательно, лед начнет таять и область Ф(г), занятая водой, будет расширяться. Часть ЭФ(г), граничащая со льдом, Следовательно, г г Ьи(х,г) = )' Ьд(х,т)ггт + гг = )' д (х,т)гтт + )с = и,(х,г).+ К г (х) г(х) Аналогично Ь и (х, г) = ) дг (х, т) ггт = и, (х, г) — )г, если х е 6. о Полагая )г (х), если х Е О, Т(х) = -й, если х ~ й1С, (9.5) находим, что и,— Ьи=,Т, если и>0.
Кроме того, очевидно, что и, — Ьи 0 >); если и = О. Функция и на Эрот принимает значения чг, где г )'я(х,т)г(т„если х Е Ге, г > О, о (9.б) О, если г=О нли если ~1 х ~ = Н. Вводя выпуклое множество К= (оЕ Н'Ят), о > 0 пв.в Дт, о = чг на дрДт), (9.7) мы видим, что и есть решение вариационно го неравенства иЕК, (иг(о — и)Ых + )' Ч и ° Ч(о — и)г(х > )'Яо — и)г(х Мо ~ К, (9.8) 70 для пл. г Е (О, Т). Теперь предположим, что я~ С*"(Т, )( (О,Т)), а> 0; )г Е Сг( Г ), )г > О в О, (9.9) Из доказательств теорем 8.2 и 83 выводим (аппроксимируя 7' гладкими функциями), что сушествует единстг(енное решение вариациониого неравенства (9.8) и Вхи, Вз и, В, и принадлежат Т.
((О, Т); Ве(й)) для любого р< Отметим, что поскольку Т не дифференцируема по х, теорему 8.4 непосредственно применить нельзя. Однако мы докажем следующую теорему. Т е о р е м а 9 Л . Решение и задачи Стад)ана (9.8) удовлетворяет условиям Ориг(с, с<', (9.) О) Вхи, Вз и принадлежат Т. (й~б) Х (О, Т). (9П 1) Доказательство. Пусть 0 < За < сйзт(Го Г1) и Ч(х) — функция из Со (В") такая,что Оп~9<1 и ( 1, если п(зт (х, Го) < 2я, я(х) = г ( О, если Йзт(х, Го) > Зе. Пусть Уе (х) = Ь (х) 97о (х) — (г (1 — ~Ро (х)), (е > 0) где р, — е-усреднение характеристической функции С, — е.окрестности С.
Наконец, пусть В, (г) — штрафная функция из задачи со штрафом, удовлетворяющая дополнительному требованию (1,(0) = — (с, В,(г) = О, если г > е. Рассмотрим задачу со штрафом дяя и — и: и, — Ь и + (1, (и) = Т, в С.г, (9.12) и = Ф + е на Го Х (О,Т), и=ет( в йХ(0], (9.13) и = 0 на дВи Х (О, Т), Заметим, что начальные и 'граничные условия согласуются на ЭС Х ( 0). Как обычно, ио .+и при е .+О, где и — решение задачи (9В).
Докажем, что Эи, 0< — < С Эг ди, Дифференцируя (9.12) по г, получим для н = — уравнение дг (9.14) (о, — Ь(о + (5,'(и,)то = 0 в 0т. и условия и = )о + ез5| — В,(и,) при г =О, ф, на Го Х (О,Т), 0 на,дВп Х (О,Т). По принципу максимума ппп( ппп и, 0) ц то (х, г) и тая( шах н, О) . о Ог а Ог (9.15) то(х, 0) > 0 при хЕ С, (о(х, 0) = Го — ((о(0) > 7с — (с = 0 при х Е ВлЧС. Легко видеть, что н > 0 п.в. на ЭрЦ~ . Позтому левая часть в (9.15) неотрнцательна. Нетрудно проверить, что правая часть в (9.15) не больше С, и (9.14), таким образом, доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
