Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В стационарном случае согласно закону Дарси ч = -й(уи, (5,1) 42 где т — скорость жидкости, й — константа проницаемости и и(х, у) = у + р(х, у) у — сила тяжести и р(х, у) — давление. Отметим, что мы рассматриваем здесь дву мерную перегородку, которая может служить также моделью трехмерной, если се чения плоскостями т = с не меняются с с, Функция и называется яьезометрическим напором. Закон сохранения массы ~7 т = 0 приводит. к равенству йт(х17и) = ( в влажной части перегородки. Положим для простоты й(х, у) = 1. Тогда можнс считать, что часть перегородки, занятая жидкостью, описывается в виде 1ь'=((х,у); 0<х <а, 0<у < р(х)), ! где у = р(х) — "свободная граница", отделяющая влажную часть от сухой (рис. 1) Рис. 1 Функция и удовлетворяет условиям Ли=О в 1т', (5.2) ди — = 0 на Г; да (5.3) у = р(х), 0 < х < а, где а — внешняя нормаль (т.е. поток через Г является касательным к Г), и(О,у)=Н, если 0 <у<Н, и(а, у) = л, если 0 < у < л, и(а,у) =у, если А <у< р(х).
(5.4) Это следует из непрерывности и того, что Н вЂ” у в резервуаре с уровнем жидкости Н, р(х, у) = Ь вЂ” у в резервуаре с уровнем жидкости л, 0 в части перегородки, не занятой жидкостью. Кроме того, и(х,у) =у иа Г, (55) и, наконец, и„(х, 0) = 0 (О < х < а), (5.6) если дно перегородки непроницаемо. Предположим, что существует решение и (5.2) — (5.6). Покажем, что функция р(х, у) = и(х, у) — у тогда положительна в 1т'. Действительно, р гармоническая в й/, р = 0 на Г О Гз, 43 Таким образом, в силу принципа максимума р)0 в й'.
(5.7) Теперь сведем задачу (5.2) — (5.8) к вариационному неравенству, предполагал, что р Е С', и Е С' (й> Г> Г) Г) С(Й>) . Положим е(х) ) [и(х,г) — г[ >И, если 0<у< р(х), н(х,у)= [ г ! О, если р(х)<у <Н. (5.8) Подсчитаем н'г(х,у) = — и(х,у) +у, и(х) '"х(х,у) = 1' и„(х, г)с!г (в силу (5.5)), г (5.9) е(х) ю„„(х,у) = Х и„„(х, г) с1г+ р'(х)и„(х, р(х)). У Так как — )р (х)их+их =0 на у=р(х) (в силу (5.3)) е(х) е(х) У и„„(х, г)Ф= — Х и,(х„г)с(г= — и (х,р(у))+и (х,у), У У находим, что н„„=их= — н> +1 [в силу (5.9)[. Тем самым гь>г =1 в й>.
(5.10) Кроме того, ввиду (5.7) >с~~'0 в й>. (5.1!) Пусть й = ((х,у); 0 <х <а, 0<у <Н). Тогда очевидно, по н =О, >з>с=О<1 в й~й>. (5.12) Можно также проверить, что >>н> < 0 в смысле распределений, д) (й). Окончательно >г=л на дй, (5.13) р ) 0 на Ге О Г, и р, не может принимать отрицательный минимум на Г,, так как р =>гг — 1 = — 1 на Г,. где К вЂ” непрерывная на д й функция, 1 8(О,у) = — (Н вЂ” у), 2 1 8(а,у)= — (И вЂ” у)*, если 0<у<И, 2 я„„(х,0)= О, если 0<х<а,т.е. НгУ х, ьг К(х, 0) = — ~1 — -)+ — —, 2 а а а' 8=0, п.в.
на дй. Полагая К= ( оЯН (й) о=я на дй, о>0 в й ), находим, что и — есть решение вариацнонного неравенства )' 1гю Ч(о — ш)> — /(о — нг) 'ФоЕК; н ЕК й гг Обра~но, если го — решение (5.16) и множество И'ж ((х,у)Ей; и(х,у) >0) дано в виде 0 < у < р (х), 0 < х < а и р(х) < Н, (5.14) (5.15) (5.16) то функция и (х, у ) = у — го,, (х, у) вместе с р решает физическую задачу (5.2) — (5.6) в некотором обобщенном смыс- ле; если р и и достаточно "регулярны", то и, р решают задачу (5.2) — (5.6) в обыч- ном (классическом) смысле.
Далее будем рассматривать варнацнонное неравенство (5.16) н установим существование достаточно гладкого решения и и свободной гра- ницы у = р (х) . Те о ре ма 5.1. Вариационное неравенство (5.16), (5.15) имеет единственное решение го, и н Е Иг '" (й) Гг И', ' (й) .
До к а за тел ь от в о. Существование единственного решения го следует из общих теорем з 2. Для доказательства того, что и ~ Игг р (й), мы должны моди- фицировать доказательство теоремы 3.2, так как дй не принадлежит Сг+": дй имеет четыре уша. Докажем следующее: существует решение задачи со штрафом — г5и, +б, м(и,)= — 1 в й, и =янадй: и, непрерывно в й (см. задачу 2) . Можно показать, как в а 3, что ~бв, ~<С, ~ 5и,~<С, где Сне зависит от е, Ф. Используя (У оценки, выводим, что (5.18) где й, С й, йс не содержит угловые точки дй. Теперь можно применить резуль- таты д 4 для вывода оценки ! и,1„,г, (п ~С.
(5.19) Окончательно, (т'~'Р-оценки выполняютсл также в окрестности кажцой угловой точки; см. задачу 3. Таким образом, ! и, 1,„з.р(01(С (5.20) Теперь можно устремить е к нулю и действовать так же, как в $3. Л е м м а 5.2. Справедливы неравенства <О, ит(0 в й. (5.21) на (х=О) 11 (х=а, О<у<1), на (х=а, Ь<у<Н), на (у=Н),таккак ю(х,Н)=0, и»0, и,(0 их=О ют <О (и»,)т =! — иl„.„. = 1 на дИ'О (у= О), юг =0 на д )т'Гт дй.
Из леммы 5.2 легко выводим, что дпя любой точки х Е (О, а) найдется число р(х) такое, что (х, у) Е И', если и только если 0 < у < и(х) и р(х) монотонно убывает. Л е м ма 5.3, с(х) непрерывна. До к а э а тел ь с та о. Предположим, что р(хо + О) < у(хо — 0) для некоторой точки 0 < хо < а н поделим Я = ( (х, у); 0 < х ( хо, у (хо + 0) (у ( ~р(хо — 0) ) . 1 Функция й(х, у) = ю(х, у) — — (х — хо) гармоническая в Я, н й~ = й', = 0 прн 2 х = хо. Ввиду единственности продолжения (см.
задачу 4) й — = 0 в Я, что приводит к противоречию. Подобным образом доказывается Лемма 5 4 Если 0<хо <хт <а и р(х,) <Н, тор(хт) <р(х~). Ле мма 5.5. р(х)<Н, если 0<х(а, 46 До к аз а тельство. Положим Ю = ( (х, у) Е й; ю(х, у) > 0) . Так как и Е (т'~'Р(й) для любого р (, множество И' открыто и и~х непрерывна в й. Отметим, что Ью„= 0 в )т'. Таким образом, если показать, что ю„в )т' не может принимать положительного максимума на дИ', то из этого будет следовать, что и „(О в И' и, следовательно, также в й. Предположим, что ю„достигает максимума в В~ в точке хо. Мы хотим показать,что и„~хо) (О.
Если х Е д И' О й, то кх(хо) = О. Если х = (х, О), то ю„(х ) = Лк (хо) < О. Если хо Е д )о гт ( х = 0), то (так как ю > 0 в некоторой й окрестности точки хо) (и'х)х ихх 1 игу 1 еуу если х Ф (О, Н), так что юх не может достигать максимума в этой точке. Такая же ситуацнябудетеслихо = (а,у), О<у<И. Далее, если х = (а, у), й <у <Н, тон(х ) = О. Однако, так как и(х) > О, получаем и„(хо) ( О. Наконец, поскольку и (х, Н) — = О, имеем также и „(х, Н) = = 0 н доказательство неравенства и „(О завершено.
Доказательство того, что и, < О, аналогично. Здесь Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначвпа покюаем, что !ер (х, Н'! = О. Для любой точки 0 < х < х < а имеем !рр (х', Н) — еер (х, Н) = 1 Ф = 11щ — [» (х, Н) — !е (х, Н вЂ” е) — !е (х, Н) +»г(х, Н вЂ” е)) е ее (5.22) Задачи 1. пУсть (гя = ((х, У); х > О, У > О, х + У' < 1е'), ьи =г'в (гд, и =Я на д(гя') ((О, 0)), где ( е ь ((7я), я непрерывна на д(гя, и непрерывна в (гя ~ ( (О, 0) ), и Е 7.
((7я). Доказать, что и (х, у) -+е(0, 0), если (х, у) -+ (О, 0). [У к а запив. Пусть Ь' — стропей барьер в (О, О), т.е. 22И! < — 1 в (гя, И' Е Е С((7я ), Ь' > 0 в Я, '( ( (О, 0) ), Ю (О, 0) = 0 (например, 1 1 И!= 7 2ор (х+о)р+(у+а)р дпп произвольного о > 0 и некоторых 7 > О, р > 0). Показать, что дпя любых е > О, е) > 0 и некоторого й > 0 в (2я й И! * (е(0) — и (О')) т е — ц 1и (х + у ) 02 > 0.) 2. Доказать, что существует решение (5.1 7) .
[Указание. Аппроксимируйте й гладкими й и е гладкими е в й„,; обозначьте и, „, соответствуахцие решения (5.17). Тогда [!)е,ее ! С, ! !5ие,ы [<1, иеря +ие и — !еие + !)е (ие) = — 1 в й. Кроме того, ие = Х на д й за исключением, быть может, угловых точек.) 3.
Пусть (7я, и, 7; е такие же, как в задаче 1. Предположим, что е Е (рт р((гл) при некотором 1 < р < . Доказать, что для любого 0 < Яе < В ! и [!ртр((2 ) ее С[!Ю ! !ртр((2 ) + [([Ьр(я )) ' где С вЂ” константа. ат 1 = 1ип — [» (х, Н вЂ” е) — ее(х', Н вЂ” е)] > О, е е е ! так как ее„< О.
Таким образом, »р(х, Н) монотонно возрастает в х. Так как она обращается в нуль в точках х = 0 и х = ае она должна быть равной нулю тождественно, откуда следует (5.22) . Если утверждение леммы неверно, то р(х] — = Н дпя х нз некоторого интерва. ла 0 < х < х,. Поскольку имеет место (5.22), приходим к противоречию (ввиду единственности продолжения) так же, как и в предыдущих двух леммах. Резюмируем сказанное в следуихцей теореме. Те о рема 5.6. Свободнач граница есть криеач у = р(х), где р(х).— непрерывная, строго монотонно убывающая функция. В гл.
2 мы разовьем общие результаты по свободным границам для вариациоиных неравенств. Эти результаты означают для задачи фильтрации, что р(х) аналитическая. Мы докажем также, что ч!(х) вогнутая и ч! (а — 0) > И. (У к а з а н и е. Предположим, что я 0 н определим и(х,у), если у)0, й(х,у) ~ — и (х, -у), если у < О. Аналогично продолжим )'. В продолженной области Ся функция й принадлежит Н' (в силу задачи 7 из $ 3). Покажите, что Ьй = ~' в Н' Я~). Утверждение следует тогда из ЕР оценок в окрестности глацкой части границы.) 4. Пусть и — гармоническая в прямоугольнике Я = ( 0 < х < а, О < у < Ъ), иЕ С' (Я) ии =и, =Онах=О.Доказать,чтои = — Овй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
