Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда о Е (т' 'т(й(г, — Ь,б)). Наконец, пусть Ао= Ье в й(т, — б,б), ' Эо' й= -2'( — +й~,~ на границе. , Эх~ Функция г Эо Рю 2'! — +о '+о , Эхг есть решение задачи Эй, А)т=йо + 2 — в Эх, й(т, — 6,6), )т = 0 на границе; уравнение понимается в слабом смысле. Возьмем С> 1 К !! .
Тогда функция Р = С+ (à — Вг) удовлетворяетусло- виям АР+ела=(С+ р)е>0 в й(г, — 6,6), Р~ 0 на границе. Напомним [1421, что принцип максимума для агабых решений (напрнмер, в Нг ) остается справедливым, если ай Е С . Таким образом, можем заключить, что г Р >О в й(,-66), Следовательно, !! Рг !!ь ~ 2С Комбинируя последнюю оценку с (4.22) и вспоминая, что о = о, + ог, получаем утверждение леммы.
3 а м е ч а н и е 4.1. Лемма 4.4 распространяется на случай, когда уаговие Неймана в (4.17) заменяется на о=е на В(т)Х (0). (425) ие =бе на дй, гдето, =Я+ Се выбиРаетсЯ так,чтоее > ее на дй,иоценкУ !Аи,1,-+ !!),! -<С, С неэависитот е. (4.2б) Отметим, что ц Е С4(Ле Гг й), Л е м м а 4 5.Для нроизвольныхмалых 6, г имеетместо оценка !не!жг, (ггр тю С, где С вЂ” константа, не зависящая от е .
37 Важно отметить, что этот результат не является следствием леммы 4.2. Новый мо- мент в лемме 4.4 (и в ее варианте с (4.25)) заключается в том, что константа С, ограничивающая ! о ! „, не зависит от С'. Далее мы будем применять лемму в слу- чаях, когда нет априорных оценок от С'. Напомним задачу со штрафом Ац, +!)е(и, — д,) =Х в й, До к аз а тел ьств о. Пусть а' — решениезадачи Ае'+/)е(и, — З),)ае = — «б,'(ие — Р,)А(Р,— д(и„— р,) д(и, — де) — «ре»(ие — (Ге) Бац В Й(гГ, гд), дх( дх; (4.27) де' — = 0 на В(гг)Х(0), дх„ ' = О ° а'П(гг, га), „/ уз з з ~ где « — функция из Се"(й~ — г, — — д, — д/, « =1 в й(г,-д,а), 0<«<1 и '~~г' г 'г /' д «(х', 0)/ дх„= О.
Покажем, что (4.28) ~с "(0(зг, га)) ~ С. Для доказательства опустим индекс е и положим Р = — Аи. Тогда -т +Яи — у) =/' (4.29) н (если берем Р,(е)=0 для (ЪО) т =/' на х„=О, др д/' — — — на х„=О. ах„ах„ Применяя — А к (4.29), получаем А У + б'(и — р) т = -А/'- /1'(и — ())А р — Ц '(и — р) Баб (и — р)„(и — з))» .. Умножая. на «, легко выводим А(«а)+/('(и — (е)(«е) = — «А/' — «В'(и — ч))А р+ + (А «) а — 2 Хаб «„,е„. — «8»(и — (р) г'аб (и — р)„(и — р)„..
Сравнивая с дифференциальным уравнением для т = т', находим, что А(«е — е)+б (и — р)(«е — е) = = — «А/'+ (А «)е — 2 Ха~>. «»(т». =-Е. В силу (4.26) можно записать Г в виде » ай( йе+ г' —, Е~/)1 ~ Р ~С длялюбого р(4~, е ( ) ах )1 ь где С не зависит от е. Следовательно, можно применить лемму 4.4 (заметим, что е(х) = 1) (и, — (р,) неотрицательна, но у нас нет априорной оценки е; см. замечание 4.1, выше) . Заключаем, что 1«а т 1е (а(з зе))<С (4.30) где С не зависит от е, и, таким образом, получаем (4.28). Теперь определим функции г,у для 1 ь у, у' < я: «! Агб уу,'(и, — а,)г, =1у),'(и, — зг,)!!, „,„,— в 1(У, (и, — !е,)(и, — Ч!,)„у(и, — р,)х.
в ьг(2г, 25), гу =0 на В(2г)Х(0), если 1<1, у<и — 1 или 1=у'=л, д — г,.' = 0 на В(2г) Х(0), если 1= и или у'= л ах„*' 1(у,у) Ф(л, л)), г, = 0 на д'ь«(2г, 25). Заметим, что и = и, удовлетворяет условиям и, „.,„. =у„ух. на В(2г) Х (0) для 1 <!', у'<л — 1, х и, „„„= — у — 21 а!ух .„. на В(2г)Х(0) с!= ! (4.31) д Э и !у= ! на В(2г) Х(0) для 1 <1~и — 1. Если теперь применим Э~/дх! дх к Аи, + б,(и, — ч!) = у', то получим уравнение, аналогичное таковому для г...
Тогда можно оценить !и, . — г( таким же путем, ч" хуху уу как выше оценивалась ('г — г'. Таким образом, получим аналогично (4.30) ( ! и! «! . — гч' !ь (п(2 26)) ~С, (4.32) где С не зависит от е. Следовательно, если покажем, что 1 О,)<С, (4.33) то получим утверждение леммы.
Рассмотрим г,'„. Выберем С, > 0 так, что < 1/ С, а,,(х)+ -~ьу)бу„+~у)бы ~2 (4.34) — равномерно положительно определенная форма. Функция С, г' + г,'„удовлетворяет условию А (С, г' + г! „) + б' (и — р,)(С! г~ + г)„) = =У'(~ — ье )( — С А!е~ Я9!~ х )— — Иб,(и, — а,) [ С, 2' аб(и, — !ае)„у(и, — Ч)«)«. -+ ,у=!" + -(иг '«е)х, (и! Ф!)хл ) (4. 35) 39 Так как а, И>0 для любого направления $, то ~, выпукла и, таким образом, (!а, „,х.) положительно полуопределенная. Вспоминая (4.34), выводим, что первый 6, «ух! член в правой части (4,35) неотрицательный. Второй член в правой части также неотрицательный в силу (4.34) .
Так что А (С, г' + г ' ) + б,' (и, — а,)(С, г ' + г' ) в О. Положим Ь'= С, г' + г,'„. Тогда д — 'л! = 0 на В(2г) Х (0), дх„ И!= О на д'й(2г;28). Применяя принцип максимума к Ь', получаем С,т'+г,'„ЭО в й(2г,28) и, следовательно, )т,'„1<С,г' <С (4.36) (здесь использовано (4.28)). Аналоги шо можно установить (4.33) для всех г,"а и Окончательно, так как г' > 0 (например, в силу (4.36) ), имеем С,ае+т!! ЭО на В(2г) Х(0), если 1 < /, / < л или если / = !' = л.
Поэтому действуя, как н раньше, можем устано- вить, что ! т,~. ! < С, т '. Это завершает доказательство леммы 4.5. Теперь можно легко закончить доказательство теоремы 4.3. Возьмем для прос- тоты х = О, бй ауге = (х„=О)лйге, йаЖе с(х„)0),локю!ьныйдиффеомор. физм х„' =ха/ч/я„„, (4 37) хха ая!ц х =х! — —, если 1 </<л — 1. ! а„„ Тогда Аи преобразуется в Ари + А, и, где Ае такой же, как в (4.16), а А, и включает в себя производные младших порядков и. Уравнение со штрафом можно переписать в /Уа Г1 Й так: 4еич +бе(пе агг) Л (пе(х ) па(х)) где/; =/- А,и,. Можно преобразовать это уравнение в другое с/, ЕСт'" (равномерно по е) и другой о, как лепный шаг доказательства теоремы 4.3.
Теперь применим лемму 4.5, перепишем оценку и,(х ) в терминах и,(х) н устремим к нулю. Задачи 1. Обобщить результат из задачи 5, з 3 о Ь'~„', -регулярности на случай Ь',"„'а- регулярности, 2. Пусть у„..., е„, принадлежат Сз(й), й — ограниченная область. Доказать, что р = шах(~р,,..., чг ) удовлетворяет условиям р ~ Со' ( й ) и рИ > — С в 3 '(й) для любого направления б (С вЂ” константа) .
3. Положим Вл (хе) = ( 1 х — хе ! < Я ), Вл = Вя (0) . Пусть о Е С(В и), — /1 о > О в '/!'(Вл) (т.е. о супергармоническая) и тпрр( — сто) = К; таким образом, и гармоническая вне К. Предположим, что и > 0 в Вл, и(0) < Л, анри < Л. Показать, что дчя любого б, 0 < В < 1, справедливо неравенство и(х) <СеЛ вВел (Се — константа, не зависящая от п) [У к а з а н н е. Пусть Ьи = 0 в Вв, ю = и на дВВ, Тогда и — ьо > О, в > О. По неравенству Харнака ю(х)<Соьо(0)<СоЛ в Вев.
Нов — и <и<Л в К н тогда также в Вв.[ 4. Пусть и — решение вариационного неравенства иЕК: ) 'о'и '(2(с — и)>0 )т'сЕК, й где К=(иЕНо(й),'и>ч) в й1, р ~ С( й), чг < 0 на дй, й — ограниченная область в Во. Предположим, что и(хо) = = Р(хо) и сушествует гармоническая функция л в В,(хо) С й такая, что зир [Ь вЂ” р[<Л. в»(» ) Показать, что аор [и — )о[< СЛ, С вЂ” константа, ВН2 (» ) [Указание. Функция с = и — л + Л супергармоническая в В,(хо) и и>0, и(хо) < 2Л, и(х)<2Л на аирр( — 2Ли).! 5. Если в задаче 4 7(г) — модуль непрерывности )о и 7, (г) — модуль непрерыв- ности о" р (оба убывающие), то тпр (и — Р) < С у(г), выг(»" ) зор (и — р) < С»7~ (г).
Выг(» ) [Указание. Возьмите й(х) = у(хо) нлн й(х) = Р(хо) + чр(хо) (х — хо).[ б. Пусть (( — открытое ограниченное множество в )(", й Е С(~7), л — гармоническая в Н. Предположим, что для любой точки хо Е д(( апр 1Й(х) — в(х )1<7(Р) яр<ро.
вр(»") и (г Тогда для любых х, х'й У [л(х) — Ь(х )1< 7([х — х 1), если [х — х'1<Ро. [У к а з а н н е. Применить принцип максимума к функции о(у) = Ь(у + х — х') — л(у), где у изменяется в области ((' =(» Е ((, у + х — х'~ Щ. [ 7. Пусть К Ь вЂ” такие же, как в задаче 6, КЕ С'(()), и пусть у,(р) — модуль непрерывности чК, 7,(р) убывает, если убывает р. Показать, что если для любых хо |=дП Р <Ро(Ро >0) аор [й(х) — я(х)1<Сор7,(р), вр(»') и и то й Е С'(У ) н для любых х, х Е П [т»Ь(х) — (гйх')1<С7,(21х - х'1) (С вЂ” константа).
[У к а з а н н е. Пусть х Е (7, хо — ближайшая точка д(7 к х, р = [хо — х] < <ро/2, уЕВзр(х )Г) ().Тогда [Ь(у) — 8(х ) — 78(х ) (у — хо) [<2(Со + 1)Р74(2Р). посколькУ фУнкцнЯ т(У) = ь(У) — Я(х )+~8(х ) (У вЂ” х ) гаРмоннческаа в Вр(х) с С Взр(хо)1) (7, имеем ]Ра(х)1<(С/р) апр ]т]<С71(2]х — х 1). дВр(х) Таким образом, ч"Ь непрерывно продолжается в (7, и можно применить задачу 6.] 8.
Пусть и — решение задачи 4. Тогда: (а) если Р(х) имеет модуль непрерывности 7(р), то и имеет модуль непрерывности Со 7(Р)' (б) если (г ч~ имеет модуль непрерывности 7,(р) (7,(р)1 при Р1) то ту и имеет модуль непрерывности Сг;(2р). Константы Со, С могут зависеть от расстояния 8 от ( р > 0 ) до д й. [Ук аз ание. Показать, что в малой йокрестности дй почти всюду и > >(р+ ео (ео > 0). Пусть 1 и(х) = Йп иИЯ, о ]дВ,] ав„(х) где [ дВ„! — площадь поверхности дВ„. Тогда и полунепрерывна снизу, множество (7 = (и > (о) открыто и содержится в й-окрестности дй. Применить задачи 6 и 7 с и =Ь.] 9. Пусть й — ограниченная область с границей класса С +о, и пусть хо Е й.
Предположим, что Ь гармоническая в Вя (х') г) й и Ь > 0 в Вя (хо) г) й, Ь = 0 на В, (х') г д й. 'Т .д д- люб ° В, О < В <1, апр Ь < СеЬ(х ) (неравенство Харнака). Вея(хо) й й [Указание. Выразить Ь через функцию Грина в области й' с границей класса С', где Ве В (хо) () й с й' с Вл (хо) г) й (В < В, < 1).] 1О. (а) Показать, что если дй Е Се+о, то константы С, Со в задаче 8 можно взять не зависимьпчи от д. (б) Распространить результат задачи 8 на случай,р < 0 на дй. [У к а з а н и е. Обобщить задачу 4, используя задачу 9.
] 11. Обобщить результаты задачи 10 на случай вариацнонных неравенств дпя общего эллиптического оператора А с аьп Ь;, с, 7' из Со(й) . [У к а з а н н е. Сначала аппроксимируйте (о усредненными функциями. Соответствующее неравенств9 Харнака см, в [161 е].] д 5. Задача фильтрации Перегородка из пористой среды (скажем, земли) с параллельными вертнкальнл4ми стенками имеет ширину а в разрезе и разделяет два резервуара жидкости (скажем, воды) с уровнями у = Н и у = Ь. Переменная у — высота, х — расстояние от стены резервуара с более высоким уровнем жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
