Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 3
Текст из файла (страница 3)
в й, (Ьи +»)(и — Н» = 0 и- К Е Но(Й<. Ьи+»=0 в й. (1.4) Это уравнение понимается, конечно, в смысле "почти всюду"; условие и — К Е Е Н' (Й) есть обобщение граничного условия Дирнхле (см. !94с, 109! ) и =К на дй. (1.5) Таким образом, решение задачи на минимум (1,3) являетсн также решением за- дачи Дирихле (1.4), (1.5). Рассмотрим следующую вариационную задачу: найти функпию и такую, что и Е К, С(и) = ппл С(о». ! 1.6) н К Если и — решение этой задачи, то для произвольных н Е К и 0 < е < 1 функция и + с(н — и) = (1 — с) и + ен принадлежит К, и, следовательно, С(и + е(о- и)»>С(и), Задача (!.6) представляет собой пример вариациоллого неравенства. Любой из вариантов (1.7), (1.8), (!.10) также будем называть вариационным неравенством*).
Более общую формулировку иариационных неравенств мы дадим в 8 2. Множество К называется множеством ограничений. В случае К вида (1.2) р называется прелягсгнием, (1.6) — задачей с лрелятстнием, (1.9) — лекоиициденгным множеством, а Л =- [х Е Й; и(х) = (с(х)) (!Л !) — коияциделглым множссгвомве); граница Г = дгЧ (Т ьс некоинцидентиого множества в ьс называетсн свободной границей. Ниже будет доказано, что (при достаточно гладких (, х, (е) решение и задачи с препятствием принадлежит С' (Й) (фактически даже )У~„" (зз)). Так как и — (с достигает своего минимума в Гз на коинцидентнорз множестве, то и — (с = О, (7(и — р) = 0 на Г.
(1.12) Мы можем рассматривать и как решение задачи Дирихле тзи т (" = 0 и )Ч, и=я на д)Ч Гэ дГс, (1. ! 3) на дФгзГ с дополнительным условием хи=Тгр на ддрС Г, (1.14) компенсирующим то обстоятельство, что Г априори неизвестна. Такая точка зрения полезна при решении вариационных неравенств в одномерном случае. Однако если и > 1, то Г может оказаться сильно нерегулярной, и позтому мы не будем пытаться решать задачу с препятствием посредством (1.13), (1.! 4). Рассьютрнм частный случай и = 1, г = О.
Тогда вариациоииое неравенство (!.6), (1,2) закяючается в минимизации интеграла е Х [и'(х)[ 'йх с прн условиях и(а) = и,, и(Ь) = из и и(х) > (е(х); положим и~ > р(а), из ) р(Ь). Предположим, что р(х) строго вогнута. Из (1.!3), (1.14) выводим, что кривая у = и (х) (и (х) — решение) состоит нз трех частей; (!) отрезок прямой 1,, соедння1ощий точки (а, и,), (а, р(а )) и касательный к у = р(х) в х = а'; (П) ДУга 71 'У = чэ(х), а' < х < Ь' (ВП) отрезок прямой 1з,соединяющий (Ь,(с(Ь)), (Ь,и ) и касательный к у = че(х) в х = Ь. Свободная граница состоит из двух точек: а' и Ь'.
Если чэл(а') < О, то ил(а' — 0) = 0 Ф р"(а') .= и"(а'+ О). ") Такие залечи называют таино односторонними (опйа1ега! ргоыетз). Прн К определенного випв (1.7) не имеет зквивелеитнсгэ аналога (1.1О) (см., например, [85Ь[), в связи с чем некоторые авторы относят термин "ввркзпиоиное неравенство" лишь к посэвиовкам (1.7), а "односторонние залечи" — к (!.10). В рамкзх ленной книги рассматриваются задачи, лля которых названные постановки формально эквивалентны, так что имеющийся в литературе разнобой в употреблении терминологии не ло:окон вызвать у читателей недоразумений. — Примеч.
пер. ) В оригинале: союсмепсе м1. Для единообразия ~срмннологии мы переводим ленный термин, как принято в русском издании книги [12681. — Примеч лер. Таким образом, и" (х) имеет скачок в точке х = а . Пример показывает, что, вообще говоря, и ~ С . Действительно, разрывы производных второго порядка решений задачи с препятствием обычно имеют место при переходе через свободную границу. Задачи 1. Решить задачу с препятствием и < 1 — ах (а — сонат), и > 0„(и — 1+ох)и = 0 в 0 ( х ч. 1 при граничных условиях: а) и(0) = О, и(1) = 1; б) и(0) = О, и'(1) = О. 2.решить вариацнонноенеравенство в шаре Вл = ( ~х! < Я) из Я": -би> — д, и>0, ( — Ьи+д)и=О; л ~ Н'(Вл), где и — вещественное число.
(Отметим, что при и ( 0 коинцндентное множество пусто.) 3. Предположим, что п.в. в Вя С А" — т1и > Л и > О, (Ьи + !) и = 0 — и <М, где т, М вЂ” положительные константы. Показать„что если Вз > 2лМ/т, то и(0) = О. 1У к а з а н н е. Пусть о = и — у! х !а/2л, тогда — Ьи ( О в 6 = Вл Г1 ( и > 0); если и(0) > О, то максимум и положителен и достигается на ОВл.] 4. Рассмотреть задачу о минимуме длины ь Х 1! + (и'(»))') ' 1т /х а на множестве кривых и = и(х), соединяющих точки (а, и,), (Ь, из) н подчиненных ограничению и(х) - .р (х), где р строго вогнута.
Описать минимизирующую функцию. а 2. Общая теория существования и единственности Пусть К вЂ” замкнутое выпуклое множество в вещественном гильбертовом пространстве Н и уе — элемент нз Н. Тогда существует единственный элемент хе ~= Е К (называемый проекцией у, ла К), ближайший к ую т.е. ахо Уса < !!» — Уо!! или, эквивалентно, (хе — уо.
х — хо) > 0 1тх Е К. Взяв в качестве Н подходящее пространство со скалярным произведением (и, о) = / ~7и ° ро, й легко видеть. что задача (ь) для хе включает (прн соответствующем К) варнационные неравенства из а1. В этом параграфе мы обобгднм далее постановку задачи (*) и докажем существование н единственность для вариационных неравенств в весьма обшей форме, вполне достаточной длн всех последующих приложений.
Пусть Х вЂ” вещественное рефлексивное банахово пространство с двойственнмм (сопряженным) Х . Обозначим (, > отношение двонствеиности между Х и Х~. Оператор А: Р(А) — Х (с областью определения Р(А) С Х) называется монотонным, если (Аи — АЦ и — и> Э О ч'и, и Е Р(А). Когда область,0(А) выпукла, оператор А называется полуненрерывньгм, если при любых и, о Е Р(А) отображение (О, 1) Э г -ь (А(ти + (! — г)и), и — в> непрерывно.
Для произвольного конечномерного подлространства М С Х будем обозначать у инъективное отображение тх = х из М и Х, а!' — двойственное отображение иэ Х в М', те. если э" Е Х, то( у есть сужениетнаМ. Евину А> непрерывно на МОР<А> при любом конечномерном М, то будем говорить, что оператор А непрерывен на конечномерных подпространствах.0(А) . Т е о р е м а 2.1. Пусть операторА: Х - Х монотонный и полуненрерывный (Р(А) = Х). Тогда для любого ограниченного замкнутого выпуклого множества К С Х существует элемент ио Е К такой, что (Аио и — ио> > О 1ти Е К.
(2.1) Т е о р е м а 2.2. Пусть К вЂ” ограниченное замкнутое выпуклое подмножество Х, оператор А: Р(А) -+Х монотонный, Р(А) = К и А непрерывеннаконечномерныхлодпространствах Р(А). Тогда существует элемент ио Е К, удовлетворяющий неравенству (2.1). Отметим, что в теореме 2.1 мы налагали требования более слабые на непрерывность А и более сильные на размеры области определения А. Неравенство (2.1) называется вариаиионным неравенством.
Доказательство обеих теорем основано на лемме Мията. Л е м м а 2.3. Пусть оператор А: К -ьХ монотонный и лолунепрерывный. Тогда ио удовлетворяет (2.1), если и только если (Аи, и — ио > Рь О ЪГи Е К. (2.2) Здесь К вЂ” произвольное замкнутое выпуклое множество.
Дик аз а тельство. ВсилумонотонностиА О ( (Аи — Аио и — ио > = <Ащ и — ио > — (Аио и — ио» так что (2.1) влечет (2.2). Длн доказательства обратного отметим, что при произвольном ю Е К элемент и = ею+ (1 — Г)ио = ио + г(ю — ио) пРинадлежит К, если О < г < 1. Используя (2.2) получаем (А(ио + Г(ю — ио)), н — и, » О, отсюда при < - О имеем (2.1) для произвольного и = ю Е К.
Д о к а з а т ел ь с т в о т е о р е м ы 2.2.Шаг!. Рассмотрим сначала случай, когда К С А,А: К -ьК и <Аи, и> заменено на (Аи, и), где (., ) обозначает скалярное произведение в Я . Мы предположим непрерывность А, но не будем требовать монотонности. Вариащюнное неравенство (Аио, и — ио) > О ч'ч Е К (2.3) момсно переписать в виде (ио. и — ио) > (ио — Аио ч — ио) Чи Е К. Для любого ю т= К существует единственный элемент ие Е К такой, что (ие, о — ие) > (ю — Ан, о — ио) Чо Е К а именно ие = Рг» (ю — Аю) (щ 71а), т.е. ие — ближайший к ю — Атт элементизК.
Операторы 1 — А: К - к"' и Рг». .)т -+ К непрерывны, поэтому непрерывен н оператор Т: К ~ К. Так как К вЂ” ограниченное замкнутое выпуклое множество в )тм, па теореме Браузра а неподвижной точке заключаем, что Т имеет неподвиж- ную точку ие Е К, т.е. Тис = ие, откуда непосредственно следует (2З). Шаг 2.
Пусть теперь К С М, М вЂ” конечномерное банахово пространство, опе- ратор А: К - М непрерывный, но не обязательно монотонный. Тогда утверждение теоремы с небольшими изменениями в обозначениях следует иэ шага 1. Действи- тельно, введем базис е',,..., ею в М, и пусть МЭи= Хиэе;~ — +йг )тм, где й = (и,,..., им). Можно однозначно определить по формуле (А й, й) = < Аи, а > оператор А, который будет непрерывным. Применяя шаг ! для А, получим требуе- мое утверхсление для А. Шаг 3. Для произвольного конечнамерного надпространства М С Х определим 1', 1* так же, как и выше. По предположению отображение 1'А1': К г) М вЂ” М' непре- рывно.
Согласно шагу 2 существует элемент ум Е К Г) М. удовлетворяющий нера- венству <1'А)ум, г — уи)>0 ч'г ЕК ОИ Поскольку <у'А)у т, () = <Аум, ь') 'Ф т Е К Гт М, то <Аум, г — ум) > 0 ЧггЕКГ)М или, ввиду леммы 2.3, (Аг, г — у ~»О тггеК г)М (2.4) Дляпроиэвольного о ЕК положим Я(п)= (и ~К: <Ащ п — и) >0). Очевидно, Я является слабо замкнутым подмножеством в К, а так как К ограничено н Х рефлексивно, то 5 слабо компактно. В силу (2.4) 5 (п) Ф ф. Если мы пока. жем, что Я(о,)О, Г)5(ам)Фф ~го,,...,о„„1~ т~ ~~, то получим, что гт 5(а) Ф ф. Но точка ие С О 5(п) удовлетворяет (2.2) еп» еп» и, следовательно, также (2.1) . Таким образом, остается установить (2.5) .
Обозначим М линейное пространство, порожденное оы..., о„,. Согласно шагу 2 существует элемент ум ЕК ЙМ такой, что <Аум г ум) >О ч'гЕКОМ. ! Поэтому <Аг, г — у г) >О тггЕК Г)Ми,в частности, <Аоп о~ — у ~> >О, 1( 1~ а Это означает, что у Е Я (о;), и, таким образом, (2,5) вьпюлнено. До к а з а т е л ь с т в о т е о ре м ы 25 . Шаг 1. Пусть М вЂ” произвольное конечномерное надпространство Х; определим 1',у*, как и выше. Тогда у'Ау отображает ограниченные подмножества М в ограниченные подмножества М . (2.6) Действительно, в противном случае существует последовательность и„Е М, О( Ии„И< Стакая,что Иу'Аон И-а..МонотонностьА означает,что (у'Аи„— у'Аи, и„— и) > 0 тги к=М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
