Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 2
Текст из файла (страница 2)
И здесь весьма перспективными представляются результаты и методы, изложенные в данной книге. В тех случаях, когда задача допускает постановку в виде вариационного неравенства, при исследовании свободной границы предполагается, что решение обладает предельной гладкостью. Вопросы регулярности решения для некоторых вариационных неравенств обсуждаются в гл.
1. Учитывая важность результатов по регулярности решений как предварительного этапа при исследовании свободных границ, я совместно с переводчиком подготовила библиографические замечания, дополняющие в основном материал гл. 1. Н.Н. Уральцева ПРЕДИСЛОВИЕ В связи с применением (где зто возможно) вариационного подхода в исследовании задач со свободными границами за последнее время достигнуты важные успехи. Для задач, допускающих вариационный подход, без труца устанавливается, что решение существует в *'слабом" смысле. Далее можно исследовать регулярность решения, а затем попьпаться изучить гладкость свободной границы. Фактически за последние пять лет выявлены новые методы исследования свободных границ и создана теория, достигшая на данном этапе определенной ступени зрелости; будущее этой теории выглядит еше более обещающим.
Все больше физических и инженерных задач начинают поддаваться этим методам. В связи с этим настало время обсудить основные достижения в данной области и систематизировать их. Поскольку многие основные результаты были мотивированы физическими моделями, мы сохранили при изложении тесную связь между обшей теорией и приложениями к физическим примерам. Чтобы сдедать книгу более доступной для неспециалистов в данной обпасти, мы приводим необходимые сведения из теории эллиптических и параболических операторов (наиболее полно зто проделано в первых двух главах) . В конце каждого параграфа приведены задачи, а в конце каждой главы— библиографические замечания. Мне хотелось бы поблагодарить Льюиса А. Каффарелли, Ганса Вильгельма Альта и Джуэла Спрука за неоднократные полезные обсуждения, а также мисс Лесли Хабл за отличную работу по перепечатке рукописи.
А внер Фридман Эванстон, Иллинойс Июнь 1982 введкник Задача Дирихле лла оператора Лапласа Ь состоит в нахождении в заданной области Гз решения и уравнения Ьи =,г', удовлетворяющего условию и = у на границе Ъй области й. Предположим, что только часть Я границы дй задана„тогда как остальная часть Г априори неизвестна, и на неизвестной части границы поставлено дополнительное условие, например т (и — у) = 0 на Г (здесь д — функция, заданная во всем пространстве) .
Требуется определить и и Г такие, что Ьл=т" в Р, и=аз' на ЪР, 7(и — ч0=0 на Г, где Р ограничена заданной поверхностью 5 н неизвестной поверхностью Г. Эта задача является задачей со свободной границей. Для двумерной идеальной жидкости плотность и на поверхности Г, разделяющей жидкость и воздух, удовлетворяет условиям и = Сю ! ~7и ~ = Сз (Сы Сз — константы), где либо Сю либо Сз часто бывают неизвестны; Г также неизвестна. Другой пример задачи со свободной границей дает задача о таянии льда. Здесь условия на свободной границе следующие: д; = О, /с1 ~7„д, . 7„Ф вЂ” /гт 7„0з %'„Ф = афо где О, — температура воды, Оз — температура льда, а и М вЂ” положительные константы, Ф(х, г) = 0 — уравнение свободной границы и О, удовлетворяет параболическому уравнению ддг — = йьтд, Ъг Бывают задачи со сноб(здными границами, в которых свободная граница явно не участвует в постановке.
Например, в случае осеснмметричного вращения тяжелой жидкости свободная граница, отделяющая жидкость от вакуума, появляется косвенно, как множество нулей, (и = О), решения нелинейного уравнения Ьи + с(и )й = У' (с > О, () > 0) (и — "потенциальная" функция, зависящая от плотности жидкости р и ( и = 0) = = д ( р > 0) ).
Для задачи о газе в пористой среде свободная граница есть Ъ ( и > О ), где и — плотность, удовлетворяющая параболическому уравнению и, = Ьи (и > 1). В общей ситуации начальный шаг в изучении задачи со свободной границей состоит в ее переформулировке таким образом, чтобы свободная граница в поста. новке не участвовала (имеются, однако, многочисленные исключения, особенно в случае одной пространственной переменной).
Такие переформулировки часто можно получить, обращаясь к вариационным принципам. Один нз наиболее изве. стнь|х примеров следующий: если и минимизирует функционал У( ) = ) (~7Ъ1' + 2Уо) й на функциях, подчиненных условиям и = О на дД и о > р в й, то и удовлетворяет (по крайней мере формально) условиям Ьи=т в В— = (и) р), и = О на Ю ю — дВ Г1 дй, и =~о на Гг— е дВг1 й, ~7(и — р) = О на Г.
Таким образом, и есть решение задачи со свободной границей указанного выше вида. Поскольку решение задачи минимизации з(о) существует (оно получается как предел минимизирующей последовательности), то существует решение и задачи со свободной границей в вариационной постановке. Следующие два шага (после установления существования решении переформулированной задачи со свободной границей) состоят в получении наиболее высокой регулярности н в исследовании свободной границы соответственно. Последний шаг зачастую требует очень тонких методов.
Так, в задаче (*) оптимальная регулярность — непрерывность по Липшицу первых производных. Известны достаточные условия, при которых свободная граница будет гладкой, но, вообще говори (без соответствующих предположений), свободная граница может иметь особые точки. В гл. 1 — 2 мы развиваем общую теорию для большого класса задач со свобод. ными границами, называемых вариационнымн неравенствами. В гл. 1 излагается вариационный подход: существование, единственность и регулярность минимизи. рующей функции; гл.
2 связана непосредственно с изучением свободных границ. В гл. 3 мы исследуем класс вариационных задач, предназначенных для решения задач о струях и полостях в идеальной жидкости. Тогда как в гл. 1 рассматривается функционал вида ) (~Ро~ + 2то1 ( > О), а гл.
3 изучаемый функционал таков: Х(!1то~т + г)Т(„>о)1 (о > О), где 1„— характеристическая функция множества А. В гл. 4 мы рассматриваем вариационный функционал 1х — У 1 где р — функция плотности, подчиненная некоторым ограничениям. Здесь свобод- ная граница есть д(р > О) . В гл. 5 изучим некоторые задачи со свободными границами, не формулируемые в виде вариационных неравенств; мы имеем дело, в основном, с газом в пористой среде и фильтрацией жидкости через пористую перегородку, Главы 3, 4, 5 не зависят друг от друга (в смысле перекрестных ссылок), однако в них используются общие методы, техника и инеи.
Материал гл. 1, 2 появляется в последних главах непосредственно или косвенно. Имеется много работ, посвященных задачам со свободными границами, зависящими от времени, в случае одной пространственной переменной. Для них методы часто весьма специфичны. За некоторым исключением мы нс будем касаться таких задач в настоящей книге.
ГЛАВА 1 ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА; СУЩЕСТВОВАНИЕ И РЕГУЛЯРНОСТЬ В атой главе мы вводим понятие вариационного неравенства и устанавлива. ем общие теоремы существования и единственности. Результаты по регулярности доказываются для некоторых классов вариационных неравенств, именно: задача с препятствием, случай ограничений на градиент, задача с препятствием для бигармонического оператора и случай тонких препятствий.
Мы описываем некоторые физические задачи, для которых применимы установленные теоремы существования и регулярности такие, как (1) фильтрация воды через пористую перегородку (П) упругопластнческое кручение, (1П) задача Стефана о плавлении твердого вещества.
й 1. Пример Пусть й — ограниченная область в 11". Обозначим (У *Я(й) класс функций и(х) Е т,л(й) таких, что их обобщенные производные В и = Р~ Ря и порядков 1 а! < и принадлежат тя(й); здесь а = (а„..., а„), !а ! = а, +... + а„, Ве = д/дх~ и обобщенная производная Вйи определяется по формуле ) Р" и - о(х) дх = ( — 1) '" )." и(х) В" р(х) с(х ч" р Е Са (й) (Се (й) — класс функций из С с компактными носителями в й).
Пространство И'~'~(й) является банаховым с нормой 1и1 „= ( Х Х1В"и !ЯИх)'1", 1и1„= 1и!о,„, !а1кт л где 1 < р ( мт для р = определим 1 1 = Х 11 Р"и !1 ( - =Х емзнр[Р~и1, 1о1<м 1е1Кт л где В" и понимаются в обобщенном смысле. Известно (см. [94с, 109]), что С (й) й (т' л(й) плотно в (г' л(й). Замыкание С„(й) в 1а л(й) обозначается )уме "(й). Применяются также обозначения Нт Р(й) = Вне.р(й) Нт(й) = 1иФи 2(й) От(й) = И/т 2(й) Рассмотрим функционал С(и) = — ) 1Чи !'йх — 2 )1иг(х (1.1) й гз и замкнутое выпуклое множество в Н'(Й) К = (и: и — КЕНо<(й), и > <о п.в.), (1.2) где у — заданная функция из <.~(й), <о(х) — непрерывная в Й функция и к е Е Н' (й).
Предположим, что е > <о; тогда К непусто. Рассмотрим задачу: найти функцию и такую, что и — К Я Но(й), С(и) = ппп С(п). н — хин,'(а! (!.3) Предположим, что и — решение этой задачи. Т<>гда С(и + е() ~ С(и) 'тр Е Со (Й), е <= Н, откуда легко выводим, что Хри ~7~ — УуТ = о. а й Следовательно, если и ~ Н (Й), то»(Ьи +»")! = О, так что г< что приводит к неравенству 3 ни <!<(о — и) > Гт'(н — и) <т'с Е К; и Е К.
Если, кроме того, и Е И (Й», то » (Ьи + т)(о — и) < 0 й'и Е К; и Е К, (1.7) (1.8) и, п<и<агая и = и + Т, Т Э О, Т Е Со (й), получаем Ьи+ у<О. Если функция и непрерывна, то множество Л< = ( х 6 Й: и(х) > а(х)» (1 о) открыто. Для любой Т ~ Со (Ф) функция н = и х еТ принадлежг<т К при условии, что е> 0 достаточно мало. Тогда нз (!.8) имеем <<и + У = 0 в Л<. Таким образом, мы показали, что если и — решение задачи (1.6), принадлежащее Н (й) <Ч С(й), то <ьи + у <! О, и > ч<, (1.10) п.ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
