Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 7
Текст из файла (страница 7)
пер. и положите )т = т', Фт в й, (е 0), о„„(х', х„) ~ю ое,„(х, — х„) — )т„,(х', — х„) в й,, где о, Е С' (й,), о„„-+и, в Н'(й,). Показать, чтоЯ.,„Е Н'(Вл),с„, -+и в Х (Вл) и (для подходшлнх е ) (Я„,) — последовательность Коши в Н' (Вл).1 1 4. Ет' ~' -регулярность для задачи с прелат»тли»м Будем считать, что ает~ С""(й)- (4,1) Мы уж» знаем, что решение и = и,,е уловлетворнет условию ~и!з,р:~С длялюбого 1<р<-, (4.3) где С вЂ” константа, не зависящая от е, 6. Зля дальнейшего удобно выбрать функции Р,(г) так,чтобы Ре(~) 0 Ре(т) <О для всех т, (4.4) Предположим сначала, что 1' = О. Заметим, что, согласно теории регулярности решений зллиптических уравнений, и б С~+" (й).
Продифференцируем уравнение в (4.2) пважды ло направлению $ и получим АиЕЕ + В~(и .Фе) (иЕЕ Ф6, ЕЕ) + Ое(и Фе) (иЕ Ф6,Е) те где дае д и и аз а" да и '1» = 2Х— т др ахе ах, дд др' ах, ах, Так как В'е <О, АиЕЕ + В,'(и — Ие) (иЕŠ— рь ЕЕ) > Те. (4.5) Пусть й, — произвольная компактная подобласть в й и Е' б Се (й), !' = 1 на й „ Е > О. Тогда .4 ниЕЕ) ьАиЕЕ = дг дзи ат~ = — 22'ае — — Хаб иЕЕ— = 1,. П дхе ахтар 0 дне дх; 31 Т е о р е м а 4.1. Пусть предположения (330), (3.11), (3.19) и (4.1) имеют место. Тогда решение и вариационного неравенства (3.18) удовлетворяет условию и Е Ю,'„,"(й).
До к а з а те л ь с т в о. Без потери общности можно предположить,что Ье = = с = О„иначе можно замеешть т" на à — ХЬ,(ди/дх,) — си (напомиим, что и е Е Етыз а(й)). Введем ~ее, как в (320), и рассмотрим задачу со штрафом Аи+Р,(и — Ие)=У в и=я на ай. (4.2) ВычнтаяАиг! из (4.5), получаем А(Г™1!)+ Гпе(и — ч!ь) (итг — !Рь,а!) > 1! + Г1о.
(4.6) Каждый член в 1, + Г1ь вида аРэи может быть записан в виде Р(аР'и) — Ра Р'и. Ввиду (4.3) и предположения, что коэффициенты а,т принадлежат Сэ'", мы видим, что » 1 + Г1в = 8о + ~ ~Ы!, ! (4.7) где Х 18! !р < С, С не зависит от е, Б о (4.8) =ф ай. Кроме того, » 1!с 1о <С( ч !я! !р ь !яо!и!э+ гоах! !Г! !), ! =! ьп где С вЂ” константа, зависящая только от Х, К, й. Не ограничивая общности, можно предположить, что оператор А коэрцитивньв (т.е. а (и, о) коэрцитивна ) .
Действительно, в противном случае заменим А на козрцитивный оператор А + 1с (к > О) и добавим lт(ит! к правой части (4.6) . Таким об. разом, соп!асио лемме существует решение и Е С(й) г! Нь (й) уравнения А!е = 1! +Г1о, тт ~Но(й) такое, что !!щ!!о<С, С независитот е,б. Так как 1, + Г1ь Е С», в действительности !е Е С + ~ (й ) .
Функция К= Готт — ж удовлетворяет неравенству А%'+Г!5,'(и — рь)(и!! — рь )>О в й. '!1 (4.9) (4.10) Теперь нам потребуется лемма Стампаккьи (см. 1109, теоремы 8.25,8.27 и 8.30, а также формулу (8.15)) ). Л е м м а 42. Предполоэким, что (32), (3.3) и оценка 1Рат!! <К выполнена в ограниченной области й и а(и, о), определенная в (3.24), коэрцитивна в Н (й),т.е.
а(и, и) > сь(! и 1,, )' Чи Е Н'(й) (се > О) Предположим также, что для любой точки хь Е Эй 1нп 1пГН "!пеа(Вл(х')!й) >О, и о Вн (хь ) = ( ! х — хе ! < Я ) . Пусть 8 !,..., 8» — функции из Га (й) и ее — функция из Е »1т (й) для некоторого р > и Пусть !Г! — непрерывная функция на дй. Тогда существует единственная функция вЕС(й) С!Н'(й) такая, что » Ач'=8о+ 2! Р!8! в й, Г= ! Теперь оценим У снизу, Предположим, что 1' достигает отрицательного минимума в некоторой точке хо е й. поскольку у = 0 на а»», х должна принадлежать»1.
но тогда АУ(хо)<О гак что в силу (4.10) и того факта, что бе(г ) >О, ('(хо) (и»»(хо) — »оа»»(хо)) > О ВИН,6ИОп1пй»й» 4 Следовательно, У(хо) ы Т(хо ) и»»(хо) ж(то) ~ ОС~(О~в(А > ((х') ра,»»(хо) — ю(хо) > — С, Мы цоказшш, таким образом, что У > — С н поэтому в силу (4.9)» и»» > — С, т.е. и»» > — С в каждой компактной подобласти й. (4,1 1) Для произвольной точки у Е й можно взять ортогональное преобразование переменной х так, что и новых переменных Аи = — гэи + 2Б;1)»и в у.
(4.12) Так как 1б,! < С, из (4.2) вьаодим, что ! Аи ~ <С, и ввиду (4.3), (4.12) находим ! Ьи1<Со, Со не зависитот е,д, Иэ этого соотношения и (4.1 1) очевидно, что О<и»»+ С<Со+лС, Таким образомА и»» ~ -С, С не зависит от е, д. Поскольку д — произвольное направление, можно выразить смешанные производные и ле через линейныс комбинации х»хт и»» + и„„при подходящих направлениях $, и и тогда получим 1и„,„.
~ ~ С в у. Окон- х1х~ чательно, оценки! 1)~и ! < С в у можно принять независимыми от у, если у меняется в компактной подобласти й. Для завершения доказательства теоремы напомним, что и = ие а, н пОлОжим д = е +О. Выше мы предположим, что Т:=- О. Если Т ф О, то определим ио из задачи Аио =Т в й, ио =а на дй и проведем рассуждения с й= и — ио и препятствием р — ио. Теперь докажем (уз -регулярность в окрестности граничной точки хо Е дй.
Доказательство носит локальный характер и применимо также а случае хо Е й (это доказательство отличается от данного в теореме 4.1, но более сложное) . Предполагаем: существует окрестность 1то точки х' Е д й такая, что а„.ЕС ~~(Аго Г~й). (4.13) Т е о р е м а 4.3. Пусть выполнены предположения (3.10). (3.11), (3.19) и 14.13) . Тогда су»цествует окрестность Хточки хо такая, что и Е И'з' (Фгэ 11).
Дока з а тел ь от в о. Положим аи 7=Т- Х໠— — си, дх; д и А он ив з 2' агт 'ах,ах, ' Тогда варнацнонное неравенство дпя и можно переписать как варпационное нера 3. А Фрилмвн не Боже 1З мом Г чаче Бмкк и и о ла Г (4.15) Пусть х=(х,х,), х =(хл,...,хч 1), В(г) (1х'! (г), й(г, бы ба) = В(г) Х (бы Ьл), й(г, б) = й(г,О„Ь), д'й(г,б)=дй(г,бРВ(г)Х (О), г и Ь берутся достаточно мал ыми. Нам потребуется аналог леммы 4.2. Л е м м а 4. 4 Пусть о Е С' (й (г„б) )„с(х) измерима, О <с (х) < С' и дЬ, Аео+ ео = Ье + г — в й(г, Ь), дх; (4.16) до =К, в(г)х (о) к в)а т)(.,я.) 4 (4.17) где (4.16) понимается в смысле )т', а Ьз — функции из Ьг, Пусть л 7= Х 1Ь)~~~ +1б1 -+1б1 -, г о где нормы берутся, скалим, ло й (2г, Ь) . Тогда 1 о)ь (п(, Б)) ~ С' где С вЂ” константа, зависяигтя только от Ае, Ь,т и ж.
До к аз а тел ьс та о. Пусть Ао, +со~ =О в й(г, Ь)„ до, — я на В(г) Х (О), дхл о1 =я на д'й(г, Ь). фИ 8) венство с эллиптическим оператором Ае и неоднородным членом К; по теореьге 3,5 7Е С" (й). Далее, пусть .4оие =У в й, ио =К продол жим ив как функцию класса Сл ьов окрестность дй. Взяв й = и — ие + С! х1з, у = р — и + С1 т1л, получим вариапиоиное неравенство дпя й с препятствием )е н иеодноредньпч членом Ае(С1х1'); заметим, что огг > О, если С достаточно боль.
шое. Таким образом, не ограничивая общности, молю предположить, что )~С""(Ь Г) й) я~С""()Че т) й), Ь) те с ж О (4.14) рте > 0 в ор(йе)длялюботонаправлення $, где йс — окрестность й . Временно предположим, что хо = О, дй Г) ЬГе = ( х„=,0) Г) ЬГе, й т) Ьге лежит в ( х„> 0), ам на х„=О Можно переписать эту систему в слабой постановке, а(еюр)+ 3 К=О тт~еН~(й(т,б)), в(т>х (о) 1 =б на д'й(т, б), (4.19) н установить существование решвютя стандартным Х.з-методом.
Но можно также построить решения другим путем, который будет попезным при выводе равно- мерных оценок ею Пусть 0 — усреднение и. Так как и Е С', б„— = С„, -тб равномерно в д'й(т, б), дб„, б„, н — -тб равномерно и В(т) Х ( 0 ) . дх„ Если 1т — Решение (4.1$) с б.м, В, то У = )т — б„, УдовлетвоРЯет УсловиЯм АУ +еУ = — Аб — еб — = б в й(тб), ди = 0 на В(т) Х' ( 0) дхя У~ = 0 на д'й(т, 6), Дпя построения $' используем правило отражения: ю(х', х„), если х„> О, ю(х, х„) = и(х, — х„), если х„<0. (4.20) Обозначим продолжение согласно (4.20) функции К„(соответственно Г„„е, ан при всех ю', 1 за исключением г' = и, 1 Ф н и 1 чья 2 = и) О„, (соответственно Ф„„е аб) . При 1 =я, г Ф и и( Ф н, 1) = и поповны дня х < 0 а м(х', х„) = ам (х', х„) = — атя(х', -х„)., и обозначим их ан.
Продопженный оператор А обозначим А. Ввиду (4.15) коэффициенты ав непрерьвны по Липныцу. Очевидно также, что АУ +е(Г„, =Г,„в й(т, — 6,6), б = 0 на дй(т, — 6,6). где С не зависит от тя и С*;, напомним, что О < е (х) < С'. Дтя доказательства попотеем й=П Ц1 .„) (Л>16 1, ). Тогда л Аггее(~= — еХ(1 — „)<О в й(т,б), л так что У не может досппать положительного максимума во внутренних точках. 35 Эта задача, очевидно, имеет решение в Сз+о(й(т, — 6, 6)~В(т) Х ( — 6, 6) ) н $' = О + С есть решение (4.18), сб,я Далее, выведем оценку (4.21) Максимум не может также достигаться на х„О, поскольку ЭУ вЂ” =я +Х>0 на х =О. м ч Следовательно, )йи, ~С, где С не зависит от ш (и С'). То же самое справедливо дпя Ц„.
Теперь можно взять подпоследовательностыи - » и получить решение о, = 1пп У (4.19). Также !1о,1 ( О а ><С, С независитот С'. (4.22) Остается оценить о, = о — о„. Используем опять отражение и получим для О, уравнение Эд; А от + еот = Ье + 21 —; (4.23) Эх; здесь Ьт для 0 <1 ( н определяются по правилу (4.20), а Ь„продолжается по формуле д„(х', -х„)=-Ь„(х',х„), Имеем от =0 на Эй(г, — Ь,б).
(4.24) Пусть о — решение задачи Ао~ й~ в й(2г, — Ь, Ь), о = 0 на границе. Существование о~ следует из стандартной теории существования 11091; кроме того, для любого 1 < р ( д т Эо '1 дед Это 1 — )о — А1 — ~= Х вЂ” ' дхч ~ д~~,~ дх Эх Эх1 ю К Е/Р( й1 — т, — Ь,б гз ~2 ;/ в силу ьаоценок для о' (внутренних относительно цилиндра й(2г, — 'б, б), но вплоть до границы х„= з б) . Далее, пусть й' — решение задачи ЛС уз Ао =11~ в й1 — т,— Ь Ь .2 'й' = 0 на границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
