Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 11
Текст из файла (страница 11)
щая условиям бь (т) > О, Вь (г) = 1, если г > 6, ()ь (г) = — 1. если г < — 6, 1 Вь' (т) 1 < С/6, и пуси 7 — произвольное положительное число, Нам потребуется лемма сравнения. Ле мма 6.3. Пусть В(г) — ограниченная непрерлсвная строго монотонно возрастаюцьан функцич, В (0) = О, и пусть Ры Фс(1 = 1, 2) — функции из С (й), ис Е Н' (й) с1 С(й), й — ограниченное открытое множество, т > 0 и -вессс + тишь(и, — Фс ) + В (и, — Р,) < 0 в й, — Ьиг + тбь (иг — Фг ) + В (иг — Рг) ° 0 в й, стРого монотонный извыпУклогомножества Р + Не(й) пРосгРанства Н'(й) в двойственное к Н' (й).
Следовательно, в силу теорем 2.2 и 2.4 существует единственное решение и = иа задачи (6.28), (6.29). Функция иа принадлежит Се(й) (см. задачу 1) . Пусть хе Е Эйа, и предположим, что шар В = (! х1 < Я ) удовлетворяет Условиам В г1 й = ф, В г1 эйа = ( х ) . ДлЯ пРоизвольных ю е к*, и — Р е не(й), имеем 1те(х) — сь ~ < 1п( 1х — у! < !х1 — Я„ унааа так как к=се на Эйа и ! р ю ~ 1. Полагая Б (х)= ~х1 — А+се тб, получаем 6' — ж > Б и, в частности, 6 (6' — Р) >~ В (Б) > О, 7Ра(6 — Фо) > 7Ра(6) 7. Так как также — Ь 6 ~ -С, С зависит от Ю и 61аш (й) приходим после подходящего выбора 7 > С к неравенству -Ьб + 76а (Б — фа) + д (6 — Г) > О. Для вывода неравенства ее < б' в й теперь можно применить лемму 6.3.
Следователь- но, солиха й,х" Е Эйа, то Уа(х) — Уа(х) ~ )х~ — 1х ~+6 ~ )х — х 1+б. Аналогично (с б (х) = — 1х !+ Я + са — 6) еа(х) — еа(х ) ~ — ~х — х ~ — б. Таким образом, ~оа(х) — иа(х )! <!х — х 1+ б (хЕ Й, х Е дй). (6.30) Для произвольного е Е Ва такого, что 1е1= р мачо, введем открытое множест- во Й' =(х Е Й, х + е Е Й), Функция оа (х) = иа(х + е) удовлетворяет уравнению 11еа + 76а( — Р') + б (е' — В') = О в ! где ус (х) = уе (х + е), Р (х) = Р (х + е). Можно сравнить иа с е а в Й, используя лемму 6.3.
Ввиду (6.30) имеем тоР ! "а еа ~ ~ Р + Б. аа' Так как также ! 1т ре ~ <1, ~ рР ~ <1,получаем полемме 6.3 %Цэ)еб оа ~ ~ Р + б. (6.31 ) Теперь возьмем у 1т!'т' В(г)=[ — ) а8 т, е ~ ) В,(г), если 1т~ < С, г — С В,(С) + —, если г > С, В(е) = т+С В( — С)+ —, если т < — С, Е где С > 2 б(агп й. Ввицу (6.30) В (иа(х) — Р) = В,(иа(х) — г'), если Р Е К*. Полагая Р = и, для соответствующих са имеем — Ь са + 78а (па — 'Ра) + В (са — и) = О.
Ввиду (6.31) можно взять последовательность (Ь) такую, что иа -+ие равномерно в й при Ь ~.0, 7Вь(се ~Ро) + юе ь слабо в А (й). Тогда, очевидно, ие есть решение (6.20) . Кроме того, ~,~,-,„, < С и в силу (6.31) ! и,(х) — и, (у) ! к ! х — у ~, что означает ~ 'р ие ~ <1. Таким образом, и, Е К*. Это завершает доказательство теоремы 6.2. Задачи 1. Показать, что решение задачи (6.28), (6.29) непрерывно. (ук а з а ни е.
Дпя йю1 й, дй достаточно гладкие, Р -+Р, Р гладкие,решения и *-слабо сходятся в А~„, (й) к еб используйте барьеры.) 2. Вычислить явно решение вариационного неравенства (6.1) в случае, когда й — шаро х ~ <)т). 3. То же самое для задачи (6.4) в случае, когца й — кольцо ( Р <! х! < )т). 4. При л = 2 в задаче 2 вычислить т из (63) и вектор перемещения в зацаче упруго-пластического кручения. 5. Рассмотреть вариацио нное неравенство с двумя препятствиями (б.
15), (6.13) . Доказать следующий результат (аналог задачи 5 из з 3) о локальной 1гз"-регулярности. Пусть йе С й, С й, йт открыто, йа С й г О Г,, й, С й О Г,, где Г~— открытые подмножества дйи Г, С Гт. Предположим, что Г, Е Сз + е и Р, ВЕ е И» Р (й, ) 1 < р < о . Тогда и Е 1Р т 'Р (йо ) ° з 7. За!в»ча упруго-пластического кручения.
»рз, Теорема 7.1. Решение и задачи (6.4), (6.5) принадлежит »Ьз' е любом компактном подмножестве области й, и !Р и(х) ! ( С~~и + 1 б(х,дй) ' (7.1) где С вЂ” константа. Отметим, что никаких предположений о регулярности дй не делается. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай ! с; — с ! < Ы (йп й!), Эй Е С~ + е, (7.2) где с; — постоянные значения и в областях й! и се = О.
Тогда препятствия ~р, ф удовлетворяют неравенству»с(х) < Ф(х) в й; напомним, что р(х) = Ф(х) = с; в й;. Введем е-усреднении 4,(х) — (3ер)(х), Ф,(х) = (у,.ф)(х) (хе)»"). Если ~р, = у, + де, где 4е < де ( 5е, то ( х Е й; а'(х, Эй) > 4е) С (х ~ й; ~р,(х) < »7,(х)) С с ( х Е й;И(х, дй) > е).
(7.3) Кроме того, что по лемме Сарда можно выбрать Эе так, что д (у, < ф,) Е С Легко видеть, что !5г»с ! ( 1, ! 571 ! < 1 в 7»". (7.4) Пусть 17, = ( х Е й; ~р, (х) ( Ф, (х) ), н обозначим ие решение вариацнонного нера- венства (6.15), (633) с»е,, Ф,,Р, вместо»е, Ф, й*соответственио.
Положим Лт, =(х е Р,; Ф,(х) < и,(х) < Ф,(х)), Л, ь(х Е Р,; и,(х) = ~р,(х)), Лз ( х Е Рс', ие(х) — Фе(х)). Так как у„»7,. — функции из С, ие Е »т~'Р(Р,) для любого р < ~ (ф 3, задача 2) и, таким образом, Ле — открытое множество и Л! — замкнутые множества. Отметим, что в силу (7.4) )т7ие ! ~; ! на 'дР,. Для произвольного направления $ функции и, » гармоническая в Л', и м еа»4;! на ЭЛГ ГтЛ,, и,» = ф, » < 1 на! ЭЛГ, й Л,. Вспоминая также (73) и применяя принцип максимума, получаем и, » <1 в Ф,. Так как Е произвольно,то !ти ! < 1в Ф,. (7.6) Заметим, что в Ре препятствия р„»Ь, никогда не равны.
Следовательно, локально поведение свободных границ Ег =дЛ» Г! Р, такое же, как в случае задачи с одним препятствием. Далее нам потребуется один результат о таких свободных границах. Л е м м а 7.2. П) Если у Е Ф„у -'х Е р,, то Вгп !в!(ие — у,) г г > О. (П) Если у Е ту„у -~ х Е г г, то 1пп 1пт" ф, — и,)Е Г > О, ПРичем 1пп 1пт" равномерен по х Е рг тэ й для любого замкнутого подмножества й Е .Р,. Лемма содержится в теореме 3.6 из гл. 2. Будем использовать обозначение д(х) =д(х, д й). Л е м м а 7.3. Дая любого направления 8 1 Ф, гг(х) >— с((х) -- е ! ! Ф, гл(х) < д (х) — е для всех х Е й таких, что и (х) > е. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть х Е й. Тогда (7.7) (7.8) р(хо) = шах ( с; — т((хо, Эйг)) = с; — д(хо, дй;) = с; — ! хо — уо ) для некоторыху иу е Зйг,где!хо — у 1 =Ы(х~, Эй ) =Ы(х ). Положим 7(х) = е1 — 1х — х 1. где хлежит в интервале (х — йе, х + !ге). Поэтому г о 21н чг(х ) > Так как это верно для всехх е й таких,чтоб(хо) >Ь,имеем также 1 ггь р (х) Э— д (х) — Ь вЂ” е если д(х) > Ь + е.
Полагая Ь .ч О, получаем (7.7). Доказательство (7.8) аналогично. Л е м м а 7.4. Для любого направления $ ! 1и,,ее(х)1 ~ С и + ) а (х) — е / (7.9) при почти всех х Е Р„С вЂ” константа. 57 Тогда ч~(х) > с — д(х„дйг) > с — 1х — у ! =7 (х) и Ф(х ) = 7(х ). Из этого следует, что для любого единичного вектора е и для произвольною О < 1г (1 хо — уо ! раэностные отношении второго порядка у(х +Ее) + Ю(х — !ге) — 2Ф(х ) ~гг ( 0) не меньше, чем г5ь „7(хо). В силу теоремы о среднем г о 1 гэь,,7(х ) >— д(х ) Доказательство.
Так как и, Е )гс 'а, то для любого направления и и,ю„= се,. „а п.в. в Л,. (7.10) В Р,чэкрестности Л, имеем и, < с)с„поэтому — Ьи, > д п.в. в Л,. (7.11) Длях Е Л, из (7.7), (7.10), (7.11) получаем 1 ~ 1е, ГГ(х) = и, И = с1 (х) — е и — 1 и — 1 = Ьи,(Х) — Х Иисси,(Х) < — и — Х РЫЧ,С.(Х) -~ с.= 1 я — 1 < — д + с( (х) — е где е и Пг образуют ортогональную систему. Таким образом, 1 и — 1 < и, 11(х) < — д + - пас. в Лс.
с1(х) — е ' с1(х) — е (7.12) Аналогично и — 1 1 — и — < и,- 11 (х) < пв. в Лэ. с7 (х) — е сс (х) — е (7.13) 1 1ппсо(и, тт (у) > у, тт (х) >— уистс с( (х) — е у и эти неравенства верны также для всех направлений пс (1 ~ 1' й'и — 1) таких, которые образуют с $ ортогональную систему. Таким образом, 1 1пги „1(У)+ > 0. с((х) — е/ Так как (Пи =с с) и / 1 йщ„,р~ ~ п,юс,(у)+ с1(х) — е/ и и = 1лп ятр Ь и, (У) + ]и — д+ с( (х) е, с1 (х) — е Дпя ОЦЕНКИ и, 11 СООтВЕтетВуЮщЕМ ПОдМНОжЕСтес Лс, ПРИМЕНИМ ПрИНцИП максимума. Но сначала требуется оценить эту функцию вблизи свободной границы.
Дпя этого рассмотрим случай х Е сос . По леммам 7.2 (1) и 7 3 получаем 1 < 1пп!п/ и, гг(у) < Ы (х) — е у и гуе у х и < 1яп игр и вг (у) < — «+ уе гт с/ (х) — е у -~ х (7.14) если х Е Е,, где 1!пг 1пт", 1пп впр равномерны по х. Аналогично п — 1 — «вЂ” 1пп)пг ие,й(у) ~ц ! г/ (х) — е у е гте у-~х 1 < 1пп впр и, вв(у) < уегтх а(х) -е у-~х (7.15) если хЕ хгг.
Далее, установим, что ! и, 11 (х) ! < С «+ - ), Рх' (7.1б) если х Е /т',, Ы(х, дР,) = р, для любого фиксированного достаточно малого р при условии, что е < р/8. Отметим„что 8!в!(Вг /э(х), дР,)>с+ р/!2. ПУстьх Я гт„д(х, Э/7,) = Р, и РассмотРим фУнкцнюй,(У) = и,(хе + РУ) вВю где дл (у; !у ! <Л). Выберемся Се (Вг/г) так,что а=! иВ,/э. В силу (7,12), (7.13) 1т !Ьи,!<С «+ — ) (7.17) Р п.в.
в Л, О /тг гг (х; 1х — х ! < 2р/3). Поскольку Ьи, = — «в/т'„(7.17) верно также п.в. в (1х — хе ! < 2р/3). Вспоминая (7.6), получаем г ! Ь(й,о)! < С «+ — ) р в Вг/э. Р Из эллиптических Ау~гценок тогда следует, что / г !йеп! „гр!в !- 'С «+ — )Р !~/! ~ г/ для любого р <, в частности г !й, у у !ЬР(в !<С! «+ — )Р~. (7.18) Далее, распространим эту оценку до р = . Дпя этого введем функцию г Е Е Се (Вг /э), т = 1 и Вг /е, н открьпое множество /их р (У! х + Ру б/г/е) Имеем Ьйе = -др' в Ле р. Используя (7.18), находим дд /~ (йе т)у (у/ ду/ (7.19) где (/г!ьр(в )<С д+ — ур'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
