Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Полагая е -+ О, получаем (9.10) . Для произвольного г > 0 положим Л((г) =(х Е й; и (х, г) > 0); 71 Для оценки левой части заметим, что Г, > ( 0 <и, (х, 0) <е,если едет(х, Го) к <Зя, и и, (х, 0) =О, если йзт(х, Го) > Зе. Следовательно, если е достаточно мело, то 1у(г) — открытое множество. Из (9.14) имеем и, > О, следовательно, 1у(г) с 1т'(г'), если г < г'. (9.16) Мы покажем, что (9.17) лг(0) С Л1(Г), если Г > О.
Действительно, предположим противное: существует точка хе Е Г, такая, что хе Е д1у(г,) для некоторого г, > О. В силу (9 1б) отрезок 1, (х=хе,0<1<1)' лежит на границе открытого множества Рг, О ЛГ (г). е(т<г, Поскольку для почти всех г производная В„'и (х, г) непрерывна по х, получаем 19„и (х, г! = 0 для п.в. (х, г) Е 1, . (9.! 8) Функция о(х,г) = и(х,г+ Ь) — и(х,г), д > О, есть положительное решение уравнения теплопроводности в С Х (О, гг — Б) (так как иг > 0) и обращается в нуль на граничном отрезке 1,, а.
Следовательно, по принципу максимума, Ч „. о (х, г) ~ 0 п.в, на 1, что противоречит (9.18) . Из (9.17) полУчаем, что 1 ю — 1с длЯ всех г > ее (ее > 0) в окРестности свободной границы; здесь ее — произвольное малое число. Таким образом, можно применить результат о регулярности (теорема 8.4) и вывести (9.11) .
Введение шара Вл вызвано только соображениями удобства, чтобы вариапионное неравенство можно бьшо рассматривать в ограниченной области. Далее, нам хотелось бы показать, что решение не зависит от Я, если Я достаточно большое. Для зтого достаточно показать, что свободная граница не пересекает дВл Х (О, Т) прн достаточно больших В (зависящих от Т). Докажем следующую теорему. Т е о р е м а 9.2. Сушествует положительная константа М такая, что 1т (г) С(!х ! < М~/с + 1 ) для 0 < г < Т, М завис итог апр 8, апр Л, С и К но не от Т.
До к азат ел ь ст в~о основано на сравнении (см. задачу 5 из з8). Построим радиальное решение классической задачи Стефана в виде В(х, г) = г" се(х) — г =О,заданной явно: ! х ! =Мчат+1,и 72 Выберем С, С так, что г 2СМ' " ехр~ — — ) = 1г. 4 С (1' " ехр~- — ~ЫТ вЂ” С'= О, М 4 и тогда условия свободной границы выполнены. Заметим, что С = — М" 'ехр~ — (-ь, если М+ ', 2 4 С' остается ограниченной прн М -+ Следовательно, данные Ь, я, соответствующие В(относительно С), удовлетворяют неравенствам й> й, е>е, если М достаточно большое. Выбирая В > М з/Т+ 1, можно сравнить вариационное решение й (соответствующее Б ) с и; получим й> и, откуда утверждение следует.
3 а меч ание 9,1. Далее мы всегда будем брать усеченный шар Вл, так что Я > М ~/Т+ 1. Тогда свободная граница будет оставаться в компактном подмножествеВл Х (О, Т]. Т е о р е м а 9.3. Производная Р„и равномерно непрерывна в [ и > 0) гЗ гз(е( г( Т) при произвольном е > О. Доказательство. Достаточно показать, что если (хм, гм) - (хь, гь), где и(х,„, гм) > О, и (хь, гь) лежит на свободной границе,то и„(х, г ) - О.
Предполагая, что утверждение неверно, положим,дяя определенности, (9.20) и„,(хм, гм) > р > О. Пусть х~ =х, +Беп хе =хе+Бег, Б> 0 и е; — единичный вектор по 1-му направлению. Для почти всех г Р„и непрерывна по Липшнцу по х с константой С„не зависящей от г. Запишем хщ хы и(х, 1) — и(х',1) = )' и„,(х, г) = Би„г(х,г) + )' (и„г„,(х, г). ею Отсюда 1и (х,„,г) — и(х,'„,г) — Б и„,(х,„,г) ! < СБ*. Так как х,„Е Ф(г,„), то их~(Хм, Г) -ь иЧ(Х,„,1„,) при г-+г . Следовательно, 1и (хм, г,„) — и (х,'„, г,„) — Б и„,(х,„, гм) ! ( СБ*. ПолагаЯ т — и использУЯ (9.20) и неРавенство и(хс, Га) > О,полУчаем00) Сбз, что невозможно, если б < Д/С. Задачи (9.22) 0=-г на дььХ(О,Т), 0=0 на ЙХ (0). Пусть т и(х, Г)= ) В(х, г)йт, (х, Г) Ест.
е (9 23) Доказать, что 0 — решение (9.21), если и только если и — решение задачи Стефана (98). ( у к а з а н и е. Если 0 — решение (9.21), то и, — Ьи — 1- Миг) ° где у(и,) = 0 — а(0) ) О, гак и о (и, — Ьи) (о — иг) >'У(ц — из) т/ ц) О, и~) О; (9.24) обратно: (9.24) влечет (9.21). Пг кажите, что если и — решение (9.8), то оно — ре- шение (9.24) .1 ( 10.
Вариацнонные неравенства дчя бигармонического оператора Вагаюционное неравен гво — ци > О, и аь у, Аи(и — чз) = О 1. Пусть я(х, г) > Се > 0 для всех х Е Га, г > О. Показать, что существуют достаточно малое и ) 0 и То ) 0 такие, по решение задачи Стефана удовлетворяет условию Ф(г) з ( 1х! < д,/ г ) для всех тс < г < т; те зависит от се и О, ио не зависит от Т, и. 2. Показать, что свободная граница в задаче Стефана при и = 1 задается урав- нением х = т(г), где т(Г) непрерывна, и строго монотонно возрастает по г.
3. Продолжить я на дВл Х (О, Т) нулем и рассмотреть задачу: найти ограни- ченную измеримую функцию 0 (х, г) Р: 0 такую, что т д( О (0 М + а (0) (,) йх йг = )' )  — ай — ( а (О е) ((х, О) йх, (9.2! ) От е ац йи О где 1" — произвольная гладкая функция вот, (' =О,если хЕ сьт или Г =Ти а(В) = = а (О (х, г) ) — измеримая функция такая, что а(0(х, г))= В(х, 1), если 0(х, г) > О, -х< а(В(х, г))< О, если 0(х, т) =0; наконец, Ве(х) = 0(х, О).
Хорошо известно (94Ь1, что эта задача имеет единствен- ное решение, которое можно получить аппроксимацией а(г) функциями а,„(г) „ а,'„(г) > О. Заметим, что (9.21) можно записать (в смысле распределений) следую- щи м образом: д -йВ+ — а(0) =. О, дг в 11г соответствует задаче о мембране, расположенной над препятствием р. Если вместо мембраны мы имеем дело с двумерной пластиной, то вариационное неравенство будет таким: гг'и>О, и> р, ьг~и(и — р)=О.
Рассмотрим вариационную задачу. Найти функшпв и такую, что иЕК, 1'! Ьи1гь(х=шш )'!Ьо1гйх, й рнк илн,эквивалентно, (102) иЕК, ) Ь и гх(и — и) ИХ > 0 )т О Е К, (10.3) Согласно результатам 5 2 существует единственное решение этой задачи. Полагая и=и+аз' (е>0, (>О, (еСе(й)) в (10.3), найдем, что и ге гз'и ~ 0 в смысле распределений. Следовательно, д есть мера на К.
Поэтому д(К) ( ' для любого компактного подмножества К С й (см. 1159]) . позже мы докажем,что ие ю~~, (й) и ие сг(й) для и=2, Л е м м а 10.1. Существуетфункция и такая, что: (а) и = Ьи п.в. в й; (Ь) гр полунепрерывна сверху в й; (с) для любых хе е й и последовательности шаров Вр(хе) с центром в хе и радиусом р ичЬ' Ь ге(х ), если р Ь О. вр<х') Здесь мы испольэовали обозначение 1 гхи' = — )'и', (10.4) А !А1 А !А1 — мера А, где А — либо шар,либо граница шара. До к аз а тел ь ство. Пусть )рр(х) = у гги(у)бу.
В (х) Покажем сначала, что для любой точки хе Е й и р (хь ) убывает по р, Для любой функции и е С" можно написать ди(ХО) у (~,и),(я Г(11ги)сх Яр вр (105) (! О.б) 15 Чтобы сформулировать эту задачу более точно, введем ограниченную область й С А" с С +е-границей (0( а( 1). Пусть р(х) — функция из С (й) такая, что ю < 0 на 3 й. Введем выпуклое множество К= (иЕНе(й); о> р пв. в й). где Вр = Вр(хо), Вр = дВр и 7„(т~ "— рт "). если и~3 (г >0) ° Р— !л — ° если п =2 2я есть функция Грина для — гь. Аналогично, если р > р, то 1ьи(х )= т" (Ьи)гьб — З" (з! и)С лй. в В р Так как бр < 6 „получаелгцря условии Ь'и>0 р" т'Ьи < т гаи вр р' и.
интегрируя по частям, У'Ьи < 7 Ьи. вр в, р' Вобщем случае,дпя иЕ Нз(Х1), Ьзи> О, можно ввести 1/гпусреднсния уер =уг! (Ли), где У,(о) (х) = Г!о(х -у)о(у)ду, /,(х) = е "7'(х/е), !(х) = )о ( !х !), !о ~(- !оН) . О, если !т!) 1, /о(т) йе О, Хуо(!х!)4И 1. (10.7) (10.8) (10.11) Поскольку 2!У,о ~ О, (10.8) имеет место при замене Ьи па У,„. Полагая тполучаем неравенство (10.8) . Окончательно имеем вр(х) ) в(х) при р 4 О, (10.10) где и (х) — некоторая фу| кцня.
Так как каждан функция юр, непрерывна по х, ю(х) полунепрерызна сверху. Вспоминая,что си ЕЛ!',,нмеезитакже гор(х) Ьи (х) и в в Й Следовательно. гр = гзи пл., что вместе с (1О.!0), (10.! 1) завершает доказательство леммы. Гео ре ма 10.2. Влззбой точке х Е ьз ихой, что х Е зоррд, справедливо исравеяствгз тч(хо) ь Ь~р(хо). (10,121 Доказательство.
Продолжим и как функдиоз Н,з„,.(Ви) и обозначим и, е.усреднения и. Пус ь хо Рй й. Предположим, что пля некоторых 6 > О и окрест- ности Ю точки хе неравенство и,(х) — р(х) > Ь 1Г х Е И' (! 0.13) справедливо дня всех достаточно малых е. Пусть т! Е С~ (И'), П:- О, — такая, что Л = 1 в окрестности !Ус точки х".
Тогда для л1обои функции (е се"(1ье), !(! б 872, функция с = Ли, + ( ! — т!) и + ( принадлежит К. Взяв такую о в (10.3) и затем устремляя е к нулю, получим (так ™6 и в О!рг) Х ЬибТ= О. Таким образом, Ь'и = 0 в И'с и, следовательно, точка хс нс лежит в носителе д . Так что если х Е зпррд, то сушествуют последовательности хт - х . и е,„- 0 такиг, что о е и, (хт)- р(хт)- О. (10Л4) По формуле Грина и,(хт) = Х и,с5 — Х !!и,(у) У(х — у)ау, (10.15) Вр,т Вр,т где Врт = (!у — хт ! ( р), Ярт =дВр и У(т) =Ср, Сртакаяжс,каки (10 7) при г =!т!,естьфункция Гринадпя — !! в Вр . Аналогично ,рг(х )= Х „,аВ - Х б,р,(у)У(х -..у)ау, (10,16) Вр,т Вр,т Поскольку и Рр р, то и, > дг, так что Хи) Х р,. Вр.т Вр,т Используя зто неравенство и (1ОЛ4), получаем, сравнивая (10.15) и (10.16), что 1пп !пр ! Х Аи, (у) У(х — у)с(у -- Х Ьр, (у) Цх — у)ау) >О.
(10.17) вр вр„, Можно записать Х г!и,(у) !'(х -у)ау = вр ауУ(хт — у) Х Х,(у — т)Ьи(т)ат = Вр т ~у -г!Чг Х ) Х,(х -у ч а) У(т)атби(у)ау+Л, Вр т ~ хт-у-г!(г Х (7г 1 ) (Хт У)ди(У)аУ ьЛг т, (10.18) вр р, где Л, О, если е в 0 (равномерно по т). Подобнос соотношение справедливо дня второго интеграла в (10.17). Поэтому Вш впг Х (7, У) (ю — !1~р)ау э О. вр Ввиду теоремы о среднем существуви точки х,„р е Вр т такие, что иг(хт р) — 7ьр(хт р) ~'. — бт, б -вО, если гл Можно предположить, -то х,„р -+ х и тогда из-за лопупгпргрывностн сверху и 77 где К= Пя, бр такая хи, кака (10.7).Получаем сти,(х) = — ) кьги,— ВЯ /2 — (с(Лги,Т+ 2Ч(с1си,) Ч1+ сги, 611.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
