Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(11;1 8) Теперь возьмем последовательность и„равномерно сходящуюся к й в й такую, что!7 и, — !с й *-слабо в А (й), Ввиду леммы Минти а(и,и — и,)>0, если и Е Нес(й), и > р„в частности, если и Е С„(й), и > р на 5 при достаточно малом е. Для таких и имеем а(и, и — й) > О. Аппроксимнруя и Е Не (й)„видим, что последнее неравенство справедливо также для любого и е Не (й), и > чс на Я. Таким образом, й совпадает с и, и в силу (11.18) !суп !<С, Это завершает доказательство теоремы.
Рассмотрим случай, когда гиперповерхность 5 удовлетворяет условию ЯСдй, У 4й, (11.19) и предположим, что ср< 0 на дЯ. Пусть К=(иЕНс(й), и=О на дй'тЯ, и>се на Я). (11.20) Соответствующее вариацс(онное неравенство (11.5) называется задачей с препятствием на границе или задачей Синьорини. В зтом случае формально имеем иа Я и — ась О, ди — > О, (11.21) ди ди (и — р) — = О, дд где д — внешняя конормаль.
Теорема 11.3 распространяется на данную задачу. Действительно, так как )' 1 а 1т < С )' 1 ~7 а 1т гэ О для любых в е С'(й), в = 0 на д Й~Я (см. задачу 4), а(и, в) коэрцнтивна и, следовательно, задача Синьорини имеет единственное решение.и. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 11.3, можно показать, что и е С ~(й). Вернемся к задаче с тонким внутренним препятствием и докажем дальнейшую регулярность решения. Рассмотрим сначала частный случай: )' 1~и Ч(и — и)>0 чаЕК, иЕК, (11.22) и, следовательно, и, ь > ш (та такая же, как в теореме 11.3) . Действуя, как и выше, можем показать, что ! ~7и, а 1<С. (1 1.25) Поскольку и,,а > р, в й окрестности Зй, оценка не зависит от е, б, стиг а = 0 в этой окрестности и поэтому 111~и, а 1<с в й-окрестности Эй.
(1 1,26) Дифференцируя уравнение со штрафом дважды по произвольному касательному направлению т в х-пространстве, получаем о(Оттим ь)+л (ие, 6 А)Ртт(ие, Б Ф~)>0 Бели Реги, ь принимает отрицательный минимум в точке Х Е й, то 13ттие ь >11тт4е > — С в Х Ввиду (11.26) заключаем, что 1)гти, а > — Св Й.
Полагая, что б -+ О, а затем е — О, получаем следующий результат. Л е м м а 11.5. Имеют место неравенства и,т> — С, и „<С в Й~Л. (11.27) Яе — гиперплоскость. (11.23) Положим х = (х„..., хю ), где гл = л — 1, у = х„и Х = (х, у) и Яе = ( у = 0). Напом- ним, что коиюпщентное множество Л = ((х, 0), и(х, О) = у(х) ) является замкнутым подмножеством й. Мы будем часто отожцествлять точки х и (х, 0). Тео ре ма 114, Решение и яринадлежит С'" (йь) и С'+~(й ) для неко- торого 0 <а <1. При доказательстве используются леммы, пшшеденные ниже. Начнем с задачи со штрафом — Лиг 6 +1)б (и~ 6 — чР~) = 0 в Й, (11.24) и, а=Она бй, где бе(г) < О, ба(г) > О, ба (г) <О, ба(г)+О если г>0, б10, ба(О)+О если б10, и Ва(г) —, если с< О, б10.
Имеем -Ьие, а >0 Лемма 11 6. Пусть зцрчз„<Мдля всех т Если А Ф М, (хо, 0)рА и Ьх (Х) =д(хо)+!))о(хо) (х — х )+А(!х — хо!з — нзУз), (1 1.28) то для любого открытого множества ьг такого, что (хо, О) ~ Д с зз верно неравенство игр (и — Ьх,)> О. (11.29) д)2 Доказател ьство. Имеем и >й„в (хо, О) (так каки(хо, О) > р(хо)). Поскольку и — й„— гармоническая функция в Д~Л, в силу принципа максимума зцр (и — й„) > О. д (О') Л) Но так как и — Ь„< О в Л, если А а М, получаем утверждение леммы.
Из леммы 11.5 следует, что и„— Су — ограниченная монотонная функция при у > 0 н при у < О, поэтому пределы о,(х)= !нп иу(х,у), от(х) — !йп и (х,у) у)о у) о существуют. Временно предположим, что зь симметрична относительно (у = 0). Н 1.30) Тогда и(х, у) = и(х, — у) и аз (х) = оз (х) . Пусть о(х) = о, (х) . В силу (! 1А 1) о(х) <О, если (х,О) ЕЛ, т.е. если и(х, 0) = р(х), (11.31) о(х)=0, если (х, О) ЕЯ)ЛгеЛг, т.е. если и(х, 0)> р(х). (11.32) Требуется доказать непрерывность по Гельдеру а, Начнем с того, что установим непрерывность по мере.
Л е м м а 11.7. Пусть (хо, 0) Е Л( Существуют положительные константы С, С такие, что для любого малого у> 0 имеетсц щце Вс,(х), содержащийся вВ-, (хо) ПХт, гдеХт =(хЕЯ, о(х)> — 7). До к азат ел ьот в о. Возьмемцнлиндр 0 =Вс т(хо) Х ( — Сз7, Сз7), где Сз "ь Сю н применим лемму 11.6. Будем различать два случая (!) зцр(и — и„, ) достигается в точке (х,, е) на боковой поверхности цилиндра; Эд (В) зцр(и — й„,) достигается на одном из оснований цилиндра, скажем в ЭО (хю Сз 7).
В случае (!) и(х,, е) > Ь„, (хю е) = чз!хо) + [тр(хо) (х, — хо) + +А(!х, — хо !з — нзе~)> р(х,)+Сз7 поскольку в<Сз7 ФС,7= !х, — хо !. Кроме того, если !хз — хз ! ~Со 7 !х, — «,) Яи — чз)(х„е)>0, то (так как и с> — С) (и — р) (х, . е) — (и — р) (х,, е) = = (хт — х з ) ц (и —,р) (х,, е) + О (и — р) тг > — С з7 (11.33) при условии, что С» достаточно мало. Следовательно, (и — 42) (ха, е) > О. Покажем, что для х,, как в (11.33), имеем о(хг) > — 7.
Действительно, если о(хг) < --7 то (и — чг) (х2,0) = О (и<) (1132)), откуда (и — »г) (хз, е) = (и — ч)) (хг, е) — (и -- о) (ха, 0) = =ее(хг)+Опят ч* -76»Се < О, если Сз достаточно мачо (так что е < Сг у) . Множество точек хг, удовлетворяющих (11.33), содержится в шаре Вот(х).
Так как сг(хг) > — уз этом шаре, докзэательство заверпгено. В случае (П) запишем и(хг, С27) >)г» (хг, С27) > Ч)(хе) +тг»г(хе) "(х) — хе) + +А(!Хг — х»12 — нг(Сгу) )>Ч)(хг) — Сз(С,7) . Как и раньше, если )Хг — Хг! ~ С»(С27) (ха — х, )» (и — ч)) (х,, Сг'у) > О, и(хз, С,у) — Ч)(хг) > -С,(С2 у)2, (11.34) Поскольку, с другой стороны, и(х2, С27) чг(хг) = = о(хг)С27+ Ди„т < о(хг)С27+ С(С27) ° заключаем, что о(хг) > — 7, если Сг достаточно мало. Множество точек хг, удовлетворяющих (11,34), очевидно, содержится в шаре Вот(х). В следующей лемме используется такой простой факт: если ю — неотрицательная гармоническая функция в В,(х)Х 10,1), и)>1 в Вз Х (0), где Ь>0, В6 СВ)(х), (11.35) то ю > е (б ) > 0 в В, ) 2 ( х ) Х (1/4, 3/4) .
Л е м ма 11.8. Если (хе. 0) Е Дт, то сугиествуетчисло о, 0 < о< 1,такое, что о(х) > -С~х — хе1'" 93 с некоторой положительной константой С. До к азат ел ь ство. Докажем методом индукции,что ихР- — Р в В „(хе) Х (О, уа), (11 Зб) где 0 < 7 4 В < 1. Изменяя масштаб и, можно считать что (11 36) верно при )с = О. Щ) я перехода от й к гс+ 1 рассмотрим для малого д > 0 функцию и„+ Р" (1 1З7) — Ну +Р Эта функция гармоническая в В а(хе) Х (О, уа).
Ввиду леммы 11.7, заменяя у на 7 ду, имеем )г>1 в В а(х)Х (0); 67 здесь д следует выбрать достаточно малым (но независимо от й, у и 5 = 8 (д ) также независимо от я, т), Используя (1 1,35), (после подходящего изменения масштаба) выводим, что и +б" , >с>0 -ду" ь !3е „3 „1 в В е (хе)Х ~ — Т", — у"~. Так как у 4 8, получаем (4 4 и > — !3+ — !3 « 2 для некоторого малого Х> О, Хне зависит от !3,т,й. Если 0< т< т"/4,то и (х,у)=и«х, — т ) — и «(х,у)>-33" + — !3 — Су Р а — ! — -«!б, у<у< — Т . 4/ 4 Выбирая т < ! !2, !3 > 1 — Л!2, завершаем доказательство для и + 1. Утверждение леммы следует из неравенств (11.36) . Завершим доказательство теоремы ! 1.4, Так как а = 0 в Л!, из леммы 11.8 а(х) — а(хе) = а(х) > — С1х — хе!" если хе ЕФ, х ЕХ Поскольку а(х) < О, получаем ! а(х) — а(хе)! < С! х — хе!~, хе ЕХ, х ЕБ.
(11.38) Имеем и = 1а в 1лт Л, позтому функция и регулярна в каждой из областей й+, 12 (вплоть до границы). Если х1 и хз принадлежат Л и !х, — хз! < ш1п(с((хна), с((хз, Л'))' =— И~, то ввиду внутренней регулярности С~х, -хз! !а(х,) — а(хз)! < < С!х, — хз!'!з. с( Если )х, — х ! > с(з, то пусть х — точка из Л', расстояние от которой до х, и х не превышает !х~ — хз! '!~. Применяя (1!.38) с х=х,, х =хз,получаем !а(х,)-а(хз)! < С!х -хе!е1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
