Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Можно записать 0 ( у„, + л — у) (и — р)уу дх ду = 7'у ь' (и — ч«)(х +х, ую+Ь)г7х— е ь« — ) (и — р)(х +х,у«а)сухо ь* — ( й(л — р)„(х,„+х,ум)г1хк у, -у, —.тз, с Так как !(и — 70(х,„+х,у«а) ! <С'1х!', ! (и — к) (хю + х, у,„) ! < С ! х !, получаем !эг! -Ог~ ! '7!<СО~, а также, замсчаи,что з, уж О, сзаапр 1(У«а +)г У)(л ч«)у»1 Рх ь Таким образом, суптествуег гочка Оа «е Ть такая, что иа.)-п(Ю- -а. Полагая й 0 и используя полунспрспьюность сверху «у, находим, что ту(Р„,) Э !пп апр юЩ,) ~~ 1!пз я(Оь) = а(Р,„). Счедовательно, и«!Р„,1Эе(Ра) для любой Р (1 0.41) Доказательство верно также л7гя Ре, так что ш (Р,) >- я (Ре) .
В силу (10.40) имеем ю(Ре) = я(Рс), а из (10 41) получаем !!гп !л( ъу(Р„,) ~ Х(Рс) = и (Ре). Поскольку «а и лолунепрерывна сверху, (10.35) зерно. Кчя завергчения доказательства !!0.33) предположим противное; Рю С Б, Р„, Г-. Я, Р,„Ре, Рю Р, и ю(Р 1-«Л, и«(Р,„) -«А, ~деА ФА. Выделяяподпослеловательностгь можно прс)пил!ожить, что (10.34) в ьаюлнено. Тогда А =. 1!гл и (Р,„) = = ю(Ре) . Аналогично Л = ю(Р„), приходи«а к противоречии«. Мы доказаяи, что и „+ + и„у. и,„— иуу имеют непрерывных представителей. Глеповательно, и„имеет непрерьвного п)кздсгавителя, скажем, (ге.
Можно нагисать лля любых х, у ~= Й, мальгх !х —.те!. и „(х, у) — лх (х „у) .-. !' ()е((э у) г1Й '"е и, таким образом, заключить, что и„„(х, х) существует и совпадает с (Ге. Аналогично и суизестауег и иепрерьюна. Ввиду (!0.32) доказательство теоремы завершено. 3 а м е ч а н и е !0,1. Результаты этого параграфа справедливы также для вариационного неравенства (10.2), (10.1), если Нет(й) заменить на Н~ (й) Г! Но(й!. Вариационное неравенство (10.2), (10.1) называется задачей с пргнлгсгвиезс Другие интересные вариационные неравенства возникают прн ограничениях на вторые производные и; см.
з 12. Задачи 1. Рассмотрите задачу со штрафом Л'и, +б„(и, — р)=0 в й,и,ЕНте(й), где В,(Г) = 7~(Г) ~ !*Ге, если г < О, 7 е ! г) ~ О, если г>0. Покажите, что эта задача имеет решение и,, получаемое прн минимизации Г [! Ло!' + у,(о — ч)! дх, еНб(й). Покажите также, что Г ! Ли, !з == С, .Г 'у,(ие — ч~) < С й П иле -+и слабо в Нз (й),гдеп — решение (10.2), (10.1). 2. Пусть й = ( ! х ! < 1) С Я', р = е — гз, г = ! х 1, О < е < 1. Докажите, что соответству!ощее репюние (10.2), (10.! ) есть функция и = и (г) н (а) (и >~) совпадает с (г>о) для иекоторогоб,0<6 < 1, (Ь) у Лп(1] > О н 4+7 ! Ли = — 1п — +7, !п(1,%) если г >б, (с) Ь = Б, — О, если е — О и, следовательно, функции Ли не илюют модуля непрерывности, равномерного относительно е. 3.
Рассмотрите вариационное неравенство и~К, .Г Ли Л(о — и)> Г Г(о — и) тг оЕК, й И где бй С С' и К= (о~=Не1 Г!Нз(й), а<Ло<!) п.в ), о < 0 < )!. Покажите, что решение дается формулой и = г(с'), где ЛН = у в й, ГЕ 6 Не (й) и г(г) = г, если а < г < б, г(г) = а, если г < а, г(г) = Ц, если г > Ц. Следовательно.
Ли ~ Иок" Гй)для любого 2 <р< (но, вообще говори. и р Сз). 4. Введем конечно-разностпые отношения второго порядка о(х + йег) — 2о(х) + с(х: — йсу) Лга с(х):- Аз Пусть и Е Нт(й), и > !е, р Е С (й), !й Е Сс~(й), О < $ < 1. Покажите, что саян ~р 65 выпуклая, то и + е Ф Ьь» и 1 Ф, если е, Л достаточно малы. 5. Пусть 1 И я(х) = 1 — — ехр ( г 2 (х — ху ) ), 2 где хе = (хе„..., хе) Е й. Покажите, что если о е С*(й), то существуют достаточно большие числа г, а и достаточно малая окрестность У точки хе такие, что я > 112 и (р — а)явыпукла в Н. 6.
Докажите, что решение (10.3), (10.1) принадлежит Н,з,(й). (Указание. Возьмите и = и + ел ' (э Ь~ь ((и — а)Я) в (10.3), ! Е Сот (Й) 0 < ( < 1 ) 8 ! 1. Тонкие препятствия Пусть а — непрерывная функция. определенная на У, класса С' на Я такая, что р(0 на дЯ, шаху>0. (11.2) У Введем выпуклое множество К = ( о Е Нь (й), и ~ Ф п.в. на Я ) и билинейную форму п ди до а(и,и)= ( Х а, (х) — — с~х, а дт=э ' дх! Эх; (11.3) где Ха,;(х)$;Ц~/с!$!э чтущей', хай (7г)0), 2'11 а» 1! э < К. (11.4) 86 Пусть й — ограниченная область в Я" с границей класса Сз и Я вЂ” гиперповерхность в Л" класса С' такая, что Яе делит й на две области Й+, Й (11.1) (рис, 3).
Будем испольэовать обозначение Я = Яе ГЭ й, так что дЯ С Эй. Рассмотрим вариационное неравенство иЕК, (115) а(и, о — и) > 0 1т о Е К. Будем назмвать его задачей с (внутренним) тонким препятствием; Ф вЂ” тонкое препятствие. Прежде чем изучать зту задачу, докажем лемму, применимую к эллиптическим операторам общего вида л д*и аи Аию — Б ац(х) + Х ЬДх) — + с(х)и ах,ах,;= ах, при условии, что 2';;()Е;81>й!~!* (Ь>О). 2!!! ац !!, + Х!! Ь| !!~ + !! с !!, < К (11.6) (с>0). Л е м м а 11.1.
Предположим, что Аи = т в й, й — ограниченная область, и лес (й) с'1С'(й), !!(!!е~М, !!Рт!!е~М (М>1). (11.7) Если !и!<М, !чи !~М на дй, ! и ! К СМ, ! ~7 и ! < СМ в й, так по Аю = — 2а;;иааиат — 2иаациа»вЂ” — 27аг циг — 2ъиаг ий+ 2Ь! ихим+ +27иа,и;+сихиа+уси . Отмстив, что (Аи) л = Аиа ац, л иб+ Ьг. л гй + с ли получаем Ан = 27Аи+ 2иь(Аи)а+ + 2и а (ац х и,; — Ь; х из — с х и)— — 2абимих — 27а~ изит — Уси — сихих. (1! .8) ат где С вЂ” константа, зависящая лищь от а, К и й. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что й С (х, > Ь ), и возьмем о=1 — е <я н" О (Л>О).
Если Л достаточно большое, то о > О, Ао > 0 в й. Применим принцип максимулю к Со х и, получим ! и ! ч СМ. Дпя оценки ! тти ! используем прием Бернштейна, применив принплп максимума к фУнкции и = иаиа + 7и с подходЯщей константой 7 > О, где оь = до/дхх, и использовано правило суммирования по повторяющимся индексам, и; = 2их ити+ 27иии нц = 2и мину+ 2иа иаа+ 27и, и;+ 27иичн Используя предположения (11.6), (11.7), находим Ага ( С 1 ч и 1 (1 ~~ ~ и 1 + 1 '7 и 1 + М1 + т СМ— — 2йил илг — 271с! ~и! < — 7с и л! и и + С! Ч и ~ г + СМг + 7 СМ вЂ” 2'у/с ~ гг и ! г где константа С зависит от й, К, но не зависит от 7. Выбирая 7 достаточно большой, приходим к неравенству Ага ( СМг с другой константой С. Теперь можно применить принцип максимума к СМго — нг и вывести оценку гт ( СМг в й; следовательно, ~ гли ! ( СМ, Нам потребуется также слецуюший результат (161 (1 (см.
также 1109) ). Л е м м а 11.2. Пусть с1(х) = Маг(х, Э й) для х е й, и > 2 — целое, 0 < и < 1. Если дй Е С'" (С'"+а), то су|цествует й-окрестность 1т' границы дй такая, что д(х) е С (Я ЦС "(Лг)1. Вернемся к вариационному первенству (11.5) и предположим, что и — решение. Выбирая о = и+ Те с Т Е С„(й), Т ~ 0 на Я, находим, что и — слабое решение неравенства ЭУ ди~ -х — (~ „— ~» о й.
дх; л дх1) (11.9) Кроме того, д/ дил Х вЂ” ~ ац — ) = 0 в й'лЯ. (11.10) , т' ди ди 'л (и-ч)~ — „+ — ) = О. дд" дд Те о ре ма 11.3. ~уигествует единственное роиение и варинционного неравенства (11.5),причем и ЕСо''(й). Доказательство. Существование и единственность следуют из результатов д 2. Множество Я, = (хеЯ, чг(х)>0) является компактным подмножеством й. Пусть х' =1~(т) — локальная параметризация Я. Тогца гиперповерхности З а:х' = 7'(а) + е'(г) 6 (~ 6 ~ мапо), Если и принадлежит С'(й,) н С'(й ),то ди ди — + — ~0 наЯ; дд дд здесь д — внешняя конормаль к Я относительно йг; т.е.
ц' — имеет направление вектора (ац (х) соа(х, т,.') ), где я.— — компоненты внешней относительно й, нормали иг к У. Если и(х) > у(х), то в действительности мы имеем равенство; таким образом, на Я и > чг, ди Эи — + — >О, (11.11) Эд' Эц где (и'(е)... ее(е)) — вектор и = и в да), параллельны я, отстоят на расстояние 6 и лежат в й+ при 6 > 0 и в й при 6 < 0 при условии, что Д(а) — сужение на малую окрестность Я,. Продолжим р как функцию класса Са в й так, что для некоторого достаточно малогоде >О р(~(а)+ (а)6) ота(йе)).
если ! 6 ! < 6о 6!ат(г(е), Я„) < 6о, и р < 0 на дй. Пусть е!'(х) — функция класса Са(ййе), совпадаюшая с 6!а!(х, Я), если 6!а!(х, Ю„) < до, и не меньше, чем 6о/2 всюду в й+. Определим с( (х) аналогичным образом относительно й . Пусть е((х) =д*(х) в й . Для произвольного е > 0 рассмотрим теперь препятствие в области *) л а(х) р,(х) = р(х) — —. (11.12) е Это препятствие принадлежит Са(й), положительно в окрестности Ь, и строго отрицательно в окрестности д й и на ЯтЯ,.
Рассмотрим вариационное неравенство и еК, (1 1.13) а(и„и — и,)>0 тго~К„ где К, = ( о ~ Но (й), о > ре в й), (11.14) и положим Если и, — решение (11.13), то Аи, > 0 п.в. в й. Поскольку, кроме того, и, ЕНо(й), по принципу максимума имеем и,>0 ай. Следовательно, коинцидентное множество Л, = ( х Е й, и, = !ре) должно содержаться в множестве ( р, > 0). Откуда Ле С ( р(х) > О, с! а(х) < е р(х) ), Л, г!ЯСЯ,. Пусть и — решение задачи Ан=О в й, в=рна Я, в=О на дй~Я. Ввиду принципа сравнения и, > в в йе, Позтому если х Е Л„то д а(х) в(х) < че(х) — — .
е '! В оригинале "Ш!ст оьагас!е". — Примеч. лер. (11.15) (11.16) Так как нс непрерывна по Липшицу в некоторой й+ -окрестности 5„ ю(х)>си(хе) — С!х-хе !, где х — ближайшая к х точка на Я (т.е. !х — х ! = сс(х); заметим, что !х — х ! < < сола! ч'ев силу (11.16)). по определению р(х) в йт5 Чс(х) = чс(хе), если ! х — хе ! достаточно мало, откуда а~(х) — Сс((х) ~ — —, с так что с((х) < Се. Таким образом, мы улучшили (11.! 6): Л, пй лежитв Се-окрестности Я.. (11.17) Функция и, уцовлетворяет условию и,=О в йтЛ. Из (11.17) !сс, !=!ст, !<С в Л,, !Рис ! = ! Расс ! ~~С в Л,. Применяя лемму 11.1, получаем ! и, ! + ! р и, ! ~ С в й'т Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
