Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

1~, / (в1/3) р/ (7.20) Обозначим И(у) фундаментальное решение -г5, т.е. (2 — Л р(у) = 2я !у! < Г(п/2) 2(п э)а "/з если пР'3, если и=2 Тогда функция д)'(у — е) ИУ) =-Х д(т) /т м„р дт/ удовлетворяет уравнению дд Ь| — в /т' ду. в смысле распределений.

Ввиду (7.20) т !8!." <С! и+ — )р'. (?.21) (вз/з) д г! ФУнкциЯ (й,г),, — Я тогда бУдет гаРмоническои в /те р Г) В,/е, и в силУ пРинципа максимума, а также (7.12) — (7.15), (7.21) находим 2 ( е)!<С( + з называются соответственно множествами упругости и пластичности. что дает (7.16). Таким образом, мы завершили оценку и, гт на границе открытого множества /)е () (В(х, д2)е ) р) ввиду (7.14) — (7.16). Применяя принцип максимума, получаем ! не 4( ! < С и ч —,! в этом открытом множестве.

Утверхсдение (7.9) следует из (7.12), (7,13). Теперь можно закончить цоказательство теоремы 7.1. Сначала возьмем е — 0 и заметим, что уе — )р, фе ~+ ф равномерно и н, -~ и равномерно; и — решение задачи (6.4), (6.5); см. задачу 4. Чтобы устранить первое ограничение в (7.2), аппроксимируем с. посредством Ос/, 0 < О < 1, и затем положим () -+ 1. Для устранения второго ограничения в (7.2) аипроксимируем й областями й,„Э й с гладкими границами — класса С; см. задачу 5.

Определение 7.1. Пусть и — решение задачи (6.4), (6.5). Множества. Е «! (7и(х)! <1) г) й, Р=(((/и(х)!=1) г) й Задачи 1. Пусть Р' = ( и = р) Г! й, Р =(и=ф)йй, Е=(~р<и<Р)Г!й. Показать, что Р=Р' !/Р, Е=Е. [У к а з ам не. Если и(хо) !о(х") =с/ — с/(х, дй/) =с — !х — у ],у Е Е дй/, то ит = ~р1 = — 1 вдоль отрезка х у . Обратно, если и! (х" ) = ! и !о(х ) < < и(хо) < чг(хо), то применить принцип максимума к ит в компоненте Л/о мно- жества/!/, соде~жашей хо„и вывести, что и! — = 1 в /уо.] 2 Е„их ~Рци(хо) „,( о) /( о дй) ],о „о! о~дй то весь отрезок х у — множество пластичности, [У к а з а н и е.

Функция тч(х) = и(х) — (с/ — г/(х, дй.) ) удовлетворяет нера- венспзу Энг/д/ < 0 вдоль хоуо (/ — направление от хо к уо) и и(хо) =нг(уо) = О, следовательно, в = 0 вдоль хоуо.] 3. Пусть й — односвязная область в /!з с границей локально класса Се+о; обозначим /'ы..., ~; углы Эй, т.е. точки пересечения Со~о-кривых, образую- ших дй. Показать, что решение (6.1), (6.2) принадлежит й/з'"(йо) для лгобой подобласти й о такой, что йо С й Л ( !'„..., !г/ ) .

[У к а з а н и е. Ввиду результавов [109, р. 382] б(х, Э й) — класса Се+о. Ис- пользовать теорему 7.! и задачу 1 из Э 4.] 4. Доказать, что и = !пп и, естьрешение(6.4), (6.5); дй предполагаетсякласо о С'+". [У к а з а н и е. Рассмотреть сначала пробные функции с, !о <б< чг, такие, что б = 4г в б-окрестности дй, и затем аппроксимируйте п такими функциями с, за- мечая, что и Е С'(й) ввиду задачи 2 из $ 3.] 5.

Если и,„— решения, соответствуюшие й„, и й„, ! й, то и„, -~и п.в. [У к а з а н и е. Если о принадлежит К" и должным образом продолжается вне й, то /(и) < Вш !пГ./,„(и,„), /,о(и,„) <./„,(о) = Х(с).] Э 8. Параболические вариацноииые неравенства а//(х, Ги/Е/ > Л ] 8 ]~ т/ Э Е //" (Л ) О), с/=1 (8.!) и раеиомерпо параболический в Яг, если (8.!) имеет место для всех (х, /) Е 0т с константой Л, не зависящей от х, /.

Для параболических операторов можно решить первую начально-краевую задачу из +Аи=,Г з Ят, (8. 2) и=я на дрДт, 41 Пусть й — ограниченная область врт" и Дг = й Х(0< / < Т). Будем говорить, что оператор и, +Аи, где л д'и и ди Аи — = — Х а//(х, г) + 2! Ь/(х, г! — +с(х, г)и с/= ! дх дх/ ю= г дх/ с козффициентами, определенными в Дтт параболического типа в тачке (х, г). если где длДт = дй Х (О, Т) Г«й Х (О) — параболическая граница Дг. Шаудеровскйе оценки, установленные в й 3, имеют параболические аналоги.

В определении константы Гельдера возьмем [и(х, «) — и(х, «)1 Н„(и) = шр «,О, <»'. Р) «((х, «), (х'. «')) где ««((х, г), (х', «')) = [х — х'1+ 1 « — «'1' «т — параболическое расстояние. Определение 11 и [[„лля и = и(х, г), заданной в («т, тогда аналогично определению, данному выше для функций и(х) в й. Далее, положим 11 и 1[а+а = 11 и ![а + 11 гтхи 11ь + 11)3хн 1[е + 11 «3«н 1[а +Нг+е(тухл) ° где !о(х, «) - о(х, «')1 «+е(о) р г 0 +а)/2 1« — е Шаудеровские граничные оценки утверждают: 11 и 112 та ~ СЙ,«1[е + 11 н 110 + 11 а 112+а) (8.3) где предполагается, что имеет место (83), Е[!а«; 11 +с, 11 Ь«11„+ !!с 11 ° К, (8.4) ь«()г)) О, если ь ь О, г; 1 Ь«(х, «) 1+ !с(х, «)1 «; К, и Эй класса Ст. Тогда решение (8.2) удовлетворяет неравенству.

/ [[и [л +[В„и1л +!О~ и1л +[Р«и !а[дх«««ч,' Ят (8.5) ч С [ 1(1а««х«««+С 1 [[я[л+10х81л+[йят1р+[Вт«81~ «««х«««(8 6) От Ят для всех р> 1, р ФЗ«'2. Доказательства см. в [1б4) или [88[. Для произвольной точки Р = (х, «е) из 1«т обозиачшн С(Ре) множество всех точек Р Е Дт, котоРые моною соеюпшть с Ре иепРеРывной кРивой х = х(з'), « = = «(з) (О ч'з <зе), содаржашейся в Дг, так что «(з) возрастает по з, следуя по кр«ь вой отР кРе. 42 и д й класса Сз+", константа С зависит лишь от Л, К и Яг.

Внутренние шаудеровскне оценки также справедливы для параболических опе. раторов. Подробности см. в [94а и 130[. Для нараболическнх операторов можно установить также Ь"'оценки. Здесь предполагается дополнительно к (8. «) (для всех х ~ («г), что аб, Ь«, с — измеримые функции, удовлетворяюшие неравенствам Е!а««(х, «) — а;-(х, «) 1 < «о(! х — х'1+1 « — «' 1), Строгий п(нюнил максимума. Предположим, что А + д/дг параболический в Д, и с(х, г) > О.

Пусть и — функция, опрецеленная в (ч . такая, что Р.„и, Вти, В~ и непрерывны в Д~ и ди Аи+ — ч;0 в Дг. дг (8.8) Тогда для любой точки Р Е Цг„если и(Р ) = апр и > О, с(г') то и ° сопят в С(Р ). Этот результат справедли1т также, если Ре Е й Х (Т) при условии,что и непрерывна в Яг ОЛ Х (Т). Другой вариант принципа максимума утверждает, что если и принимает неот- рицательный максимум в Дг в граничной точке Ре Б дй Х (О, Т~), и сепии < и(Ре) в некоторой Дг окрестности Ре, то ди — > 0 в Ре дд дяв любого внешнего (относительно й) направления д в Ре.

Здесь предполагаетди ся, что и принадлежит С' в Дг.окрестности Ре (иначе — берется как 1пп 1п( кодл печных разностей) и имеется шар В С й такой, что Ре Е дВ. Сушествовяние единственного решения (8.2) может быть установлено на осно- ве либо шаудеровскнх оценок, либо И.оценок. Первый подход (с шаудеровскими / граничными оценками) требует большей гладкости данных, именно: чтобы выполня- лось (8.4), дй была класса Сз+е, правая часть (8.3) была ограниченной и выпол- нялось условие согласования 8,+Ад=у' а ай Х(О). Решение тогда регулирно; именно: .О,и, Хфи и )З,и непрерывны по Гельдеру в И, При использовании внутренних шаудеровских оценок требуется лишь, чтобы дй удовлетворвяа усновню внешнего шара и я была непрерывной на дрЯг.

Тогда )ухи, Ф4 ))ти непрерывны по Гельдеру в Юг (см. [94а) ) . Второй подход требует меньшей гладкости данных, но производные 2)„и, В„'и, В~и берутся только как слабые производные в т,г, Если ~7.„аб сушествует и ограничен, то можно ассоциировать с оператором А билиаийиую форму ди ди ди а(т,и, с) = 3' Х аб — — + Х Ь! — с ь сии)дх, (8.7) а~ а,- ах, ах, ая„ гд Ь|=Ь, + Т' ,— . дх; Положим (с, ю) = )'сне(х. Тогда первая начально-краевая задача может быть переформулирована в спабой постановке: (нос — и)+а(е;и, с — и)=(Т, с — и) для п.в. гЯ(0, Т), ЧсЕН Щг), и = я на д р 9г.

Преобразование й=е "' и отображает и, +Аи=У в й, + (А + й)и = е "'~ и а(г; и, о) в а(П й, о)=а(г; й, о)+й(й, о). Если й достаточно большое, то а коэрцвтнвна. Без потери абшнастн можем предполагать, чта а(т; и,и)~>йе Г(! чи /т +и')Ых (Ле >0). (8.9) Такие преобразования глогут использоваться также в вариационных задачах, обсуждаемых далее, поэтому всегда можем предположить (если 9 а! Е Е ), что выполняется (8.9) и с(х, г) > О.

Пусть К вЂ” какое-нибудь замкнутое выпуклое подмножество Н'Ят). Рас. смотрим следуюшун1 задачу: найти и такую„что иЕК, (ив о — и)+а(Г; и, о — и)Р(т,' о — и) ч оЕК дчя п.в. гЕ(О,Т). (8.10) Зта задача называется параболическим вариационным неравенством. Мы будем изучать здесь только один вид вариационного неравенства, который сейчас опишем. Пусть р(х, г) — фтчнкция, определанная в Ят с равномерно непрерывными производными Р р, Р,чг, Р, р; р <8 на д рг2т. Рассмотрим выпуклое множество Кп(оЕН'Ят)опй ва д Д~, о>~р п.в.),. (8.11) где равенство г = я на дрДт поннлюется, как обычно, в смысле следов. Вариацнонное неравенство (8.10) с К вида (8.11) называется параболической задачей с препятствием, а р — препятствием.

Единственность и устойчивость решепин параболических вариационных неравенств (8.10) с К обшего вида легко следуют из условия коэрцитивности (8.9), какие й 2. Для доказательства сушествавания в задаче с препятствием используем метод штрафа. Вводя функцию 8,(г) как в (3.12), д 3, рассмотрим задачу иг+Аи+бе(и — р) =т' в Ят, (8.! 2) и пб на др(гт. Предположим, чта (8.1), (8.4) выпалне|1ы, с>0, дй~ С '", э", е, Р„.е, Рай, Ргй принадлежат Са((гт) . (8.13) Л е м м а 8.1.

Если выполнены услович 18.13), то сущестеуег рещение и =и, задачи (8.12) и ! !),(и, — чг)! <С, (8.14) где Сне зависит от е. До к аз а тел ь от в о использует такие же аргументы,кака й З,и оставляется читателю. Теперь можно использовать параболические 2.а-оценки, чтобы вывести, по и, - и равномерно в Дт и и — решение (8.10).

Более точно, и удовлетворяет задаче и, +Аи>7" и ~ ээ 1„..;„ (ие + Аи- т') (и — ~р) = 0 ! (8.15) и =я на д 12т. Единственность следует из коэрцитивности, если предположить 1Р ац! <С (8.16) (так что а(г, и, о) можно было определить) . Резюмируем: Т е о р е м а 8.2.

Если выполнены (8.13), (8116)„то существует единственное решение задачи с препятствием (8.10), (8.11) и Р„и, Рз и, Р,и принадлежат ЕРЯт) ж1 < р <». (8.17) Отметим, что (8.!7) означает, что и непрерывна по Гельдеру по х н г с любым показателем 8 > 1. Мы опишем другой подход к изучению задачи со штрафом, который обеспечивает более высокую регулярность. Для простоты допустим, что аб„дь с, у не зависят от г, 7; ограничена, 8 =О. (8.18) Заметим, что д ди, , / ди,'тз бе(ие Ф) = бе(ие ~р)~ / е'- 0 п,в (8.19) Полагая и, = и, дифференцируя уравнение в (8.12) по т, а затем умножая на (ди/дг)з» ' (й — положительное число) и интегрируя по й. в силу (8.19) получим ох+ 34 «тх ~ з» вЂ” ~ l Л Их ~ С 3 — Их (8.20) мы предположили (временно), что для п.в.

Характеристики

Список файлов книги