Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 10
Текст из файла (страница 10)
[У к а з а н и е. Продолжить и нулем и показать, что и гармоническая в окрестности (х =0),] 5. Предположим, по коэффициент проницаемости й не константа: 1с = х(у). Заменим (5.8) на есх) Х И(с)(и(х,г) — с)с(г, если 0<у< р(х), ю(х, у) г О, если у)~р(х). Определим С(О,у)=]' й(г)(Н вЂ” г)с(г, у и С(а,у) = Г И(г)(Ь вЂ” г)с1с, если у<А, х хт х С (х, 0) = С (О, 0) 1 — — (+ С (а, 0) —, если 0 < х < а, а а С = О почти всюду на д й, К= (иЕН'(й), и= С на дй, с>0).
Показать, что ю решает вариационное неравенство ) Т7ю 7(е — ю)Э вЂ” ((и — ю) ЧсЕК; юЕК, Доказать, что если й (у) > О, теорема 5.6 остается верной. (Указание. Покажите,чтою„<Ои (е ьи) <О,гдее" =х.] з 643адача упруго-пластического кручения. '~-регулярность Будем рассматриват) варнационное неравенство с ограничением на градиент: найти функцию и такусо, что иЕК, ,(' ч'и 7(и — и)с1х>дт' (и — и)с1х 1г еЕК, (6.1) 0 гс где К = ( с ~ Не (й)' ~ ~7 с ] < 1 п.в.
) . (6.2) Здесь и — данное положительное число и й — ограниченная область в Н". Сначала объясним, как возникает такая задача в физике. 48 Пусть й — ограниченная односв язная область в )1~ и Д вЂ” цилиндр ((х,,хг) ага, 0 <ха <!): (! представляет собой стержень нз идеально упруго-пластического материн.а, зак. репленный у основания (х, = О) и закрученный на угол а у вершины (ха =!). Далее, предполагается, что на боковой поверхности Д нет вне~шшх воздействий. Если а достаточно мало, то и деформация мала. В предположении, что обьем, занимаемый (!, не изменяется при кручении, из теории упруга-пластичности следует, что две не обращающиеся в нуль компоненты тензора напряжений о„„и а „можно записать как Ьгд где и (потенциал напряжений) — решение (6.1), (6.2) с и = 2Ха, Х— козффициент сдвига.
Если и = и (х„хг) найдено, то вектор смет)гения (и,, и,, иг) в Д подсчитывается из формул иг ахата, иг йхаха, иг йи(х! Хг) где ф определяется из уравнений дР ! ди -хг т — = — (! +Х) —, дх, д дха д!й 1 ди хг + = — (1+Х) дх, и дхг и Х = Х(х,, хг ) — Решение зтшачи ~1и+Ч (хри)= — и в 11, х = О, если ! Ч и ! < 1. (6.3) Предположим, что а! — неодносвязная и что она имеет конечное число "дырок", скажем, Йг,..., Йги Каждая й, есть область с односвязной границей д й;.
Положим а 52 =ПО( !) (2,) г= 1 и рассмотрим вариационное неравенство иаК*, ,(Чи Ч(и — и)г!х>д !" (и — и)г!х Ъ'иЕК', (6.4) где К" = ( раНе(аа*), !Чо!<1 п.в., Чи=О в каждой П;). (65) 4. А Фридман Здесь и имеет такую же физическую интерпретацию, как и выше. В дальнейшем будем изучать (6.1), (6.2), только когда й односвязна, и (6.4), (6.5), когда й имеет конечное число "дырок".
Многие из результатов, которые мъг получим для (6.1), (6.2) будут верны, однако, и в случае, когда й многосвязна. Можно рассматривать (6.1), (6.2) как частный случай (6.4), (6.5) . Согласно общим результатам из д 2 существует е,панственное решение варнационного неравенства (6.4) . Для произвольных множеств С„С, обозначим г!(х, С, ) = йгат (х, Са ), г! (Сг, Сг ) = йа! (Сг, Сг). Введем функции у(х)= шах (с» — И(х, й»)) (хЕяи), о<»<» (6.6) (6.7) ф(х)= шах (с»+о'(х,й»)) (КЕБЫ"), о<»<» где йо = Аи ~й", со = О и с» — сужвние и на й», и — решение (6 4).
Заметим, что р, ф непрерывно по Липшицу с константой 1. Так как [ чи [ ~ 1, легко находим, что (6.8) 1 с„— с, 1 < с1 (й», й~). Также и=-~~=ф=с» в й», и = р= ф = 0 на дй'. (6.9) Положим 1 у (и) = — ) ! и и ) — и ) и. 2 н Я Тогда решение и задачи (6.4) таково, что У(и) = ппл У(и). ич Ки 0 < и < д (х, д й) [и — решение (6.1) ) . (6.11) Так что решение задачи (6.1) принадлежит множеству К = ( и Е Не' (й), 0 < и < о (х, д й) и в. ), (6.12) а решение задачи (6.4) — множеству К" = ( иЕНо(й'), ф<и< ф ив.) .
(6.13) Рассмотрим вариационные неравенства иЕК, ) ии. и(и — и)дх>и) (и — и)дх ЧиЕК, иЕК', ) 7и. и(и — и)с(х)1»((и — и)дх ЧиЕК*. (6.14) (6.15) Первое есть задача с препятствием, второе — задача с двумя препятствиями. Те о ре ма 6.1. (1) Решение задачи (6.1) является решением задачи (6.14). (й) Решение задачи (6.4) является решением задачи (6.15) . Отметим, что в определении К* константы с„зависят от решения и задачи (6.4) . Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточно доказать (й) . Поскольку К * З К *, дос. таточно показать, что решение й неравенства (6.15) принадлежит К'. ' 50 Поскольку и' Е К" и у(и" ) ~У(и), где неравенство строгое, если шея(и < 0) )О, то и ) 0 в й. Таким образом, в частносш, с» неотрицательны. Отметим также, что ф(х) <и(х)< ф(х) [и — решение (6.4)1, (6.10) Удобно работать с вспомогательным вариапнонным неравенством йЕК', ( чй - !Г(е — й)г(х+ е( й(о — й)ох> (6Л 6) П гг >р~ (е — й)г(х 'ч" еЕК*, гг где е> О. Продолжим й нулем в И" 'гьг'. Возьмем произвольно е Е И" так, чтобы р = = ! е ! было достаточно малым, и рассмотрим фуикини и'(х)= агах(й(х — е) — р, й(х)), и (х) = глаз(й(х+е)+р, й(х)) и множества Е'= ( й(х — е) — р) й(х)), Е = ( й(х + е) + р ( й(х) ) .
Так как й (х + е) + р р (х + е) + р > гг(х) и й (х — е) — р ( ф (х), имеем ~р (х) < и (х) < й (х) < и" (х) < ф (х) в й. Поэтому и' пи принзднежат К". Кроме того,Е' с й, Е С П,Е' =Е +еипоч- ти всюду ~ Чй(х — е) в Е", г и+ (х) = 1 Тгй(х) в йЪ'~Е+, / йй(х+е] в Е, гги (х)= 1 '!Гй(х) в й'гЕ . Подставляя и = и' в варнационное неравенство для й, получаем Г г й(х) ° г (й(х — е) — й(х)) + +е Х й(х)(й(х — е) — й(х) — р)Р и ( (й(х — е) — р — й(х)). Е Е" Теперь подставим и = и в варизционное неравенство для й и после замены х -' -+ х — е получим ! 'ггй(х — е) тг(й(х) — и(х — е)) + е ) й(х — е) (и(х) .— й(х — е) + р) > е Е >д ) (и(х) + р +й(х — е)). Складывая зтн два неравенства, находим, что !' ! ~7(й(х) — й(х — е)) ! з + + е ) (й(х) — й(х — е) + р) (й(х) — и (х — е)) > О.
Е' Так как и(х) — и(х — е) + р ( О в Е", глез Е" = О. Аналогнюго глез Е = О и, таким образом, ! й(х — е) — и (х) ! ( ! е ! . (6П7) Вспоминая, что й зависит от с (скажем, и = йе) и устремляя е к О, выводим такое 51 же неравенство, как (6.17), Лдя решения й задачи (6.15) . Следовательно, ! т7й! < <!и иЕК". Поскольку препятствия р, Ф не принадлежат, вообще говоря, даже С', мы не можем вывести дальнейшую регулярность и из результатов 5 3 и 4. Докажем регулярность другим методом, предполагая, что дй локально липшнцеваи удовлетворяет условиювнешнего шара. (6.18) Последнее условие означает, по существует Р > 0 такое, что для любой точки хо ч= дй существует шар В с радиусом Р такой, что В т! й = о1, В П дй = ( ха) Теорема 6.2.
Если (648) вмлолняегся, го решение и задачи (6.4) удовлетворяет условию !1и ~ 1Р (й) для всех 1 < р < о. (6.19) До к а за тельство. Построим функции и, из К", которые аппроксимн- руют и и равномерно регулярны. Более точно, рассмотрим задачу ! — Ьи +и + ' ) ар!(и,-и)=Овй, !ьо и! Р— ! е (6.20) и! — ч! Е Во(й). (6.21) Докажем, что для некоторого !о, Е А" (й) существует решение и, задачи (6.20), (6.21) и ! !ч, !те!й! ~ !.', С не а~висит от е, ие Пред!опояз!м, по зто доказано.
По лемме Мивтв 1' т!и 7(и — и) ) д 1' (и — и), й й и, полагая и = и,, получаем 1" 7и, . !!(и, — и) >р 1' (и, — и). й й (6.24) В силу (6.22), (6.23) и (6.20) Ьи, е Ь" (й). Так как чти, т7!о = - ( Ьи, и й й для любого ю С Со" (й), то последнее соотношение верно для и Е Но!(й). Следовательно, из (6.24) получаем — ( тти, . (и, — и) '~(!(ие — и). й (6.20), имеем где 4 = р)(1! — 1) !и„— и !о й Вычитая — Ьи, из !! — 1 й ! и, — и ! " — ) !г, (и — и) > р ( (и — и), й й Используя (6.22), наледям, что ! ! < С( „Г !и, — и$ч)ч с"' ! и, таким образом, ( ) |сс, — и1»)» < С,. (6.25) Затем можно вывести из (6.20), что 1 1Ьи,1а < С, (6.26) откуда следует,чтои, — иприе- 0 и ) ~бсс[» < С и Тогда «, — иг < щах(зор(и, — иг), аы (6.27) ьнр(Рс — Рг), ьор(Фс — Фг) ) . Доказательство.
Положим и = и, — и иобозиачим Мправую часть (6.27) . Пусть хо Е й, и (хо ) = пах и. Если и (хо ) > М, то хо Е й и иг — Фс > иг — Фг. и, — Рс > иг — Рг и х о Следовательно, тбь(ис — Фс) > тбь(иг — Фг),- В(ис — Р,) > В(иг — Рг) в окрестности Лс точки хо. Но тогда — дси < О в максимума. Теперь можно взять произвольные функции Е Но(й), Р' — Ф Е Но(й) и любую ограниченную возрастающую функцию В(г) такую, что В(0) = такую, что — Ьо +тбь(о — Фо) + В (о — Р) = О в й, и — Ф Е Нос(й).
сч', что противоречит принципу Фо ЕК*,РЕК*~Фо — ФЕ непрерывную строго монотонно О. Рассмотрим задачу: найти о (6.28) (6.29) Отметим, что оператор А, определесцсьсй по формуле (Ац св> = 1' [%'о ттсо+7()ь(о — Ф„)и + Вба — Р)и [. 53 Остается постро~т~ иг, юо. Для произвольного 0 < Б < 1 пусть [)ь(с) — функция класса С', удовлетворяю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
