Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда х Р ЗЙ, так как иначе и — ('(х') — Ве н (л — д) >б, н(0) >б,(0). С другой стороны, если х Е Й, то в силу монотонности б,, н(т) по г также и — р принимает минимум в точке х, причем минимум неположительный. Из доказательства принципа максимума следует, что А(и — тг) <О в хе. Но тогда (3.14) дает г(хо) ~ Г(хе) — А „г(хо) > — С (3.1б) Таким образом, мы показали, что ~ Д, н(и, и — чг)! КС, Сне зависитот е,Х (3.17) Отсюда следует 1Аи, н1е <С и ввиду й"-оценок 1 и,,н1г, <С. Так что, если гт' достаточно большое, то и, н будет решением задачи со штрафом (3.13) .
Возьмем последовательность е = е„, -+ 0 такую, что и, и слабо в йтг'"(Й) ар< Следовательно, и,~ и равномерно в Й. Поскольку ~ б,(и, — а)~ чС, выводим, что имр, О~Си — чг)-+О иа множестве ( и)гг), 11 б,(и, — ч) <О 6 0 Окончательно, А и = (' п.в. на ( и > чч ), А и > у п.в. в й.
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Т е о р е м а 3.2. Предположим, что имеет место (3.9) — (3.11) . Тогда существует решение и вариационного неравенства А и — т" Р' О, и > 1е, (Аи - т") (и — 1е) = О и в, в й, (3.18) и=8 на Эй, и и Е !та"Я(й) для любого р < ". Те ор е м а 3.3. Пусть и,, ит — решения иэ 1т~'~ (й) О С(й) вариационного неравенства (318), отвечающие) ~ и !', соответственно, Если)~ >та, то и, > ит ив.
Теорема сравнения влечет единственность. Те о р е ма 3.4. В предположениях теоремы 32 решение вариационного неравенства (3.18) единственно. Из этого следует, что решение и, построенное в теореме 3.2, не зависит от выбора функций 8,. Доказательство теоремы ЗЗ. Предположим, что открытое мно- жествоС,где и, > и, непусто. Так как ит >и, > О на С, А из =Л, А и, >)',. Следовательно, А(ит — и~) <О в С. Также и, — и~ = 0 на ЭС. Поэтому в силу принципа максимума ит — ш <О в С; приходим к противоречию. Теорема 3.2 может быть улучшена за счет ослабления условий на А, у', я и,е. С точки зрения приложений нас интересует, в частности, ослабление условий на р.
!(ля этого напомним понятие усреднения. Пусть р(х) — функция из С (Вп) с носителем в единичном шаре такая, что р>0, )Рд»=!. Положим рь (х) = б "р(х/Ь) для любого б > 0 и рассмотрим усреднение ( геийх) = 3рь (х — у)и(у) ау (и Е И(й), 1 < р < ]. Напомним (2,94с„,109],чтоХьи принадлежит С (Л") н (Уьи — и! -+О, если б-~0 са(к) для любого компактного подмножества К из й.
Непрерывная функция Дх) на открытом множестве йа Сй" удовлетворяет -неравенству Э'ф — >О Эсг в смысле распределений (в о (йе) ), если для любой функции 1 Е Со" (йе), ( > О, выполняется неравенство ] 1б — м 0; бег здесь д/Э8 — производная по направлению $. Полагая 1 = ра, заключаем, что д' 68з <ха Ф)> о в обычном смысле в й прн условии, что й сгйе и 6 < айат(й, 6йс1. Теперь заменим условие (3.9) следующим; ,р~ Со ~(й ) Э р — « -С в;У/(йе) для любого направления $, Э8' где й е — окрестность й.
Последнее условие означает, что д / 1 —,1 ге+ — С!х!' ! «О в .тп(йе). Э$~~ 2 l Полагая Ф =тл1 р+ — С!х!' ! — — С!х!', (3.19) (з.го) легко находим, что !в„,! «с, — > -С д геь (3 21) Эез рь (х) -ь р(х) равномерно в й при 6 - О, где С вЂ” константа, не зависящая от 6.
Те о ре м а 3.5. Пусть (3.10), (3,11) и (3 19) имеют место. Тогда утвержде- ние теоремы 3.2 справедливо. Д а к а з а г е л ь с т в о. Повторим доказательство теоремы 3.2, заменив р на рь в задаче со штрафам и налагая, например, 6 = е. Из (3.16) при зз = да видим, что если А~р «С, Сне зависит от 6, (3.22) то все оценки остаются справедливыми независима от 6; полагая 6 е -ьо, полу- чим, как и раньше, что решение (3.18) принадлежит И'те(й) для любого р < ' . Таким образом, остается доказать (3.22) . Дпя любой точки хе Е й мы можем выбрать ортогональное преобразование так, что в точке х = хь д' Е-агг(хе) переходит в Ь.
дх,дхт В силу (3.21) получаем (3.22). Напомним оценку !Иь ( 1 С!Ф!и Ол1 Ъ4 ~С (й) (Эй, к примеру, класса С'). Поскольку С'(й) плотно в Н'(й),если Эй класса С' (см. [94с и 1091), то любая функция из Н '(й) имеет след в Т.'(Эй). Оператор следа является линейным непрерьвным оператором из Н'(й) в Е (дй),совпадаю- щий с "сужением ф на Эй",кагда ф ЕС'(й). Пространство, двойственное к Не(й), обозначается через Н '(й). Предполо- жим, что а„ЕСе'(Й), (3.2) и (ЗЗ) имеют место, г.ен-'(Й), рен'(й), (3.23) КЕН'(Й), 8ЙЕС', и введем билинейную форму аи аи / Эаб ~ аи а(и, о)= )1 Хан — — + 2'~ ьг+2 р — и + сии и 1 " Эхг дхт ~, дхт I Зхг (3.24) Вариационное неравенство (ЗЛ 8) можно переписать в виде а(и, и — и)>(У; и — и) гтиЕК; и ЕК, (3.25) где К = ( оЕН (й); и — КЕНед(й), о> р п.в.
в й). Если а(и, и) коэрцитивна, то теорема 2.7 дает существование единственного решения задачи (3.25), (3.26). Существование также можно установить в случае некоэрдитивной формы а(и, о), но с(х) >О (см. [34]). (3.26) Задачи Доказать, что решение и вариационного неравенства (3.25), (3.26) принадлежит йгг,р (й) [У к а з а н и е. Умножить дифференциальное уравнение в (3.14) на гч ] ]) гч н вывести оценку (]]) (и , — р)] < С.] 2, Распространить теорему 3.2 иа случай К= ( и~ — Н,,'(й); р< о< г[г пв.), где р, чг е с'(Й), р < и < ф на эй.
зто задача с двумя препятствиями, и решение и удовлетворяет условиям Аи — у'Р'О, если и< $, Аи — р'< О, если и> р, Аи — р"=О, если р< и< ф. Распространить также на этот случай теорему 35, [У к а з а н и е. Рассмотреть уравнение со штрафом Аи+Р,(и — Чг)+т,(и — 4)=1, где у (т) > О, у,(г) -~,если г >О, е -«О и у,(г) -~О,если г < О„е -+О.] 3. Предположим, по а(и, о), определенная в (3.24), коэрцитивна.
Пусть иг, и, — решения (3.25), (3.26), отвечающие Гг, чг,, яг и уг, чгг,аг соответственно. Показать, что э'г «Уг рг в рг, яг > аг влечет и, > иг. 1. Пусть выполнены предположения (3.23), а(и, о) коэрцитивна и с > О. Предположим, что у ЕУУ(й), рЕ 1т~ж(й) Зй ЕСг еЕ Иггж(й) 1 < о < (Указа ни е. Подставить п = гпах(и„из) в вариационное неравенство для и, и и = т!п(и?, и?) в вариациоиное неравенство для и? и вывести, что а(и, — из, (из — и?)') в О.! 4.
Рассмотрим вариационное неравенство — и +пи>); и>0, ( — и +пи -)')И=О пв. в А, п>0. Показать, что если У'" имеет ?ч' ( нулей, то свободная граница состоит из не более чем ?У+ ! точек; предположить, что и Е й?,~~ Р(Я). 5. Пусть а(и, п) такая же, как в (3.24), и предположим, что а(и, о) козрпи- тнвна в Не (й ).
Будем говорить, что и — локальное решение (3 25) при К= (пЕН'(й); п>че п.в.), если а(и,л(п-и)) > Цл(п-и) ?ее~к, чесс(й), ц>0. Доказать: если р е В?з р(й), г' Е Лр(й) и и — локальное решение (3.25), то и Е е И? з'р(й) (У к а з а н и е.
Для любой функции 7 Е Сп (й), 7 = ! иа й', 0 я-: 7 < ! в й(й' С й), пусть Кт = (ИЕНе(й); о=~ 7?е пв. в й). Показать, что а(7и, и — 7и)> /(7(п — 7и)?тх — ) Еи — ~ац — ) ди д7 + 2ац — — (о 7И)е(х + дх? дхт дойч, д7 + )'~~Ь? е ~ — ) — и(п-7И)Ж~ ?тпЕКт п ? ! дх?,т дх? Из задачи ! следует !7И1,, < С(!и!1, +!У1, + !7Ф!2,).1 6. Доказать, что решение задачи со штрафом единственно. 7. Пусть Й вЂ” область в В" и й, = й г? Вн, й? = Вн?й — непустые области, где Вн — шар с радиусом Я. Предположим, что д й р! В, класса С' для некоторои' го А' > А, и положим Г = дй Г? Вл. Предположим, что И1 Е Н?(й?), и? = и, в смысле следов. Показать, что функция и= и, в й,, и, в й, принадлежит Н'(Вн ) .
Этот результат называется леммой о Н'-склейке е). (Указание. Возьмите й =(х„> 0) и определите пз(х, х„) =из(х, — х„), е' = и, — о? в й,. Существует (е Е С'(й), $',„-+ (г в Н" (й,), К (х', 0) - О в Л ' (Г) . Рассмотрите усреднения ,7е?е(х) = .( р,(х' — у', хп —,уп — 2е) ?е(у)ф' и, *! В орпгппепе пц?с?япа ?епппа. — Примеч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
