Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Следовательно, уА и„ ИуАи„И Так как у„— элементы из М, то существует подпоследовательность у, -+ у, Иу И = 1. Можно также предположить,что и„,-ни. И!о тогда <у, о — и> > 0 ЧисМ, откуда у = 0; приходим к противоречив. Шаг 2. Пусть М такое же, как и выше, тогда у'Ау' непрерывно. Действительно, в противном случае существует последовательность ип к-. М, и„-+ о, у*Аи„-аао (мы используем здесь (2.6) и ааЕМ' такие, что и чьу'Аи. Поскольку (у Ао„— у' Аи, о„— и ) > 0 аги ~М, Полагая в этом неравенстве и = из лри ! = 1 и и = и, при У = 2, а затем складьвая, получаем (Аи, — Аиз, и, — из> < О, откуда и, = иг. Аналогично рассуждая, можно установить единственность решения в случае (Аи — Ац и — о) >аИи — иИг~ь, п>0, б>0. (2.7) Те о р е м а 2.5. Пусть оператор А такой же, как пусть имеет место (2.7) .
Если У',, Уз — элементы иэ Х <Аин и — и;> > (ун о — иу> >уоЕК„ то 1 Ии! изИх~ ИЛ узИк'' Действительно, подставляя в (2.8) и = из при г = 1 складывая, получаем (Аиа — Аиз, и, -- из) > 1(Уа — Уа, иа — из)1 в теореме 2.1 или 2.2, и и иу, У = 1, 2, — решения (2 8) (2.9) и о =и, лри ! =2,а затем откуда, используя (2.7), вьшодим оценку (2.9) . 2.
А. Фридман то ( и — у'Аи, и — и > > 0 и в силу леммы 23 < ао — у'Аи, и — и > > 0 ау и СМ Полагая и = о — г, г Рг М, получаем и — У'Аи = 0; приходим к противоречию. Шаг 3. Согласно шагу 2 А удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2. Таким образом, теорема 2.1 следует нз теоремы 2.2. Лемма 2.3 означает, что мнозсество всех решений вариациоиного неравенства (2,1) замкнуто и выпукло. Докажем теперь единственность.
Монотонный оператор называется строго монотонным если из (Аи — Ац и — и ) = 0 следует и = и. Те о ре ма 2А. Если А — строго монотонный оператор, то существует не более одного решения вариаиионного неравенства (2.1) . До к аз атал ь от я о. Если им из — два решения,то (Аин и — иу> Э~О >УиЕК, Теперь мы распространим теоремы 2.1 и 2.2 на случай неограниченного множества К.
Предполоним, что оператор А коэрцитиаен в следующем смысле: сушествует элемент до Е К такой, что 1 — <Аи — А~ро и — ~ро) -ь~ (2.10) иЕК, Н и И-оо~. Те о ре м а 2.6. Пусть К вЂ” неограниченное эамккутпе выпуклое множество и оператор А такой же, как а теореме 2.1 или 22. Если оператор А коэрцитиаен, то существует решение (2.1) . Отметим, что теоремы 2.4 и 25 справедливы и при неограниченномК.
При доказательстве используется идея усечения. Для произвольного 7< > 0 введем ограниченное выпуклое множество Кл =КО (Ии И~ ЯИ н обозначим ил решение вариационного неравенства, соответствующего Кл. Если Нил И ( Я для некоторого 1(> О, (2,11) то и является решением (2.1). НИяя любого и ~ К существует достаточно малое е >0 такое, что ш =и, + е(и — ил) принодлежитКл. Спедовательно, 0< <Аил, ш — ил) = е(Аил, и — ил), откуда вытекает (2.1) с ио = ил для произвольного и ЕК. Остается доказать (2.11). Из условия (2.10) получаем, что доя любого С > 0 существует 1< > 0 такое, что Я>И роН и (Аи — А~Ро, и — ~Ро) >СИи — РоИ ЧриеК, Ни И~-'7(. Возьмем С> Н А~ос Н.
Тогда (Аи,и — <оо) > (С вЂ” ИА~роН) Ии — <ооН > :.>(С вЂ” ИАроН)(ИиН вЂ” ИиоП) >О. Если (2.11) не выполняется, то Иил Н = й. Тогда, полагая и = ил в последних неравенствах, получаем <Аил, ил — ро) > 0 в противоречии с тем, что ил удовлетворяет вариационному неравенству. Мы приведем другой метод доказательства существования; он применим только лишь в гильбертовых пространствах, но очень прост. Обозначим т' вещественное гильбертово пространство, Нт — его двойственное (, ° ) — двойственность между Нт н т . Пусть К вЂ” замкнутое выпуклое множество я Н' и à — элемент из Н' . Расом<игрим билинейную форму а (и, и) на т' Х Р, Предположим, что она ограничена, т.е.
!а(и, и)! ~ СНиН Н иИ, (2.12) и коэрцитиана, т.е. а(и, и)>о(и И >ти Е 1" (а>0). (2.1'3) Те о р е м а 2.7. Существует е<>инственное решение и Е К аариационного неравенства а<и, и -- и') > <7, и — и ) )т и Е К. (2.14) Кроме того, отображение Т вЂ” и непрерывно в следующем смысле: 1 )и, — из1т < 1!Л вЂ” Уз1, » (2.15) где и; обозначает решение, соогветствуюи1ее То Эта теорема вытекает из иредыд>лпих результатов (если определить А формулой (Аи, «> = а(и, и) - (Т, и>; А — линейный оператор), но доказательство ее можно провести проще. До к аз а тел ь с та о. Чтобы доказать (2.15) (и единственность), положим и = из в вариационном неравенстве лпя и, и и = и, в вариационном неравенстве для из, а затем сложим. Получим а(и, — из, и, — из) < (71 — Тз, и, — из), откуда следует (2.15).
Для доказательства существования положим (Т, и) = (7,о), где (,.) обозначает скалярное произведение в )г, а Т вЂ” некоторый элемент из т'. В случае а(и, о) = (и, о) решением (2.14) является и = Ргх Т. В общем случае, если а(и, о) симметрична, то скалярное произведение в Р определим следующим образом: ((и, и)) = =а(и, и).
Положим (Т,и) = ((Т, и)).решение и есть проекция (в метрике ((,.))) элемента Т на К. Если а (и, с) не является симметричной, то введем 1 т(и, и) = — (а(и, с) + а(ц и)), 2 1 о(и, и) = — (а(и, о) — а(и, и)] 2 — симметричную н асимметричную части а(и, и) .-Положим аг(и, и)=з(и, и)+го(и, о) (2.16) для О < Г < 1. При Г = О существование уже установлено.
Теперь, шаг за шагом, докажем существование на г-интервалах О < г ~ г,, г, < г < гз и тд. до г = 1. Прн этом используем (2.15) и теорему о негюдвнжной точке дпя сжимающею отображения. Предположим, что существование при всех О < г < г) уже доказано. Обозначим т = г.
и перепишем ! а,(и, и — и) 1 (Т', и — и ) (2.17) в виде а,(и, и — и) ) (7, о — и) + (т — г)о(и, и — и). Пусть Г„(и) = (Т, и) + (т — г)о(и, и). Это ог(юниченный линейный функционал на 1',и поэтому его можно записать как (тч,и), Ти С Р. При произвольном ю Е 1~ рассмотрим вариацнонпое неравенство а,(г, с — г) > <Т,„,и — г> чти~К; гЕК.
Оно имеет единственное решение г, которое мы обозначим Тте; в силу (2.15) 1 1Тю| — Тнз11~ — 1!Т,„, — У;„, !1, < С! г — т! 11н, — 1чз1. Полагая ! г — а! ~ 1!2С, заключаем, что Т является сжимающим в 1г. Следовательно, Т имеет неподвижную точку и, т.е. Ти =и, что и означает (2.17). В заключение этого параграфа привецем результат об устойчивости относительно изменения выпуклого множества К. Дла простоты фе рмулировка дается только в ситуации теоремы 2.7. Нам потребуются следующие условия: Кд — замкнутые выпуклые множества; (2.18) т-!!гпКд = К = и~-!!п1Кд.
Последние равенства означают: (1) если х Е К, то существуют хд Е Кд такие, что $хи — х $ -ь О, (П) слабый предел любой последовательности х „х, Е К „принадлежит К, условие (1!) выполняется, например, если К„С К. Те о ре ми 2.8. Пусть а(а, и) и К такие же, как в теореме 2.7, и лусть К„ удовлетворяют (2.18)„7'„Е )г, /д~)'в У и па — решения н„ЕКд, а(ид,и — ид) ~ ()д,и — и„) 'чиЕКд. (2.18) Тогда ид - и слабо в )г. До к аз атал ьот в о. Если ид ЕКд, то о!~и„- и$ ~ а(ид — и,ид — и)=а(и„,и„- и) — а(и,ид — и) ~ (!д,ид - и> + С$и$ $ид — и$» < (С$ и$ + $)д $к,) $ид — и$. Принимая и = ид -ь и' Е К, вывоцим, что 1 ид $ < С (с другой константой С).
Следовательно, из любой подпослсдовательпости и„можно выделить слабо сходящую. сд. Если мы покажем, что из слабой схоцимости и„- ги вытекает, что н является единственным реше~ием (2 Л 4), то получим утверждение теоремы. Поскольку и- а(и, и) непрерывно, а(цп„)-~а(и, ю). По лемме Минти а(ид, ид — ид) ~ (Д„ид — ид> лля любого ид ЕКд.
Возьмем и ЕК н ид так, что $ ид — и $ — О. Тогда !а(и. и — ид) — а(ид, ид — ид)! = = !а(и — ид,и — ид)+а(ид,и — ид)! < ~ С $ и - и„$ $ и — ид $ + С $ ид $ $ и — ид $ ~ С $ и — и„$ — О. Следовательно, а(и и нд) д (Уд ° иа ид)+ед, ед О. Наконец, заметив, что <)д,ид — и„) -~ (7: и- ю), и используя (2.20), получим а(и, и - ю) ~ ~(7; и — ю). Поскольку ю Е К, то ю есть (единственное) решение вариациопного неравенства (2.!4). Задачи 1.
Предположим, что существует элемент ~е Е К такой, что (! + В)!ее Е К при некотором д ) О. Показать, что условие (Аи. и> если иЕК, 1!и!1-~ь ]и] влечет (2.! О); А предполагается монотонным. 2, Пусть форма а(и, и) такая же, как в теореме 2.7. Тогда существует ограни- Ф ченный линейный операторА: И -~ И такой, по а(и, и) = (Аи, и! Ь'и, иЕ И Для произвольного Е Е Г справедливо равенство (Т, и) = (Лз", и) ч'иЕ Ег, где Л; Р' — ' 1; ]Л11-'- 1. Показать, что если 1'А] = М и О < р < 2о/М, то сущелнуег В, О < д < 1.
та- кое, что ! (и, и) — ра(и, и)1 < д 1 и 11 1 и !1 !г и, и с И [У к а з а н и е. Записать левую часть как (и — рЛАи, и).] 3. Пусть Р (и) — функция из Р в ( — ~, ]. Прещюложим, что Еигя любых Х) О и линейного ограниченного функцноиалаХ на г' существует В Е Итакой,что (й, и) + ХЕг(й) + Т(В ! ~. (й, и) ч Егр(и) + Е (и) 'Ф не И (7 21! Показать, что элелгент и единственный и доказать, что сугцествует единственный эле- мент иЕ р такой, чщ (2.22) а(и, и)+К(и)< а(и, и)+Е'(и) тгиЕ И [Ук аз а н не. Положкгь Фа(и) = (и, и) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
