Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 5
Текст из файла (страница 5)
р[а(и, о) + К(и)] н доказать, что для любого иЕ И сушествуег единственный элемент н = Ти такой, что (ти, и) — 'ри(и) < (и~, ьу — фи(о) и оператор Т сжнмаюпьчй.] 4, Пусть Ег (и) — функция нз И в ( —, ' ], К Ез ь, Е' выпукла и попунепрерывна снизу в слабой или сильной топологии (так как Г' выпукла, то это одно и го же). Тогда существует единственный элемент и Е Гг такой, что а(и, и — и) ри Г(и) — Ег(и) тг и = И (2 ДЗ) [У к а з пи н е.
Чтобы проверить условия задачи 3, можно заменить ЛГ з Т. ! на К. Показать, что (2.21) зквиваненл!о следующему: функционал 2(и) = — 1 и1э + 2 + К(и) имел минимум в !'. Дщ ззагь, что минимум достигается, взять Тг(и,) < и ие так, побы Е'(и) — К(и~ ) - (ие, и — и, ) тг и Е 1; Используя это нерзвенсгво, показать, что минимизирующая последовагельность имеет сходящу юся поешоследоьательносгь.] 5. Показать, что результат задачи 4 приводит к теореме 2.7.
[Указание. Взятьр(и) = — (Т,и! ирли ЕК, Е (и) = прииЯК.] д 3. (р~'р-регулярность дия задачи с препятствием В этом параграфе мы рассмотрим задачу с препятствием (введенную в 4 1) для общих эллиптических операторов второго порядка. Существование решения можно получить из общих теорем $2, здесь же нас будет интересовать, главным образом, регулярность решения. Мы дадим новый метод доказательства и существо- вания и регулярности решения одновременно.
Напомним некоторые общие факты из теории эллиптических уравнений 194 с, 109]ч). Обозначим Св(й) (О < а < 1, й — открытое множество в ут") пространство функций и(х), непрерывных по Гельдеру (с показателем а), т.е. ! и(х) — и(у) ! На(и)= эцр < ' . к,уцй Пространство Со(й) банахово с нормой !! и 1о = $! и !!о + Но (и), где 1и(о = вор !и(х)!. ХЕЙ Аналогично, и принадлежит С +о(й) (ул — положительное целое), если 1и!! + = !!и!! + Х Но(ВРи)< ее, ур 1=м где !!и1 = Х !!ГУеи !!о.
уеусм Рассмотрим оператор и дтуу и ди Аи ы — 2' а; (х) + е. Ьу(х) — + с(х)и; 10=1 дхудх 1=1 дх; А называется эллиптическим в й, если Х ауу(х)~Ду>Лх!$! (Лх >0) у,у = 1 для всех х С й," $ НЯ", н равномерно эллиптическим, если Лк:Л>0 жхнй. Шаудеровскне граничные оценки. Предположим, что дй локально класса о ФНСтуа(й) и Х !! а„!!. + Х !! Ьу |!. + !! с !!. < К, 2'ауу(х) фут Р- 'Л! $ ! Ю х Е й, $ Е Я" (Л > 0), Если и НС'(й), Аи = Г в й, и = Ф на 1У й, то !! и !!э+ < С(Ч!!о + 1и !!о + !! Ф(з, ), где С вЂ” константа, зависящая только от Л, К и й.
*)См, также; Л а д ы ж е ц с к в я О.А., У р а ивнев в Н.Н. Линейные и кввэипвцейные уравнение эллиптического типа. - Мл Наука, 1973. — Примеч. пер, Шаудеровские внутренние оценки включают нормы (и11 +, определяемые следующим образом: 1и(х) — и(у)1 Н;о(и)= ацр А~~', Н„=Но «,тнгг "г 1х — у1 где И« = б1ат(х, дй), с( „= щ(п(с( „с(х), 6 и 6,„= 11 и 6 о + Йо (и), 1и 6 „„= Е ацР1И~Ш~В~и(х)1 + Е Й„, о(Ваи).
Ш 1км Шмги Если аи М <, говорим, что и принадлежит С +о(й). Шаудеровские внутренние оценки. Предположим, что й — ограниченная об- ласть с диаметром, не превосходя~дим В, т'Е С (й) и аб, Ьи с — измеримые функ- ции, удовлетворяющие условиям 2'аал1„+ 211 Ьг|о+ 11с)о < К, Хаи(х)ЦЦ> Л141 'Фх Ей, $ еЯ" (Л> О). Если и ЕСз(й) гЗЕ"(й) и Аи =(' в й,то 1ибзь < С(1з'11 + 11и11о), где константа С зависит только от Л, К и В. Если и Е С~~ (йо) для любого открьпого множества йо, йо С Й, то пи- шем: и е С оо(й). Из внутренних оценок Шаудсра можно вывести, что если а;;, Ь~ и с, т принадлежат С"'+"(й),то и принадлежит Смет+о(й). Нам также понадобятся эллиптические ьл.оценки при 1 < р < ' .
Здесь пред- положения на А, ~ слабее: 1аб(х) — а;;(у)1< ~(1х — у1) (3.1) (оз(г) -+ О, если г -+ О), о Е ад(х)ЕД>Л1Е1~ ЧхЕЙ, 3ЕИ" (Л>0), (3 2) В„т= ! Е1а,,1 + Е1Ь,1+1с1< К. (3.3) ЬР-оценки. Пусть дй 'класса С' локально, 3 Е ьа(й), Ф Е Ь'т" (й).
Есин и Е Мз л(й), Аи = 3" в й, и — Ф Е Но(й), то 1и1з я < С(1г1р + 1Ф12,р)' где константа С зависит лишь от Л, К, модуля непрерывности щ н области й. Внутренние эллиптические Ел.оценки имеют вид 1и1~з < С(1)'1р + 1и1р), где б — произволыюе компактное подмножество Й (1и1 обозначает 1т' а-норму и в б) н С вЂ” константа, зависящая только от Л, К, щ„й н С. Пам потребуются также локальные Ьооценки в подобласти 6 С й, для кото- рой дС Ш Эй Ф ф. Предположим, что 6, — открытое множество,бС: С,С й, дй ш Гздй содержится во внутренности дй, Гз дй, д0 ~ ~ й С 6,. Если ' Аи =Х в П,, Р(и — Ф)ЕНо(6,) Аи < 0 п.в. в Й.
Если и достигает положительного максимума в некоторой точке х Е Й, то и = — сочзз в й (и тогда с =Оп.в.). Этот результат распространяется также на функции и, не обязательно непрерывные в Й; "максимум" и заменяется на "существенный супремум" и если езз зпри положительный и совпадает с езз зори для любого шара с центром в хе и и и произвольным малым радиусом, то и = сопзц Это означает следующее: если и е и '(й) Г5 и е(й), А и < 0 п.в. в й, то и <О п.в.
в й. (3.4) Показательство см. в [70, 43[. Шаудеровские граничные оценки могут быть использованы для решения задачи Дирихле Аи =7' в 52, и = Ф на дй (3.5) при условии с > О, где А, 7; Ф, й удовлетворяют таким же условиям, как и при выводе оценок. Решение и принадлежит Ст "(й). Аналогично можно использовать внутренние оценки для решения (3.5) в классе С'+ (й) й С(й).
Здесь требуется, чтобы А, 7 удовлетворяли условиям, при которых выведены внутренние оценки, Ф была непрерывна на Э йи для любой точки хе Е Э Й существовал локальный барьер (см. [74, 109[) . барьер существует, если найдется шар В такой, что В гз й = ф, ЭВ г! Эй = ( хе) (" условие внешнего шара"). Подобным образом для решения задачи Лирихле можно использовать ЕУ. оценки при тех же условиях на А, 7', Ф, й, при которых зги оценки выведены (см. [2, 109!).
Единственность задачи (3.5) следует из принципа максимума, сформулиро. ванного выше. Теперь напомним основные неравенства Соболева. Пусть 1 1 1 — — — — где 1 < р<' . Если д р и иЕ 5т'ья(й) и Эй класса С',то ! и!ч < С! и!~ „, если р < и, п !! и !1,„< С! и [, р, если р > и и а = 1 —— р (З.б) (3.7) где С вЂ” константа, зависящая только от р, и и Й. Из (З.б) следует, что оператор вложения 1.: Н' (Й)-5. (Й) для любой !'ЕС"(В") такой, что [' = 0 в окрестности Э6, г1 й, то [и!С < С([~[С, +[,!О, +!Ф[С, ) Строгий принцип максимума.
Предположим, что выполнены (3.2), (3.3) и с(х) > О. Пусть и — функция из Н'(й) гт С(й), удовлетворяющая неравенству ограничен. Имеем также [94с, 1091 у: йг'а(й) -к Е'(й) коьгпактно, 1 1 если р<л, г>О, — <— (3.8) г р и Обознзчнм Се'( й) пространство функций, непрерывных по Лившицу. с нормой ! и(х) — и(у)! Н и Над = Н и Не + апр к,уей /х — у! Это фактически пространство Са ( й) прн а = 1. Аналогично определяется С""( й) как пространство' С""'(й) при а= 1. Простраиство С""(й) определяется как С~+~ (й) при а = 1. Напомним !109), что иЕ Сга'(Й), если и только если иЯ Ь' +'" (й).
На- помним также, что если иЕ Н'(й), то й ЕН'(й) ни.в. ~ Ри. если и>0, Рй= ( О если и< 0; кроме того, Ри = 0 п.в, на любом множестве, на котором и — константз. Пусть че(х) (препятствие) — функция, удовлетворяющая условию ,рЯ С'(й). Предположим, что коэффициенты оператора А принадлежат Са(й ), А равномерно эллиптический в й, с(х) > 0; дй класса С'+а, (ЕС (Й), КЕС +~(й), е > о на дй.
Пустьд,(г) (0<с < 1) — функцияклассаС по! такая,что !1,'(г) > О, !)е(г) - —, если т < О, е- О, !),(г)- О, если г>О,е- О, !!е(г) <С, ЦО)> — С, где С вЂ” константа, не зависящая от е. Рассмотрим задачу со штрафом Аи+!)е(и — че)=г" в й, и=р ° дй Л е мы а 3.1. Существует решение и = и, задачи (3.13). Ло к а з а те л ь ст в о. Положимдля произвольного Ю>0 !3, и(г) = гпах(т!и(!1,(г),Л'), -ЛГ) и рассмотрим задачу Аи+де и(и — че)=( в й, и=е на дй. (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3,13) (3.14) Зля каждого ос ге(Й) (! < р<' ) существует единственное решение нЕ йг~'"(Й) задачи Аге=/' — 11, н(о — чг) В Й, ю — е е Но(Й), удовлетворяющее оценке 1ге~г а<11, где константа Я не зависит от о. Полагая нг= Тс, видим, что Т отображает шар из г.л(Й) с центром в нуле и радиусом Я в себя и Т компактно в силу (ЗЗ) .
Теперь можем применить теорему Шаудера о непоглаижной точке: Непрерывное отображение Т, переводящее выпуклое замкнутое множество 5 банаяова лросгранства в кочлактное нодмноггеетво Я, имеет неподвижную точку. Следовательно, Ти = и для некоторого и = и, н, а это означает, что и — решение задачи (3.14) .
Поскольку и = и, н принадлежит лг~'е(Й) для любого р <, функция д, н(и — р) непрерывна по Гйльдеру. Из общих результатов по регулярности для эллиптических уравнений с коэффициентами класса С" следует, что иЕ Сг+е(Й). Теперь оценим функцию 1(х) = б, н(и — чг). По определению 9, имеем 1(х) <С, С не зависит от Л', е. Рассмотрим минимум д функции ('(х) . Предположим, что д= 1(х ), и~О, и<бе(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
