Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, мы доказали, что а(х) непрерывна по Гельдеру в некоторой Л.окрестности дЛ. Так как а(х) = 0 в Л', то а(х) непрерывна по Гельдеру (с показателем и) в некоторой окрестности дЛ. Но тогда ввиду результатов теории потенциала и принадлежит С~+с вплоть до границы с обеих сторон Я; см. задачу 4. Теорема 11.4 в предположении (11.30) доказана.
В общем случае возьмем область йе с й, симметричную относительно (у = О), такую, что йе г! (у =О) садех жит 5 =(хЕЯ, р(х)Р'0) иположим 2!$е=О в йе, И=и на дйе. Тогда й = и — И есть решение задачи с тонким препятствием в йе, где препятствием служит р (х) = р(х) — 1" (х, 0), и й = 0 на Эйе. Можно теперь применить теоре- му 11.4 к й и получить тем самым утверждение для и. Распространим теорему 11.4 на случай общих вариационных неравенств (115), предполагая, что Хау(х)И. > й! $!т ~1ЙЕ)1", хай (й>0) (11.39) у~ст(й), „,~Се, Предположим также, что 5= (у=О), аьт(х, 0) = О, 1 < 1< и — 1.
(11.40) Здесь использованы обозначения Х= (х, у), х = (х,;..., х„,), как и выше. Теорема 11.9. Если выполнены условия (11.39), (11АО), то решение и вариааионного неравенства (11.5) принадлежит Сь+е(йь) и Ст+е(й ) при некотором 0< а< 1. Замечание 11.1.
Условия в (11.40) не очень ограничительны. 11рйствительно, предположим, что (11.40) не выполнены, и пусть Хь — точка на 5. Тогда существует циффеоморфизм окрестности У точки Хе на область 1" такую, что У Г1 е отображается на плоскую область в (у = О ) (где (х, у ) .— новые координаты) и новые коэффициенты ац удовлетворяют условиям а,'„(х', 0) = О, 1 < 1 < п — 1; относительно построения такого диффеоморфизма см. 5 4. Новый оператор будет содержать члены первого порядка, однако это не влияет на доказательство теоремы 11.9.
Таким образом, если в некоторой малой окрестности У точки Хе и> р на ЭУГ15, (11.41) то можно применить теорему 11.9 в 1'. Начнем с обобщения первой части леммы 115. Ле м ма 11.10. Яля любого малого Э > 0 существует константа С > 0 шкая, что если яь = о1а1((хе уе) Л) > О то С итт(ха'уо) > Рь (11.42) (1 1.45) где т — произвольноекасательное направление. До к аз а тел ь ство. Применяя операторы Вт и В„к уравнению со штрафом в (11.24) (с заменой Ь на А) и положив и = и, а, р = р„й = б„получим Аи, + !5'(и — р) (и„— рт) = ХЩВ„а;;Вти), (11.43) тАи +15 (и — р) (и„— ртт) > - 1ТВ,!(2Втаб Вт(и)+ВттаОВти! ж(У, (1! А4) где !' — произвольная неотрицательная функция.
Заметим, что доказательства (11.25), (11.26) остаются без изменений и в рассматриваемом случае оператора А. Умножая (11.43) на 1 (ит — чь ) (где ( > О, 1 Е Ое(й) ) и интегРиРУЯ по й, после интегРиРованиЯ по частЯм полУчим Ю ! 1т((, — р,) !' + ЙА р,((, - чь,) < ь С(!'71! !и — Фт! !~7(и — рт)!+.12'ьВ;(В аь В1и! (ит — рт). Интегрируя по частям в последнем интеграле и используя (11.25), (11.26), находим /)(7и,!' < С, (.) где константа С не зависит от б, е.
Пусть У = ППО(а„— Чстт + Л, 0). Ввиду (11.26) можно выбрать Л > 0 достаточно большим так, что у = 0 в окрестности д»2. Пусть lс — положительное нечетное число; возьмем Т = — у" в (11.44). Тогда ) у А(атт 'Ртт) с у АМтт> ) у '~- Первый член в левой части не меньше величины с) 1~7у(в+1)72!г (с>О), В правой части имеем члены вида 61 = /у~()1(ссбт(и), Ьг = )т уи Ц(ЬР и').
Интегрируя по частям, лолуча" м Ц'ув-1у яО и — й(у(в — 1Нгу у(»-1)(гяР откуда ! т )~ С(т!Т7у(вт1)72!г 172((„в-1(() и (г)1(г Интегрируя по частям, в силу (1125) получаем !Аз! < С)(2)(ув!. Таким образом, из (1 1.47) следует неравенство ) с ту (в+1)72!г ~ С) ! р )с)+ С)' в-сс)7, )г (11.48) Пля оценки последнего интеграла возьмем ( = у» ' в (11.45). Тогда, используя интегрирование по частям в правой части н (1 1.25), получаем оценку С(!РУВ '! + С(!'(7УВ '! !тит! + С)УВ '!(7ат!. Следовательно, )'!17у(В+1нг)г < С(!17 у)с — 1! + С(((7 у»! + + С,) у~ !Ча ! + С)'(тсув 1! !Чи ! Полагая й = 1, в силу (11.46) выводим )'! с7у!~ < С, откуда )'уг < С Затем улучшим (11.39) при й > 3, используя неравенства 1 т!ттув! < т)т7у(в+1Нг! у(в — 1)72 < 2 ) (т7у(в+1)72(г + (, сс-1 1 )) 1) мало; (ув-1!17и (=)у(в+1))гу(в-зНг!17и ! < 1 < т)(у»+1 + — ~ »-з!туи,)г, с) (1 1 49) (11 50) Г!57» а! ! "7и ! < ) ! 17О!»о )та! ПС» ~П~!т7и ! < 1 ц)'!57 !»+г!/3!з + )» — 3!57и !2 а7 Последний член можно оценить так же, как последний член в (!1А8).
Получаем для него опенку величиной С(!17"-'! + С(!17."-'! !ти,! + С(.»-з!57и,!. Собирая все оценки вместе в (11.49), находим для й Э 3 ! !Чс(~~а!7з!з < С)!т7в» а! + СГ!'!7в~ з! + + С) в» 3!т7и ! + Су!170» 3! !Чи ! (11.51) Полагая 7с = 3 и используя (11.46), (11.50), получаем )'!17в~!а ~; С, следовательно (оа < С (1152) Теперь можно, действуя аналогичным образом, улучшить (1151) для й 2 5; затем подставим» =5 и выведем ).!т7 з!а» С, ) оо < С и тд.
Наконец, в» Е Ь"' дпя всех й, в частности и, ЕРо дзя всех 1 < р < (11.53) Поскольку выведенные выше оценки не зависят от Ь, е, то же верно и для и = = !!шиа т, Следовательно, (1!53) имеет место для решения и вариационного неравенства. Для завершения доказательства леммы представим и„(Хо) в В„(Хо) ( где 1 1 Хо = (хо, уо), — ро < г < — ро) посредством функпии Грина Р„вля А (в 4 2 в„(х )): Ртти(Хо)= У Ртти + ) РтА(Ртти). (1 ! .54) эв„(х,! др ' вдх,! (11.56) Отметим,что в Вр 7з(Хо) С А(Р„и)= 2;Р,уо где ! 7;!<в (11.55) Ро, ввиду внутренних эллиптических оценок, так как и удовлетворяет зллилтическому уравнению Аи=б в Вр (Хо) и !Ри! < С 1 ! Интегрируя обе части (11.54) по г, — ро < г < — ро, получим 4 2 Ртти(Хо) = )' ш(Х)Ртти(Х) + ( М(Х)А(Рт.и) р /з Вл 7з где (см.
задачу 5) Ок т(Х)< С/ро (11.57) !~М!6'(В, 7з) < Ср,. В силу (11.53). (1 1.55) н (! 1.57) из (11.56) выводим Р„и(Х ) Э -С вЂ” Ср!" Рве '!!(Р„и) ! где 11р о 1/д 1. Поскольку р можно взять произвольно большим, нол,' ьсм (! !.42). 7 А. Фридман Ввиду (11.40), (1 1.25) и внутренних оценок ~амРми~ < С, если 1 <1 < н — 1, поэтому из леммы 11.10 получаем С итт < — для люб~го мало~о 6 >О. ~6 (11 58) Следовательно, и — Су' — ограниченная монотонная функция при у > 0 нлн у< Ои, таким образом 1ппи (х,О+) существует.
Теперь возьмем область йо, симметричную относительно ( у = 0), такую, что йо г1 (у =0) содержит множеством, (где р > 0). Пусть и'(х,у)=и(х,у)+и(х, — у). Зта функция симметрична по у и и'(х, 0) > 2р(х) вблизи дйо Г15. Имеем д Г ди'(х,у) 1 ь — ~ (аи(х, у)+ад(х, — у)) дхо дх. в йо где а ~ аи(х,-у) 1 1= Š— ~ (аи(х,у) — аб(х, -у)) дх; дх1 а ( аи(х у)1 — 2; — ~ (ац(х, у) - аб(х, -у)) дх; ~ з дх( Откуда следует, что 1' — ограниченная функция.
Определим сс'(х) = 2д(х) и о'(х) = и'(х, +0), Для установления леммы 11.6 дпя и' (с препятствием ос') возьмем йх, = ~о'(Хо) + чти'(Хо) . (х — хс) + Ао(!х — хо! — Жу'); М достаточно большое так, что АЬ„> 0 и Ао > апр !Рз р1. Поскольку С 1у!' (вместо и < С), доказательство леммы 11.7 нуждается лишь в незначительной модификации; утверждение здесь следующее: Вст(х)С — (хо)ЙЛ с дпя любых 0< В < 1. Ст тс Для распространения леммы 11.8 на рассматриваемый случай построим функцию но такую, что А(ио +их)=0 в К, юо=О на дК, где К вЂ” цилиндр В ь(хо) Х (О, 7 ).
Так как юо Е С", находим (после изменения т" масштаба) 1ю 1< Суь . Теперь заменим ю в (11З7) на функцию их+В о юо +Суьч Иуьо +йь где 0 < В < 1. Поскольку Аю = О, можем действовать, как и раньше, для доказательства (11.36) по индукции. Располагая леммой 1!.8, выводим, что о'(х) Е Се в окрестности !' границы дЛ. Функции и,(х,у)=и(х,у), иг(х,у)=и(х, -у) удовлетворяют условиям А;и, = 0 (А; эллиптический) в й+, ди г диг и,— из=О, — — — = 2о*ЕС в (л. ду ду Ввиду известных результатов по регулярности для зллиптических систем !3Ь) отсюда следует, что иг Е С'+ в й ' Ш Г. Зто дает утвержцение теоремы 11.9. Замечание 11.2, Теорема 1!.9 остается справедливой (с очевицными модификациями) для задачи Синьоринн.
Замечание 1!.3. Функция и= ке(а~7~) = г~7~соа(ЗВ)(2 ( — я< В < я) является решением задачи с препятствием р = 0 на оси х она не принадлежит Сгь" в (у> О) длялюбого о> !/2. Задачи 1. Рассмотрим задачу Синьорини и ЕК, /Чи Ч(п — и)г(х Э )'Де — и)г(х ттоЕК, а а где К = (иЕНг(й), и>О на дй ). ~Ьказатьс если решение сушествует, то ),Ях < 0 (условие ) Ях < 0 является и цзстаточным; см. !!4!!).
2. найти решение задачи 1 в случае й = (! х ! < 1),7" ьт сопят. 3. Решить: и = 7, если — 1 < х < 1, и( — 1)= О, и (1) Э О, и (1) > О, (ии ) (1) = О. 4. Показать, что если гни = 0 и гУл = ((х у); у ) О, ! х !г + 1у !г < гтг ) и и, = а на у = О, о Е Се, то и Е С '+" (Пл, ) для любого Яе < А. (Указание. Представить и через функции Неймана в полупростраистве у>0.) 5.Доказать (11.57). !У к а гани е. Введите Х'=Хе +реХ.) 6. Рассмотрим задачу Синьорини иЕК, ( Чи Ч(п — и)> — )'Дп — и) ттеЕК, где К определено в (11.20) с ~у =- О,~Е С" (й), н выполнено (11 9). Положим д ,Г®= — )'Дх) — С(х, $)огх ($Е дй), а дге 99 7* где О (х, «) — функция Грина для — Ь в й. Доказагтс если «о Е шт 5 и 7(«о) < О, то и («о) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
