Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ряд сходится йри 1г !( б, 1 У!( б, и можно продолжить его как голоморфную функцию двух переменных г, Г по формуле 1~ 'у(г, ()гег. Ьлн глГн формулу Грина ю(г,) — и (ге) 1 1 1 — т" ю- (г) Их,Ихг + ($ о) я а (г ге)ч (г — г ) 1 1 1 ю(а) йг, (2.3) 2я( аь (г — ге) (г — г, ) где ~ ~акая же, как в (2.2). В зтом параграфе мы получим результаты по регулярности свободной границы в рвумерном случае. В отлячие от й 1, где априори предполагалась гладкость грани- цы (класса С'), здесь мы предполагаем лишь, что свободная граница — дуга Жордана. Т е о р е м а 2.1.
Пусть й — односвязная дбаасть в Гт~, граница которой есть крпвая Жордана, и пусть à — дуга Жордана, Г С дй С Вя (для некоторогоЯ>О). Пусть и — функция из С' (й Н Г) и з, р — аналитические функции в Вл. Если до=у" в йгтВн, (2.4) и=р, чи=ру на Г, (2.5) У вЂ” дпрФО в Вн, (2.6) Рассмэ грим уравнены е для 1: ч 'р(г, Ь") =Ч'и(г). По предположению 1 21 1т "У(г, г ) ив а .0 Р'чт(хт, хэ) = — эЛУчьО 2 ' Т 2 (2.8) в Вя и в силу (2.5), (28) имеет место, если г С Г, (' г. Следовательно, можно применить теорему о неявных функциях.
Из нее следует, что существует единственное решение 1 = 1 (г, Ч "и (г)) = — 1" (г) уравнения (2 8) в окрестности г = О, 1 = 0 и1(г,ю) голоморфнапо (г,ю) вокрестности (0,0).Напомним,что ('(г) = У, если г Е Г, (2.9) откуда видим, что сопряженные точки Г являются граничными значениями голо- морфной функции, Чтобы ввести аналитическую параметризацию, возьмем конформное отображе- ние т -+ я (т) из полукруга б = ( ! т ~ < 1, 1пэт > 0 ) на й. Так как й односвяэна и à — дуга Жордана, существует я, отображающая вещественный интервал 1 = = ( т т + От; — 1 < т, < 1 ) на Г и такая, что а непрерывна и взаимно однозначна из б 1З.( на й О1; см.
!27, с. 369). Таким образом,я дает непрерьвную парамет- ризацию Г, и мы докажем, что эта параметризация аналитическая. Дпя простоты пусть г (0) = О. Рассьютрим функцию ~ я(т), если 1т т > О, Ф(т) =, (2.10) ' 4'(8(т)), если !юг<0. Эта функция голоморфна, если ! т ! < е, 1птт чь 0 (где е достаточно мыто, так что 8 (т) есть область, в которой 1' голоморфна) . Поскольку Фтакже непрерывна вдоль (тлт = О, можно применить теорему Морера и получить, что Ф(т) голоморфна в (! т 1< е). Так что, в частности,я (т) аналитическая при вещественных т, ! т ! < е. В оставшейся части параграфа мы ослабим условия аналитичности, заменив их на условия С~ -гладкости.
Удобно испольэовать обозначения комплексного случая +Х также и для эллиптического уравнения. Таким образом, рассмотрим уравнение ю- =тт в йтЭВп. (2.11) Предположим, что ю 0 на Г, (2 12) (2.13) УтФО в Вн В применении к (2.4) — (2.6) возьмем ю=и, — ю„ (2.14) и тогда (2.4) — (26) дают (2.11) — (233) с 4тт = / — ст р. Т е о р е м а 2.2. Пустб й, Г такие же, как в теореме 2.1, и пусть 8 (т) — конформное отображение б -+ й (непрерывное и взаимно однозначное из б 1З1 на й ~ЗТ, как и выше).
Предттоложим, чю ю С Нт' (й),lт Е С" (Вн) для некоторого 0 < Л< < 1, и выполнены (2.11) — (2.13). Тогда для произвольных 0 < д < Л и 0 < р < 1 имеем я (т) Е, С'+" в ( т Е Я; — р < т < р ) . Д о к а з а т е л ь с т в о: Продолжим тт в Вэ как функцию класса С . Пусть 1 Щ) А(г) = — — т' — т11, тттэ (В' > А) я вн 1' — г и для некоторой фиксированной» о Е Г () го ~ < 1) положим иа (г) =А(г) — А(го) — А (го) (» — го). Тогда и ЕС'аь(Ви) и ар г )с. ар~(го) и'а (го) = О.
Записывая (2.15) ю (г) = Ус(го)( г — »о)+Л(», го) (г ЕВл), (2.1б) находим, что ) г — го) ~ ) В(г,го))+) Ва(г, го)! +) К-(г, го)) <С)г — го!~. Заметим (ввиду (2 13), (2.15)), что для любого малого е > 0 (2.17) !.. а ира — <»<1 в В (го), (2.18) если г достаточно мало. Якобиан преобразования г — и '(г) таков: 1 — (1 иаа')~ — ! ан-',) ) <О в В„(га).
Поэтому зто отображение является С'+~-диффеоморфизьюм из В„(го) в окрестность 0; обозначим обратное отображение и ' Функция гс(г) = и (г) — ю(г) голоморфна в й стВп, непрерывна в й 11Г и в силу (2.12) Ь(г) = ага(г) на Г. (2.19) Определим в Во г(г), если 1т г Э О, Ф(г) = ан' '()а(г(г))), если 1гдг<0, где 8 выбрано достаточно малым так, что г(Ва Л (1щ г Э 0) ) С В„(го). (2.20) Предположим для простоты, что г (0) = го.
Заметим, 1Ч г 1' с1», с1»» = агеа й «, О 070(lс(г)) =0»б(Ц»)) 07К(Г)+О СЩ»))0 ) (г) . Имеем также 0 )с(г) = 0 — а(г), 0 'к(г) = 0-)с(г). а. А. Фридман так что 8 Е Н' (О) . Поскольку Л липщицева, то отсюда следует, что сужение Ф на !тг > 0 (< О) принадлежит Н'. Применяя утверждение задачи 7 иэ З 3 гл. 1, заключаем; Ф еН'(Вг), Следующие формулы можно установить непосредственными вычислениями для функции С(г),г =)с(г), 0,С()сЯ) = О, 0()с(г)) 0,)с(г) + 0 — 0()с(г)) 0,)сТ, Если С(г) имеют обратную С ' (г), то, применяя Р- к С ' (С(г)) = г, получаем Р-,С ' Р—,С Используя приведенные формулы, нз (2.20) выводим, что — — <е<1 (2.25) ! е(1) — о(0) — с < СЛ) г)г, 114 в силу (218), есни 1г) <б, 1тг<0.
Поскольку, кроме того, ФТ яу О, соти 1щс >О, то ФТ вЂ” <е<1 В Вл. Ф, Функция ФЕН'(Вг), удовлетворяющая такому неравенству, называется,е-квази- конформной; см. )40, с. 269). Имеем ФЕН ~'(Вь1г), где г=г(е)-+, если е -+ — О. Отсюда еЕН'* в Ва1г О (1тг>0), Если вместо ге =0 возьмем другую точку ге Е ( — 1,1), то получим,что длялюбого малого б >0 ген'"(сгтВ~ а) дпялюбого 1 < г < (2.21) Вдя дальнейшей регулярности я используем другсе продолжение е (г) на 1птг < О.
Сначала определим е (г) в С по формуле й(л(г)) = зс(ге)(8'(г) — г е) + Я(л(г), а(г)), (2.22) где Я (г, г) определяется (см. (2.16) ) следующим образом: ю*(г) = й(ге) (г — ге) + + Я(г, г). Из (2.19) следует, что г'(г) = г(г), если 1гпг = О. Применяя Р, к (2.22), получаем (так как й (г (1)) голоморфна) 1 8 — (Г) = — — Р— к(Х(Г) 8(Е)), к(ге) так что, согласно (2.17), ) е-,'(г) ) < С) е (г) ) ) г(г) — ге ) л ге = е(0). (2.23) Теперь в силу (2.21) имеем я Е Нт" и, таким образом, г Е С' г1', е Е Ь*. От- сюда для любого б > 0 ) К~ ) е г *(С О В~ ь), (2.24) о = Х(1 — 2Й).
Отметим также, что г,* е Ь'(С). Таким образом, функция 1 Г(г), 1щ г > О, Ф(г) ы 1 г*(г), Ьп г < 0 принадлежит Н '(В, а ) в силу задачи 7 из б 3 гл. 1. Нам понадобится следующая Л е м ма 2.3.Лредноломим, что и(г) Е Н"(В),где В = В, и )1) еге 6е(В), о>0, г>2, о — (3г)>т, 0<т<1. Тогда суи1ествует комплексное число с такое, что если ./ЕВр,О<я<1,!с!<СЛ, где Л = !!)т! от),Я(„) + !!о)!ь"(в) С зависит лищь ог р, и т. Доказательство предлагается провести читател1о самостоя. тельно (см.
задачу 1). Применяя лемму к чг, получаем ! ф(/) — Ф(0) т с ~ < сола!! /!т, г если ! г ! < р< 1; это справедливо, в частности, для а(г). Поскольку /о = 0 можно заменить на любое го Е ( — 1. 1), для произвольного 0 < В < 1 имеем о(/) — о(го) с(то) < Сл ! à — го !т, (2.26) г — го го '- ( — Кк), !/! < В, где ! г(/о) ! < С, и Сн, С, — константы, зависящие от Я, т, т и Н ''-норм а.
Сле- довательно, л (то) сУществУет и 5 (т ) = с(го). кРоме того, меииа т, го местами в (2.26), находим ! с(г) — с(го) ! < 2Ся ! г — г, !", так что а Е С т( — Я, /1). Обобщим теорему 2.2 на случай более высокой дифференцируемости пара- метрического представления 5 (т), используя обозначения из теоремы 2.1. Т е о р е м а 2.4. Луста й, Г такие, как в теореме 2.1, и пусть иЕС"(Йт/Г), УЕС~ '(В ), )тЕС~ (В ), где пг ~ О, 0 < а < 1.
Если и удовлетворяет (2.4) — (2.6), го параметрическое представление г =я(г) гранины Г принадлежит классу См Д о к а з а т е л ь с т в о проведем по индукции. Предположим, что для любого — ! < /„< 1, / Е 0 Г) ВЛ, ФИ 5Я = Х с/(Г,)(! — Го)Г + О(!)(à — Го) =о где с,(то) — функция от /о и гч Х !с/(то) ! + )О(1) ! < Сн, если-Я</о </! (Я< 1), где Ся зависит от та, Г и В. Случай гп = 0 был рассмотрен в теореме 2.2 Без потери общности можем взять/' = 0 (иначе рассмотрим и — /, где /' такая же, как в (2.7)) .
Предположим для простоты, что я (то) = О. Можно записать ~'*ф(хо хт) = Рд „.1(д г) + Л(хы хт) где 1 Р,„,,(г, 1) = )' — (/)'/)-тт "чт(0)) г' Г/, /+/< т+1 1!/! ! Л(хм хт) ! < С! 2 !сч Положим Л(г) = Л(хо хз) и рассмотрим уравнение для 1: Р,„ь, (г, 1) + Л(г) = от*и(г). (2.27) Заметим, что в силу (2.6) (при 7" = О) Р Р ь,(г, г ) = .О,- 1т* р(г) + О( ! г ! 'о) = 1 = — Ь1о(г) + О(! г !~+~) чь О, 2 если ! г ! достаточно мало н по (2.5) Р +~(г, () + Л(г) = 17'(г), если г Е Г, Т = г .
Следовательно, по теореме о неявных функциях можно разрешить (2.27) единственным образом. Решение Г" (г) имеет вид Т*(г) = Цг, 'у*и(г) — Л(г)), где 1 (г, и) голоморфна по г, ю. Так как Ли 'р'и непрерывны по Лнпшипу, то так- же и (*(г) непрерывна поЛипшицу в окрестности г О. Выбирал 1 = (* (г) в (2.27) и применяя 06, ввиду Ьи = О получаем РгР, +,(г, 1*(г))1* + 0вл(г) = О в й. Но первый член в левой части не равен нулю, следовательно, !(*(г) ! < С!г !"'+" в й.
Теперь продолжим л(т) в 1ш т < О ~то формуле я(г), если 1тпт > О, р(т) = Г(в(Г)), если 1шт < О, н положим ф(т) = Р(Г) — ~ сг(то)(1 — то) ° 1=0 (2.29) 116 Тогда для т, 1ш т чь О, !Ф,! < С!т — т, ! (2.28) Поэтому можно применить формулу Грина (2.3): 'р(т) — ф(то ) ! 1 — )' — — ф (г)Ых~ахт + (1 — то)ю л ~е1<1 (г — то)м+1 г — т 1 1 1 +— — Ф(г) т(г. 2л( М 1= ~ (г — 1,)'" + ' г - т Определяя с,„+, (го) как значение правой части при т -+ ео, можно доказать (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
