Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5 3. Общие свойства свободной границы В этом параграфе мы установим два основных факта для задачи с препятствием: (1) свободная граница имеет меру нуль; (!1) если у Е Г (свободной границе), то Вш 1п(йп(и (х) — р(х)) Ъ О, к у к ни где у — препятствие, Лà — некоинцидентное множество и 1 — произвольное направление. Сначала рассмотрим простой случай: — Ли+у>0, и >О, ( — Ли+у)и =0 в й, (3.1) где й — ограниченная область в Я",)'Е С*(й) (О < о < 1), зателт перейдем к общим эллиптическим операторам и препятствиям общего вида. Как и раньше, полагаем Л'=(хбй, и(х)>0), Л = (х Е й, и (х) = О,', Г = ЭЛг О Й. Напомним, что и Е С" (й).
Для простоты можем предположить, что и Е Сг 0(й). пл Докажем сначала простую лемму о невырожденности, утверждаюшую, что и не может быть равномерно мало в некоторой окрестности точки из/)/при условии Т > сопа1 > О. Л е м м а 3.1. Предположим, что Т > Л > 0 в й, и пусть хе — произвольная точка из/ч'. Тогда для любого шара Вт(хе) С й апр [и(х) — и(хь)) > Лт'/2п. (3.2) В~(х ) Доказательство. Предположим сначала,что хе Ей). Функция Л )ч(х) = и(х) — и(хе) — — ! х — хе !з 2н удовлетворяет неравенству сот> О в )ч' и ю(хь) = О.
Следовательно, по принципу максимума зорю в /ч'Г) В„(хе) неотрицательный и достигается на границе. Но так как )ч < О на Э/ч', то должна сушествовать точка х, ~ ЭВ„(хь) Г) У такая, что )ч(х, ) > О, откуда следует (3.2) . Если хе р Ф, мы применяем (3.2) к последовательности точек х,„Е /ч', х,„-ьхе. Полезна следующая Л е м м а 3.2. Пусть и — произвольная неотрицательная функция из С"(Р), где Р— открытое множество в В". Пусть ! Рци ! '~М для всех О /.
Если и (у) < б' для некоторого у Е Р и 61ж(у, ЭР)>шах(б, й), где б, Ь вЂ” некоторые положительные числа, то ! 57и(у) ! < Смб (С =М+ 1) и для любого вектора е) ь т / ~ Рии ( у + ге))г/гг/т > — Сьт б (б + Ь) . о о (3. 3) Д о к а з а т е л ь с т в о. В неравенстве 0 < и(у+ге) = и(у)+и)(у)з+/'/' Рни(у+ те))дгдт со (3.4) (где з < 61зт(у, эР)) выберем е) по направлению, для которого и) (у) "-!чти(у) ! и возьмем з =б. Тогда О < бз — )5)и(у)! б +Б'М ! ~7 и(х) ! < Се, (3.6) где Сзависит только от Ст Л-нормы и в й и от бь. Действительно, (3.5) вытекает из того факта, что и = 'уи = О на Г и и Е С"; (3.6) следует из (3.5) и леммы 3.2. Из последнего неравенства получаем оценку !)Ти(у) ! < Сьтб, используя которую можно применить (3.4) с з = Ь и произвольным вектором и получить (3.3).
С л е д с т в и е 3.3. Если х Е Ж, й!зт (х, Г) < е, д1з1 (х, Эй ) > бе > О, то и(х)<Се~, (3.5) Т е о р е м а 3.4. Предположим, что Г > Л > 0 в й. Если хе Е Г, еПз! (хе, дй) > > бе >О,го !В,(хе)!1Л'! >7>0 (3.7) !В,! для всех 0 < е ~':ее„где 7 и ее зависят только отЛ, бе и С '-нормы и. Здесь мы использовали обозначение: ! А ! — мера Лебега множества А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
По лемме 3.1 сушестнует точка у е дВ, (хе) такая, что и(у) Э Ле~/2п. Используя (3.6), получаем дня достаточно малого б Лез и(х) > — — бСе' >О, 2п если !х — у!<бе. Таким образом, сушествует шар Вз,(у), содержашийся в Вз,(хе), в котором и > О. Так как б можно выбрать не завнсяшим от е (дня достаточно малых е), получаем требуемое утверждение. Напомним, что для произвольного измеримого множества Я ! В.
(хе) Л Ю ! 1пп = ! 6 е !В! днн почти всех хе Е Я, т.е. почти все точки Я имеют плотность 1. Так как по теореме 3.4 все точки Г имеют плотность, отличную от 1, верна Т е о р е м а 3.5. Если ГЭ Л > О, то свободная гранина имеет меру Лебега равную нулю. В снедуюшей теореме мы изучим поведение вторых производных Рыи вблизи границы; здесь мы не предполагаем Г> О, но дня простоты считаем)' сопз!. Т е о р е м а З.б. Пусть Т = сонат,у Е Г, д1зг(у, дй) > бе > О.
Тогда если х Е!'у', то — С 1 Рни(х) > (з.б) ! 1и ! х — у !!' 2(п — 1) где С вЂ” положительное число, зависящее от п, бе и С'1-нормы и. Имеем -С .Рни(х) > (3В) ! 1п д!з! (х, Г) !' и, в частности, 1пп(п( Рн(х)>0, если уЕ Г. х у х н гг (3.10) Д о к а з а т е я ь с т в о. Возьмем дяя простоты у = 0 и определим -Мн ш( Рни.
в и Оценим последовательно Мн дпя всех й таких, что Мн > О. Пусть х Е Ф, !х ! < < 2 (ь+'1, В,(х) — наибольший шар, содержашийся в У. Тогда з ~: 2 (~+'1 и сушествует точка уе Е дВх(х) Г! Г. Пусть уз — точка на отрезке хуе, расстояние от которой до уе есть бз; б мало, но тем неменееопредепимо. Если !Рии ! <М, то М и(у1) < — (бз)'. Предположим, что (еь х — уе) > О, где е, — единичный вектор 2 по (-му направлению. Применяя (3.3) с у =у„Ь = ~/Ь з, получим ьрбк т )' Рни(У, + теб)Фйт > — СБ~1~а~. о о Если (ео х — уе > < О, то заменим е~ на — е; в оассужденнях вьппе и заметим, что Р; би =Рии.
Отсюда бпр Рии(у, +П+е~))= -СЬ'1~ (3.1 1) ос гс,рбб Следовательно, Рии(х)~ — Ма+с(Мк — СБ'1з)Б" 1. (3.13) Выбирая Б так, чтобы СБ ~~ = е„М„, где се достаточно мапо (ее: Б < 1/2, если СБйт =ееМ), получаем Рли (х) > -Мк + СМз" Поскольку х — произвольная точка такая, что 1х ~ < 2 ~~" э, то — Мк+~ > -Мк + СЬ~„ за — ! (3.14) Можно показать по индукции, что 1 Мк <а с подходяшей С. Таким образом, -Мк > — С ! 1п ) х ~! е, если 2 " <1х!<2 ",откуда следует (3.8).
Обобшим результат на случай 7 Ф сонат и эллиптических операторов вида Э'и ди Аи = — 2'аб(х) + ХЬб(х) — + с(х)и. (3.15) ах~ах; ' ах, Вариационное неравенство имеет вид (Аи — у ) Э О, и > р, (Аи — 7') (и — ~р) = О в й. (3.16) Предположим, что решение и принадлежит С" (й) ну Е С", р Е Сз+". Без потери обшности можем взять Ь~ = О, с = О, иначе включим члены ХЬби + си в 7'. Можно также предположить, что р = О, иначе рассмотрим и — р вместо и, Таким образом, не теряя обшпости, можно сйести (3.15), (3.1б) к я дзи Аи — з.
а;;(х) «1= ' ахах; ' (Аи — 7')>О, и>О, (Аи — 7')и= О в й. (3.18) (3.17) 124 я отрезок у, + т(+ е~) отстоит на расстояние не менее Бб/2 от ЬВ,(х) (для О < т < <,/8т). Функция н = .Рии + Мк гармоническая в В,(х) и положительная там (так как В, С В -к); в силу (3.11) ж(у) Э- Мк — СБ'1т цля некоторой точки у б Е В, б,рз. Теперь используем неравенство Хариака (см.
лемму 3.9): н (х) > н (у )сЬ" ' (с > О) . (3.12) Будем считать, что ай~с'"(а), )~Со(д) для некоторого О < и < 1. (3.19) Доказательство леммы 3.1 остается верным, если возьмем н(х) =и(х) — и(хо) — ЛТ [х — хо [' с положительной Ти достаточномалой (зависящей от константы эллиптичности А). Таким образом, анр [и(х) — и(хо)) > )тт', если х, Я Ж В„1х ) (3.20) а 1ь аи где ар,г=, иль = и т.д. Пусть и — решение задачи дх; дх)дх;дхь Аио = 7' в В,(х), ио = 0 на дВ,(х).
Тогда и' Е Сэ'", И вЫПиСЫвая ОПенку Шаудера, )ьчя й(у) = э'ио(х + эу) в ( [у [ < 1), находим [ио ! ээо ч: С! т[,о, глс нормы берутся в В,(х) и С- положительная константа, не зависяшая от э. Формально Аио. = 7'. + 2 Х а) ь; но. + Е а ь и и" .. Пусть и' — решение задачи Аи' = — 2 Ха)ьлиоь в В,(х), и' .=0 на ЭВ,. Тогда опять же [и'1 эьо < С[7'[ ~, Аи':- -2г.аь,ио -эг.ать иио +Ха)ь;и!„. 11алес, пусть иэ — решение задачи Аи = а;ь ии. — "ар,)ц. в В,(х), 2 ч', о " 1 ) ' ) и' =О на аВ,(х). Теоремы 3.4 и 3.5 остаются без изменений. Для удобства ссылок сформулируем теорему Т е о р е м а ЗЛ.
Лемма 3.1 и теоремы 3.4 и 3.5 верны для решения задачи (3.18). Некоторые нетривиальные ситуадии возникают в доказательстве теоремы 3.6. Т е о р е м а 3,8. Утверждение теоремы З.б остается верным для любого решения задачи (3.18). Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы действовать так же, как в теореме З.б, мы должны иметь возможность применить неравенство Харнака к некоторому малому возмушению Ви и + Мь. Для этого отметим сначала, что .4ии = „ти+2 Еагади);Ь + Ха;Ь Нир„ (3.21) Тогда ~и'~со+о < С!) ~,' Окончательно, если Аб = 0 в В,(х), о = ио.+и' +и' на дВ,(х), то функция о=и .
+и'. +и. — о удовлетворяет Ац=ти в В,(х), о=О на дВ,(х), ! в!,Р < сонат для некоторого В> О. Из (3.21) видим, что л Аин =); +ко+ 2 2з,лз /=! (3.22) где ео, е; — функции класса В . Следуя изложенному выше методу, можно найти функции ц, такие, что Аоо =яо, Аот=2)(е; (1 <У<я) в В,(х), от=О на дВ,(х) )от~со в: С длялюбого 0<и<1. Пусть о 1'=о+ 2.' ор /=о Рассмотрим функцию и -Рни — Г+Мь +Сзе в В (х).
Она есть решение уравнения Аю= О. Напомним неравенство Харвака (1б1е1: Л е м м а 3.9.. Пусть и удовлетворяет уравнению д'и ди — 2 ай(х) — + 2 Ьз(х) — + с(х)и=О дх дхт ' дх, в Вр. Предположим, чю Х В()И;>Л~~~', Х~~з~<М, О«М, 1 а„" (х) — а; (у) ~ КА ! х — у !', Л>0, М>0, А >О, е>0. (3.23) ЕслииположительнавВр, то для любых ) х ! <Р12, 1у 1 <Р 1 Р (Р ~У 1) — и(у) э и(х)> ти(у) У Р 1У! Р где т — полозштеаьная константа, зависяи1ая юлько от Л, М, А, е.
Далее, так как ! 1'1,Р < сопз1, (г= 0 на дВ,(х), 126 ножно выбрать С достаточно большой в (3.23) так, чтобы и была положительной а В,(х). Применяя неравенство Харнака, как и в доказательстве теоремы 3.б (см. (3.12)), получаем (ср. (3.13)) Оии(х)> — Мн — Сев+уб" ь(Ма — Сб ~ — Сза). Выбирая б так же, как и раньше, получаем (см. (3.14) ) М, Р М +СМз"-1 — С2 Яь ь и можем вывести, что Мь <Ск О и р е д е л е н и е 3.1. Для любого ограниченного множества минимальным диаметром Ю (обозначается МОЯ) называется нижняя грань расстояний между парами параллельных плоскостей Пы Пт таких, что Я содержится в полосе, образуемой Пь, Пз. В двух следуюших параграфах мы будем изучать поведение свободной границы в окрестности точки хь Е Г. Для простоты возьмем хе = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
