Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 22
Текст из файла (страница 22)
задачи 1, 2), что с +, (то) существует и Ф(Г) — Ф(то) ! 1 1 1 — то от+а (го) ~ ~ ~ Х Ф (г)дх, дх, + (г — то) " 1 ~ "! м!<' (г — го) +т(г — т) ' 1 т — то ~ !г! -' (г — т,)'"+т(г — т) Правую часть можно оценить в силу (2.28) величиной сопа1 ! г — го !о. Таким образом, получили разложение юм «(г) = Х с,(го)(г — Го)' + О(!)(! г — Го !сн'' ""), !=о где т+1 Х !с,(го)!+ !О(1)! <С( — И < то <А) != о для г е 6 г! Вн при любом 0 < Я < 1. Включение е Е См' "о теперь следует из стандартных рассуждений (см. задачу 3) .
Далее, мм хотим доказать, что в условиях!теоремы 2.4 с тн > 1 параметри. ческое представление г = к (т) границы Г невырожпенное. Т е о р е м а 2.5. Пусть выполнены условия теоремы 2.4 с т = !. Тогда длл любого -1 < го < 1 к(г) — К(го) !!ю — — — Ф О, (2.30) т, (г †. го ! гдг либо л = 1, либо н = 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию е' (г), определенную в (2.22). Из (2.23) (так как мы можем взять Х = ! ) иьюем ! ет(г) ! < С! л'(г) ! ! х(г) — го !, С вЂ” колета~~та. Поскольку !Пр'(г')! = !Птл'(г)!,; и Р а (г) = О, то функция Ф (г), очределениан в (".."5), удовлетворяет неравенству ! Ф (г) ! < Х(г) апр 1'Р(Г) — Ф(0) 1, !С! = !г! 0 в (1аг>О) !Вн, я(г) = С!о'(г)! в т1гп г < 0) г1 Вн для некоторого т > О.
Напомним, что е е Н' '* для любого т > 2 (т зависит от т). Нам потребуется следуюц!ая Лемма 2.6.Предположим, что и Е Н 'т(В) длл некоторого в > 2(В =В1), ! ю (г) ! < д(г! ьцр. !то(г) — ю(0) !, г Е В, !г!.= ! ! (2.31) д Е А~(В). Если и' ф 0 в некоторой окрестности г = О, то суигествует целое и > 1 такое, что ю(г) -- ю(0) 1пп — „= с Ф О. т о г" Предполагая, что лемма верна, можно применить ее к Ф (тг) и вывести, что (230) имеет место для некоторого и Р ! . Если и > 3. то х(г) -,т(!о) + с(г — го)" (с ч- О) но может быть взаимно однозначным отображением 0 в ьг, следовательно, н < 2, и теорема доказана.
Сначала покажем, что если Доказательство леммы 26. И'Е Н па(В ~) для некоторых т > 2, 0 < Я < 1 и !а1-к — е~/ Е 7.з(В ) ! г1 "(и'(з) — и'(о)) е 6 (В ), где о > О, п — целое положительное число, то И'(з) — И'(0) — — с < С!г!', (2,32) !г! <Р<Я, где Л = 1 — 2/а т = ппп(о+ Х, 1), †л †! ! с = — — ! т )г(т)м,г71, + — ! г ' '(и(г) и(о))Вт л вв 2л) в'я (2.33) С - с !1 г И'-!! т Я !! И~ И'(О) !! ( —. Р) с зависит только от т; доказательство см. в задаче 4. Далее мы хотим показать, что если для функции и> из леммы 1пп !а ! "(и(г) — и(0)) = О, 1ь! (2.34) и > 0 целое, толлялюбых 0 < Я < 1, 0 < 6 < 1 !а! " '!ьг(з) — (О)! С!! "( (т) — (О)!! -( г ЕВО ь)в, (2.35) где С зависит только от а Ь и В'(Вв)-нормы д.
До каза т ел ь от в о. Возьмем для простоты ю(0) =0 и предположим, что ! ю(г) ! < А1.г 1"" для!а!=р<Л, А>О, о>О (2,36) Ввиду предположений относительно ю условия (2.32) тогда удовлетворяются с )т' = )г. Следовательно, р " '!и(г)! - с,А!1 41! з Н' " '1! и !! зв (тс — р) ', (2.37) с (вл) с (авв) где т = ппп (о + Х, 1). Если т = а + Х, то, используя неравенство К " ~!ьг! < А на Э В , получаем р '"' 1ю(г)1 < ( с,!1 В 1! + Я ' ( — р) ' ) А. (2,38) Если т = 1, то легко выводим Р " ' ! ~(з) ! - ( Рт!! Я 1! с' в ) + В ( — Р)-') А.
(2.39) Поскольку (2.36), очевидно, имеет место при о= 0 (в силу (2.34)), получаем (2.38) с о = О. Рассмотрим теперь итерационный процесс. Пусть т — положительное целое число, такое, чтет+ 1 < 1/Х <л). Выберем малое л>оп о=(/ — 1)йдля) = 1,..., т. Из (2.38) имеем для каждого)' <(С+и 'В х)!!р" ! ) тг1! (2.40) Если с = О, повторяем процесс с л = 1. Отсюда (2.42) верно при и = 1. Опять же, если с = О, можно получить (2.42) с л — 2 и т.д.
Таким образом, для завершения доказательства леммы остается показать, что если тт такая же, как в лемме, то равенство 11п» !г! "н»(т) = 0 ь о (2.43) не имеет места при л > О. Схему доказательства см. в задаче 5. Задачи 1. Доказать лемму 2З. [У к а з а н и е. В силу (2.3) о(») — о(0) 1 1 1 о(т) = — — ./ ет(з) "/х»»/хг +, /' с»я т»г в т(г — г) т 2»»»' ая т(т — г) Обозначим с правую часть этого равенства при т = 0: -2 1 с = — / т е»тх»»»хт + — / т о»тт. п в 2я! ав Покажите, что с конечно н и(т) — с(0) — с = г 1 1 о — — о Их,»/хт + — / »/т. я в тз(т — г) 2л» ав т~(т — т) Первый интеграл оценивается величиной !!!т! о,!! з(/!г!1~ т!' !г — »! '»/х,»/хт]'/', где 1/а + 1/а' = 1.
Если о < 2, разбейте область интегрирования на три части„. Ае ! ! т — г ! < (1/2) ! г П, ! ! т ! < (3/2)! г !! '~Ае, (! т ! ) (3/2)! г !! ~Ао., а из (2.39) с о = (т — 1) Х— !!р " 'ю!!ь"(и > < ь 1вО ч1л> а(с+1 /»1+(щ!>Х)!!щ1»е1)Л!! (2.41) ь" (вл1 Применяя (2.40) с Я = Я/, = /1е (1 — «)» ' для/ = 1, 2,..., т, а затем (2.41) с /т = Н»ч = Яе (1 — «) н перемножая левые и правые части зтнх неравенств, получаем (2.35) с 1 — Ь = (1 — «) Для л = 0 (2.34) справедливо.
Следовательно, из (2.35) ! з Г" ' ! н (т) ! < С и ввиду (2.31) применим (2З2) к в» =н»; и тогда существует н»(з) — и (О) с= !пп (2,42) е аа 2. Показать, что правая часть (2,29) ограничена величиной сопат11 — ге [". 3. Пусть я(г) определена для 0 < г < 1. Предположим, что для любого 0<а<1 е ~(г) = с с~(т)(г — т)1+ 0(1)Иг — з!"'") (О < о < 1), г=е где 1с;(з) [ < С -10(1)! < С, С вЂ” константа.
Доказать, что а Е С"+'". [Указание. Возьмите л = 2. Очевидно, се(з) я(т), с~(з) = й(з), и из разложений а(а + Л) — д(а) = Ьс~(а) + 0(йз), И(а) — л(а + 6) = — Ьс,(а + Ь) + 0(йз) следует, что с, Е С . Разлагая в а — л ,Е(а + й) + 8(а — л) — 2я(а) = 4йас,(а — л) + 0(лз+ ), затем заменяя й на — л н сравнивая, получаем с, Е С"., Предел конечно-разностных отношений второго порядка В'я = 1лп Ь„х (т) равен с, (г) . Из я(а + й) а(а) йс (а) + йзс (а) + 0(йз+а) Л(а + 2л) — у(а + й) = йс~(а + й) + й'с,(а + й) + 0(йз+~) получаем, что с~(а + й) — с~(а) Ьз а(а + й) = + 0(1) и с~(а) существуетнравно сз(а).) 4.
Доказать (2.32). [У к а з а н и е. Выразить (йг(т) — 1г(0))т ~ по формуле Грина и применить процедуру из задачи 2.) 5. Доказать (2.43) . [У к а з а н и е. Найти выражение для т "и~(а) по формуле Грина в Вл и дляГ'(р) =2'„(р) = апр 1а "ю(а)~ вывести формулу 1*1= а Р(Р)<С!!)111~с з! 11 * + С[1ЯК ~1 | г т ~ 1~ е гге 1г 1 = Р, 11з + 1/т' = 1.
Возвести обе части неравенства в степень з', умножить на !а ~ ' ипроинтегрироватьпог Е Вл. Тогда .Г У(Р) Р ~! Сл 1 У(Р) Р + С~(В) и вя вл Если ю(ае) ФО, ) ге ~ достаточно мало, то Ре <СВ Ре =1ае й что невозможно, если л -+ '.) 6. Доказать следующую тебрему: пусть й — строго выпуклая ограниченная облазь в Вз и Р— строго вогнутая функция из С'(й) (те.
(д'Р/дхгдх;) отрицательно определенная) с условиемс < 0 на дй, тпах Р= Р(х*)>0 (х* Ей). й 120 Пусть и — решение варйационного неравенства — Ьи>0, и>р, — Ли(и-р)=0 в й и =0 на дй. Тогда:(а) некоинцидентное множество 1у' связно; (б) коннцндентное множество Л связно. [У к а з а н и е. Для доказательства (б) пустьхе Е Эй, я„ — плоскость, каса- тельнаЯ к Эй в хе и г = Р(х)[х = (х,,хз)], скажем, в (х, Т(х)) е Я'. По пРинципу сравнения А (х) > и(х), где хз = А (х) — уравнение для я„, и 1'Р Е (хс)] > > ] ти(хе)], '7Ь(хс), 12и(хе) направлены по нормали к Эй и хе. Отображения Г,: хе.+~71(хе) жую(7(х )), Гс: х, — ~уи(хс) взаимно однозначны (поскольку й строго выпукла) и Ге с 1пт Г,.
Отображение х -л 7~ р(х) взаимно однозначно (так как р строго вогнута) отображает т на Г1 н х* в О. Поэтому оно отображает 1лт т на внутренность Г,, следовательно, Ге = = ~7 р(Т) для некоторой кривой Т, лежащей внутри у. Так как и < Е, свободная граница Г лежит вне т и ЛГограничено Г и д й. Отображение о Фр) '~уи (хк=-Ф) о~крыто, о(Г) = Г и о(ЭЙ) = т лежит внутри т и, следовательно, внутри Г.
По (а) о(Л') связно. Но тогда Л~Г = о(Лг) о 1пт у также связно открытое множество. ] Из задачи 6 можно легко вывести, что Лг гомеоморфно круговому кольцу. Дополнительные рассуждения показывают, что можно применить теорему 2.1 (отметим, что Г априори не предполагается жордановой кривой); подробности см. в работе Леви и Стампаккья [138а] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
