Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 20
Текст из файла (страница 20)
го Г анали»ическая в некоторой окрестности хс. Доказательство. Возьмем, для определенности,/(х ) > О. Подберем локальный диффеомэрфизм х ь у и преобразование и (х) в с(у) так, чтобы Г локально отображалось в у» = О и о удовлетворяла эллиптическому уравнению ( у» < О) с нулевыми данными Дирихле на у» = О. Тогда утверждение теоремы будет следовать из известных результатов по регулярности на границе те»я эллиптических уравнений. Положим есть локальная параметризация Г вблизи О, и остается лишь установить гладкость нв Ь'!.!Я. Для нахождения дифференциального уравнения дпя н заметим, что и!1 и12 ..
и! С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, таК КаКХ1 аУ1,Ха =Уа (~ ~а <в), и!2 . !'!л 0 0 1 Поскольку — = —, то 1 и!1„ и11 = и!а = (2 л а~о), гч! и„ (1.11) Тогда до. .„ до. ду, не 2' ае дхл 1=- ду, дхв и!ао!в = — оа! и!с+ пав = наев (2<а, Р(л), и! ! (1.12) н в силу (1.2) 1 1 л — — — Е О!а+ г, Оаа — )(О1,у')=О В и1, О11 О11 а=2 а=2 (1.1 3) ГДЕ У' = (Уз,...,Ул).
ИЗ (1.3) ПОЛУЧаЕМ в(О,У)=0 на Я. (! .14) Уравнение (1.13) имеет вид ф(у ""1 . ° "л "1! . "!лю .- "л! ° .. "лл)=0 нли, бочее коротко, ф (у, и, 1!о, 122 о) = О. Такое уравнение эллиптическое в у относительно частного решения и(у), если матрица Я) (1.15) положительно определенная при и = и (у) в у = у . В рассматриваемом случае Ф = О эллиптическое в у = 0; фактически, матрица (1.15) диагональна: (Л1;) с Л! 1 = — 1/о!1(О) ) О, Л „= 1 (2 ~ а < л). Теперь можно применить результаты о локальной регулярности для эллиптической задачи (1.13), (1.14); (1) следует из теоремы 11.1 (За); (И) — из теорема! 11,1 13а) и (111) — из п.
6.7 11451 или [94с). Теорема 11.1 обобщается на случай решений уравнения с (х, и, Ви, В и) = О в Гс, рЕ С' по всем переменным. 1.16) Те о р е м а 1.2. Пусть и, Г удовлетворяют (1.3) — (15), (1.16), и лредлоложим, что Р зллилтично относительно и (х) в некоторой точке хе Е Г и с(хе 0 0 Вги(хе)) ФО Тогда (1) Г класса С'"" для любого 0 ( а( 1 в окрестности хе; (И) если Р Е Сч!+В (л! > 1, 0 ( б < 1) ло всем аргументам, то Г Е С + !+)с в некоторой окрестности хе; (ш) если с аналитическая ло всем своим аргументам в окрестности х . то Г аналитическая в неко торой окрестности х . До к а тат ел ь ство. Рассуждаем так же, как и ранее. Единственный момент, требувяций проверки, — то, что если Ф определяется из уравнения с(х,у, Ви, В'и)= Ф(у, о, Ви.
Вао), то Ф зллиптично ну = О. Из (1.11), (1.12) находим, что ну = 0 ди„, ди,„1 ди„ вЂ” =1 1 г д еа ' дв„о„дз„ и все другие частные производные ди!)сдьа обращаются в нуль. Поэтому дФ дб ди! дР сает = Е ~ Ьдт = ~ — ссс!. доз,„а,~л с,! дис! доаю сб диб где е ! = $ссо! ! (0), $,„= ~„(2 < а:~ л), и эллиптичность Ф атедует иэ эллиптичнос. ти р.
Преобразование (1.6), (1.7) можно взять в более общем виде уа=х (!с+1<а~в), уе = — ие (1 < б < )с), (1.17) а о= 2' х„у„+и. (1.18) Так же имеем: если р(х,у, Ви, В'и)= Ф(у, ц, Во, В'в) и с эллиптично относительно и в О, то Ф зллиптично относительно о в О. (1.19) Преобразование ус= — и (1!(л) М! (1.20) л о= Х хсус+и != ! называется преобразованием годографа; (1.17) — частичным преобразованием годо- графа. Преобразование (1.20) и называется нреобраэованием Лежандра. Мы будем называть также (1.6), (1.7) (и, более обшп, (1.17), (1.18)) нреобраэованием Леэеандра. Теорему 1.1 можно использовать для изучения задачи с препятствием, если известно, что свободная граница класса С' и решение и — класса Са вплоть до свободной границы.
Далее, установим аналог теоремы 1.2 для параболических уравнений. Для простоты ограничимся только случаем С Пусть й — открьпое множество в пространстве Ю"+2 переменных(хи... х„, г), à — открытое подмножество Вй и ОЕГ; Г класса С'; Г не касательно к г = 0 в начале коорпинат; и и 0„и принадлежат С'(й О Г); и=О, агад„и=О на Г; и, — Е(х, г, и, 21„и, 1722 и) = О в й.
(1.21) Т е о р е м а 1 3. Если (1 21) имеет место и Е зллинтично относительно и (х, т) в О, Е Е С но всем своим аргументам, Е(0, О, О, О, 27~ и(0)) чь О, то Г класса С в некоторой окрестности О. До к а за тел ь ство. Можно предположить,что локально Г задавав вице х, = ф(хз,...,х„,т), Тогда о удовлетворяет уравнению о,— ф(х, Оо,Ро,Фо)=0, (1.22) где Ф зллиптично; кроме того, о = О на у, О.
Теперь применим результаты о регулярности на границе для нелинейного параболического уравнения (1.22); далее см. [123а[. Для других задач со свободной границей можно применять аналогичные преобразования. Рассмотрим здесь один важный случай: Е(х, и, Ви, Фи) = 0 в й, и=О, а(х,агади)=0 на Г. (1.24) Т е о р е м а 1.4. Пусть выполнены (1.4), (1 5), (1.23), (1.24), а (х, р,,..., р„) Е ЕС2 Эа — (О, агад и(0)) Ф О, и„(0) Ф 0 др„ и Е зллилтично относительно и в О. Тогда где Ф Е С' и х, < 1е в й; кроме того, Ф„(0) = О, и„,„,(0) = 0 за исключением и„„(0) > О. Продолжим и, как функцию класса С' на всю окрестность нуля и рассмотрим преобразование у = (- и „хз,, х„), э = т, о = х,у, + и. функция о (у) теперь выбирается следующим образом: о(у) = хп. (1.26) Тогда Г отображается в у« « 0 и и« ип ип Следовательно„ дхп и уа = — = (! ~» о < и), дуа ил дх„! о л дуи и« дуи "а — = иа и — — (1 <о <и), дха оп дуп 1 — пи п дхл оп откуда ду опп "пи и ли пп з дхп дуп и ла а 2 о„оп ох„ опа ва опл — т — - (! <а<п), 2 з оп ол пав сап "11« спи Ф 2 Р 2 а а Ф 3 (! 'Д< )' ул уз ' О за Ол Используя эти формулы, можно вычислить, например.
что и-1 2 о лл и-1 2 "аа + 2 ~ оа"ал з (1+ ~ оа) Оп '" 1 Ои а 1 Пп «=1 (1.27) н, в общем случае, О = р(х, и, Ви, У' и) и ф( у, о, Во, 1! и) (1.28) нфзллиптично в О. (1) Г Е С2'а дня любого 0 < а < 1 в некоторой окрестности 0; (П) если Р Е. С +", я Е С'"+1+« (и1 и 1, 0 < !3 < 1) ло всем аргументам, то Г Е С +~+Я в некоторой окрестности 0; (тП) если Р, я анвяитические ио всем аргументам и окрестности О, то Г аналитическая в некоторой окрестности О. Л о к а з а т ел ь с т а о. Предположим, что внешняя нормаль к Г имеет направление положительной я«оси и продолжим и как функцию класса Сз на всю окрестность О. Предполояз1м, что ип(0) > 0 и применим локальный диффеоморфизм У = (Х,,, Хп 1, и (Х)); (1? 5) Функция о также удовлетворяет граничному условию о! пв — ! о„ о„ и„ на у„=.
О. Так как ду/йр„Ф О, можно записать это условие в виде ьа = й(у! Ул — л, и ос, ое-!) где й такой же гладкости, что ие . Это граничное уюювие является условием типа Неймана и результаты по регулярности на границе, упомянутые выше, справедливы и в этом случае. Отметим, наконец, что граница Г вблизи 0 представима в виде х„= о (хс,... ...,х„л,О), так по Г имеет туже пьадкость, что и о. Заме ча ни е 1.1. Предположим,что и =2!и с!и=О в й, (! .29) йи — =О, !йсаби ~=1 на Г,ОГкГ, ор до о=О, — =1 на Г ор н и Я С (й О Г) . Применяя теорему 1.4, заклсючаем, что Г аналитическая. При л > > 2 такое утверлиссше неверно.
Действительно, функция и(х) = х! удовлетворяет (1.29) с Г !:- С', где à — произвольная гиперповсрхность вида х„= рл(хэ, х„,). Задачи 1. Доказать (1.19); здесь па хе~ па Уа (а~«), ор =ив (б>/с), Й>= Х хас(у„+ Х ирс(ур, екк рлк /с л — й ...) (~ в) у'ду т в ( — ( =: у"- (а </с), , ох,л) — ие — элемент (а,у) и,р= — у„" = Х п„„ур (Р(А<к), е ч л.
им = о~в+ ~ ого У) (!с ~к, т). е к где р — нормаль н и, Г удовлетворяют (1,4), (1.5) . Тогда гармонически сопряженная функция и, о (0) = О, удовлетворяет условиям с5п=О в й. 2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1 с х = 0 и Г: хс = Ф(хз,..., х„). Можно ли доказать теорему 1.1, используя преобразование уо =хо(2<о<я), у, =хс — Ф(хз,...,хо) (которое отображает Г ву, = 0) с п(у) =и(х)? 3. Дпя задачи Стефана в одномерном случае Ос — д„„= О, если х <с(с), 0 =О, О„= — г'(с), если х=с(с), доказать, что если г Е С' и д Е С вплоть до свободной границы, то с Е С (У к а з а н и е.
Испол ьзуйте преобразование у = х — з (с) нли у = х/с (с ) и возьмите п(у, с) =и(х, с).1 з 2. Регулярность в двумерном случае Определим д 1с'д д Р дг 2 дх, дх, д 1/д д Р = — = — ~ — +с— дг 2 ~.дх, дхз ) с ) п ВхссСхг = — — ) пс)г. Т 2 ап (2,1) Заметим, что и Е С~(Е), Л = 1 — 2/с > О. Пустьго,гс — дветочкивЕ, го Фгс, определим Е,=ЕСЗ (!г — го~>е, |г — гс~>е), е>0. Рассмотрим функцию со(г) — и (го ) п(г) = (г — го) (г — г,) ! т > 1 целое, и предположим, что со Е Н "(Е), з > 2, ~и(г) — и(го)! <С~г — го ! 1и (г)! <С(г — го! (О<а<1).
(2.2) Применяя (2.1) с такой и и. Ее вместо Е и устремляя е к нулю, получим 110 и используем обозначение ж(хс, хз) = ю(г), где г = хс + схз. Как обычно, Вл = ( 1 г 1 < Е ), Вл (го) = (! г — го 1 < Я ), Нам потребуется формула Грина в комспсексной форме. Пусть ю = и + си. Тогда для любого ограниченного открьпого множества Е с границей дЕ б С' (кусочно) и для л юбой функции и Е Н с х (2 < с < ) то Г допускает аналитическую нараметризацию.
Докажем возможность локально аналитического представления; в действительности зто означает, что аналитическое представление имеет место глобально 127, с. 376!. До к аз а тел ьот в о. Функция 1 1 У(г) = — ( !и У(г) дг~дгг (2.7) 2явя !г — г! вещественная и аналитическая, так как сл( = — у. Позтому достаточно доказать теорему в случае 7'= О, иначе можно рассмотреть и — 7" вместо и.
Мы получим аналитическую параметризацию в окрестности ге ~ Г; двя простоты положим ге = О. Пусть р 'и = и — (и . = 2и, х! ха 17*р= р. — (ах =2р,. Можно непосредственно проверить, что 227 Ч'и = Ьи = О в й, т,е. ч 'и голоморфна в й. Функциями' р (х,, хг) разлагается в степенной ряд 2'алнх,"х(' (!х~!(2б, !хг!(2б) при некотором б > О. Записывая г+ у х,=— 2 г — у хт 2 получаем разложение Р 'Р(г, г ) = Х Ьлн гл г и где Ьл„теперь комплексные козффициеиты и 17'~о(г, г ) ю ~7'у(х,, хг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
