Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Отсюда Г есть поверхность класса С' в окрестности О. Остается доказать, что и Е Е Сг((Ф (> Г) г> Вр ) для некоторого малого р > О. Рассмотрим функции,0;; и в Ф. Мы должны показать, что если х - хе Е Г, ! хр ! (Д, то Р;; и(х) сходятся к пределу, равному (р, ег>. (р, е) >, где (а, Ь.> обозначает скалярное произведение а, Ь, а р — внутренняя нормаль к Г в х„, заметим, что р непрерывна вдоль Г. Положим рс = р(хс). Достаточно взять хс = 0 и еп касательный к Г в О, и доказать, что 1пп йй и(х) 0 ° (5.14) х О хну Тогда из уравнения — би + 1 = 0 имеем "7 () х О хну Предположим, что (5.14) неверно. Тогда существует последовательность х,„- О, х Е >т", такая, что ! 2>;; и(х,„) ! > ц > О.
(5.15) Пусть ую — ближайшая к х точка на Г. Введем функции и (2 ! х,„— у,„! х + у,„) и (х)= ™ (5.16) (2(х — у !)* Поскольку у х,„имеет направление внутренней нормали к Г(и) в у, и(х) > 0 в области, близкой к полупространству. Следовательно, и,„(х) > 0 в области, которая приближенно является полупространством ( (х, х,„— у,„) ~ 0) или (опять же в приближенном смысле) ((х, ре> > 0). Отсюда для подпоследовательности и такой, что и,„-+ гг равномерно на компактных множествах, н = О, если (х, р) < 0 н Ф(и) содержит полупространство ((х, рс) > О). Так как гр выпукла, то Л(н) совпадает с ( (х, и» ) < 0].
В силу единственносги решения задачи Коши получаем 1 н(х) = -(х,а» ), если х„>0. 2 Так как В!,м т Оз(хм) С Ф(и), то Ьи = 1 в Вич(а»/2) для всем достаточно больших т. Следовательно, 1йп0;, и,„ (а»/2) = 2)а н (е»/2) = 0 (поскольку е; — касательное направление); приходим к противоречию с (5.15). Доказательство теоремы 3.10 в общем случае аналогично.
Здесь надо использо. вать теорему 3.8 вместо теоремы 3.6. Бдннственное отличие будет в доказательстве леммы 5.3 — следует его модифицировать подобно доказательству теоремы 3.8. Заметим также, что блоуап-предел решений уравнения Аи = /' является решением уравнения Баб(0)23,;и = /'(0), так что лемма 4.3 и доказательство и Е Сз остаются без изменений. Задача 1.
Обобщить доказательство леммы 5.3 на общий случай вариационного неравенства (3.18) . й 6. Своболная граница в задаче фильтрации Пусть й — цилиндр в Гг"+ ': а=в„х(о<у <н), где Вл — шар(! х ! <Я), х =(х,,...,х„). Будем писать Х =(х,у). рассмотрим варнациоиное неравенство — Ьи+/>О, и>0, (-Ьи+/)и = 0 з й (6.1) н положим, как обычно, Н=(и>О), Д=(и=О), Г=ЭНг а. Предположим, что /'ЕС'(й); /т>0. />О в й, и=и =0 на Вн Х (у=Н), и,<ов й. (6.2) (6.3) (6.4) Тогда для л~»бой х Е Вн (х, у) ЕЛl, если н только если у < й(х), (6.5) где ф(х) — некоторая функция со значениями в 10, Н). Таким образом, М есть х-подграфик и à — х-график.
Тс о рема 6.1. Всап Х» = (х,у») Е Г, то существует окрестность !'= =' Вр (х~ ) Х ( ' у -- у» ! < р ) точки Х» такая, что Г г1 )г задается в виде у= ф(х), !х — х» !<р, (6.6) и гз непрерывна по Липщицу. До к аз аз ель» т в о. Возьмем лля простоты х» = О, Напомним, что и е ". Сг д(й) н без потери общности можно предположить, что и Е Сг п(й) (иначе (6.8) можем взять А =Аа. Пусть Ь вЂ” малое, число, которое уточним позже; оно зависит только от М. Очевидно, н =0 на дэт'л Г!Г заменим й на й О (у > е) для некоторого малого е > 0 и используем теорему 4.3 из гл. 1) . функция и удовлетворяет Ф условиям — лп — гу <О, и ~0.
Поэтому по строгому принципу максимума иу (О в !У. (6.7) Для произвольного М ) 0 положим !Ул = (Вл !( (О,В)) гз !У. Вля любого вектора е Е Н", ! е ! < 1, и К > О, А > 0 рассмотрим функцию н= — Ки +си — Аи ! у я в !уз и, где М такое, что Вал С Вл . Так как Ьи = — К~, + е~„— АУ; то в силу (6.2) если А достаточно большое (не зависящее от К, е), скажем, А >Аа, то таза( — 1 в !Узл., н по (6.7) н»0 на дФл О(Х;д!зт(Х, Г)>б) для всех В <Я'<2Я при условии, что К - .К(б). Если можно показать, что ю>0 на дФл Гэ(Х;0<6!зт(Х, Г)<б), то можно применить принцип максимума (см.
(6.9) ) и получим ю>0 в Фл. Теперь методом от противного установим (6.11) при условии Ь < ба(В). Предположим, что существует точка Х = (х, у ) такая, что ' н(Х)<0, х ЕдВл, д!ат(Х, Г)<б. Рассмотрим функцию (Х)= (Х) + !Х вЂ” Х 1* 2(л+ 1) в Фзл. В силу (6,10) й(Х)>0 на д!Узл ГЭ(Х;д!ьт(Х, Г)>б).
Кроме того, й ) О на Г. Если Хед7Узл, д!ат(Х,Г)<б, то,так как иЕСал и и=О, Чи = 0 на Г, 1 за(Х)) -Км„— (А + !) Саб— В >О, С)0, 2(л+ 1) (6.10) (6.11) (6.12) при условии, что б < Вз/С с некоторой константой С (зависящей от К, А, Ь). Замечая согласно (6.9), что Ьй < 0 в Нзл, из приннипа максимума получаем й > 0 в тчзл. Это противоречит предположению о том, что й(Х) =и(Х)<0. Установив (6.16), будем использовать теперь только слабое утверждение: — Кит ь еи„> О в Лтя. Так как зто верно дчя любого вектора е, ! е ! < 1, и любого фиксированного К > О, то существует конус М с вершиной х и раствором у > О, ось которого параллельна — е„+ ! = (О, О,..., О, — 1), такой, что Мт! (тсФ.
То же верно (с той же у) относительно любой точки Х', Х* Е Г, лежащей в малой окрестности Хе. Поскольку ЛГ, кроме того х-подграфик, то конус с М с вершиной Хе раствором у и осью, параллельной е„+,, должен быть таким, что М' й (т принадлежит Л. Но тогда ! й(х) й(хе) ! < С'т, хе и доказательство окончено. Т е о р е м а 6,2, При условиях теоремы 6.1 (!) ф Е С! и и Е С з (!У !З Г), (й) если тЕС " (и!>!целое, 0<а<1),то ФЕС (10) если / аналитическая, то й(х) аналитическая. Дока зател ьство. Утверждение (1) следует из теорем 6.1 и 3.10. Заме. тим, что теорема утверждает возможность представления класса С': х; = Ь(х,,...,х;,, х;+,,...,х„,х„„,), (6.1 3) х„,, =у.
Поскольку, однако, $ липшицева, дй/бх„+ ! Ф О, и можно использовать теорему о неявных функциях дпя обращения (6.13) в х„+ ! = й(х) с !т Е С'. Утверждения (!!), (щ), следуют из теоремы 1.1. Рассмотрим теперь задачу фильтрации из В 5 гл. 1. Непосредственно из теоремы 6.2 вытекает Т е о р е м а 6.3.
Пусть и = у(х) — свободная граница в задаче !бильтрации из й 5 гл,1. Тогда р(х)аналитическач для 0<х<аи р(х)<Одля 0<х<а. Действительно, так как и „< 0 в некоинцидентном множестве )т', то у = р(х) аналитическая. Поскольку в„< 0 в )т', то, кроме того, обратная функция х = р '( у) аналитическая, тем самым р (х) Ф О. Теорему 6.2 можно применйть также к трехмерной задаче фильтрации. Предположим, что перегородка ь1 (из однородного пористого материала) в кз задана в виде й =( 0<ха <Н, 0<к~ <а, я,(х,) <хз <Кз(х,)), где хз направлена вверх по вертикальной оси. Слева от поверхности С,: хз = = я,(х,) — резервуар с водой уровня Н, справа Сз: хз = яз(х,) — резервуар с водой меньшего уровня й (О < я < Н). Перегородка непроницаема на поверхностях Яе: х, =О, Я„: х, =аи наднеВ: хз =0.Обозначим Тверхнееоснованиехз =Н.
!40 Полагал н(х) = р(х) + хз (р — давление), ищем функнин и(х), и(х„хз) та- кие, что ззи= 0 в влажной части (р) О), н=Н на Сз, н = й на бз О(хз <й), н=хз на бз О(«з)й), дн — =0 в В дхз ди ! и=хз, — = 0 насвободнойгранииеГ: х, =зз(х,,хз). ди Пусть х(хз, х, ) — решение задачи Ье=О в В, 1 е= — Н' на (х, =у,(х,)), 2 (6. 14) 1 — Ь' на (хз =-ез(хз)), 2 дх — = 0 на (х, =-0) ьз (х, =а). дх, Предполагая, что Х (0) = Ф,.'(а) = О, х, (хз) <уз(х, ), (6.15) легко установить существование решения е в С'(В). Определим теперь и мР(х! Хз, хз) Х (и(хм хз т) — т) с'Г, ' Х~ х(х,, хз) в В, 1 — (Н вЂ” хз) в Сз, 2 1 — — (л — х,)' в бз тз(хз <й), 2 0 в Н, тз(хз)й) ина Т.
Действуя формально, найдем, что и — решение вариационного неравенства зим К, ) т7зи ° з7(и — зи)ВхР --7" (и — и).1х, зуиеК, (6.16) где К=(иЕНз(й), ирнО. и=в на Эй~(Яе ОЯ„)). (6.17) Т е о р е м а 6.4. Суизествует единственное решение ве)эиецнонного неравенстве (6.16), и (!) дю/дхз <0 в й, (й) свободная граница задается уравнением хз = ч!(Х„хз), где Ч! аналитическая в В.
До к а за тел ь с т в о. Существование, единственность и И! ',. -Регулярность следуют нз общей теории, гл. 1. Чтобы вывести И'з'Р.регулярность вблизи угловых точек границы, скажем х, = Н, используем отраженно относительно х, = Н и рассмотрим тч(х! хз хэ) если хэ (Н ю(х,, х,,х,) = ( ъУ(х!,хз,2Н вЂ” хз), если х >Н (подробности см. в [167 Ь)). Доказательство неравенства дтч/дхз ( 0 вытекает нз принципа максимума, как в й 5 гл.1. Далее, сравнивая, находим, что 1 ю ( — (Н вЂ” х,) 2 Пусть н . — решение вариационно го неравенства нг, ЕК, 17 н!. '7(Π— н!, ) > -- / (Π—, н!,) ЧП Е К..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
