Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда р(х,) < р(б), если а.<б — бо <х, <б+бо <Ьь х, оьб для некоторого бе > О. Л е м м а 810. Существует кри вая уровня 7, ( и„= О 1, заданная в виде 7: (х=7(т) 0<,т<,) такая что 7(0) = (р, Ф(б)), 'у(т) Е Е если О < т < оо 7(" ) = Д ( ) дт лежит до~Хо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого малого б > О, б < бе, и(б — б, р(б)) < Ы(б — б,р(б))= р(б), и(б+ б, р(б)) < Ы(б — б, р(б)) = р(б).
Следовательно, и„(б-б,,р(б))>О, их (р + ба, 4(р) + е) < 0 для некоторых О < б„бз < б. В силу непрерывности и„(б — б ~, р(б) + е) > О, и„(д+82,Ф(Щ+е) < О, если е > 0 достаточно мало. Следовательно, имеется число б, — б 1 < б, < ба такое, что и„(б + б„р(р) + е) = О. (8.22) Поэтому существует кривая уровня ( и„= О ), начинающаяся в (б, р (б) ), и содер- жащаяся в области Е (за исключением ее начальной точки) .Продолжим эту кривую тем же способом, что и при доказательстве лемм б.11 и 8.9.
Остается показать, что 7( ) ~ До~~о Если это не так, то 7( ) ~ Хо и существует подобласть Ео С Е„ограниченная 7 и частью Хо такой, что и = 0 на ее границе. По лемме 6.7 и принципу максимума отсюда следует, что и„, — = 0; приходнмк противоречию. Д о к а з а т е и ь с т в о т е о р е м ы 85. Рассмотрим сначала случай, когда х = 1, и возьмем (дпя определенности) Иэ (з) положительной при т — е1 (т — т, ма- ло) и отрицательной приз — А (А -з мало). Обозначим до (з', е") часть до, соответствующую з' <з <з", а ло (е) — точку до, оэответствующую е.
Предположим, что имеется кривая 7 (как в лемме 8.9), такая, что 7( — ), 7(о ) лежатнаио Тогда 7(-")=До(а,), 7(+ )=До(в,), е, <а, <а, <1, Обозначим л, кривую, полученную из ио заменой ло(ом вэ) на т,и параметризуем 7 параметром е, о1 < з < а,. Обозначим Е, подобласть Е, ограниченную Хо, и,, и предположим, что существует другая кривая типа 7, скажем 7,,в Е, такая, что 7, ( — ) и 71 (+ ) лежат в д,. Затем преобразуем Л, в кривую Лз, заменив часть д1от 7, (- ) до 71(+ ' ) (8.24) иг(г)>0, если ге < г<Е. По принципу максимума и„,>0 вР,, (8.2') и„, <0 в Рг. (8 2б) Из (8.25) следует, что (и — И)хд ) 0 в подмножестве Рг, состоящем из всех точек х, для которых И(х)= хг.
Это неравенство влечет следующее условие: функция хг =и(х,) монотонно возрастающая при 0 < хг < й. (8.27) Аналогично из (8.26) вьаодим, что функция х, =чг(х,) монотонно убывающая при 8 < х, < Ь. (8.28) Следовательно, может быть не более одной петли и у (хг) имеет единственный строгий максимум. Таким образом, в рассматриваемом случае доказательство теоремы завершено. Предположим, далее, что (8.24) не выполняется.
Пусть, для определенности, для некоторого г *, те < г < Е, и,(г) >О, если г, < г <г~, иг(г]ФО, если ге < г <ге, и,(г) < О, если г* < а < а + 8 дпя некоторого малого 8 ) О, иг(г) < О, если г' < г < Е. (8.29) Тогда получаем (8.27), как и выше. Так как иг (г) изменяет знак вдоль др(ге, Е), имеется кривая уровнят, в Рг для ( и„, = 0 ). По (8.23) 7, (- ) и тг (+ ' ) не могут лежать в ир (гр, Е).
Они не могУт также лежать на Лрг Следовательно, ьюжно взить Уг ( — ") Е Лрг и уг (+ ') Е 167 на 7,. Опать паРаметРизУем иг паРаметРом г так, что г менЯетсЯ в интеРвале гг < < г < Е. Можно повторять 7тот процесс шаг за шагом. Отметим, что на первой ступени точки 7( — ), 7(+ ) не могут совпадать и не могут лежать в одном и том же плоском интервале (иначе и„, ю 0). Аналогично на втором шаге точки уг (- ), 7, (+ ) не могут лежать на дуге им вдоль которой и„, = 0 и тд.
Вспоминая лемму 8.8, заключаем, что построение кривых и,, и„... должно окончиться при некотором 7'. Тем самым нет кривых уровня тт (как в лемме 8.9) в подобласти ЕРограииченной Лр, и, для которых 77 (- ~ ) Е д;, 7) (+ ~ ) Е иР Предположим для простоты, что и. = ир, но доказательство с несколько более сложными обозначениями верно для общего случая и; Ф др. Таким образом, мы предполагаем, что нет кривых уровня 7 как в лемме 8.9 таких, что 7(г) е еи 7( — ), 7(+ ) леж~гтв ир.
(8.23) Рассмотрим кривую 7, как в лемме 8.10, и положим 7(+ ) = ир(гр), гг < < ге < Е. Обозначим Лр, часть Лр от (О, 0) до (8, ~ (б)) и Лрг — дуга Лр~Лрг. Обозначим Р, область, ограниченную ир(ею ге) Лр, и 7, и Рг — область, ограниченную ир(г Е) Лрги7 Рассмотрим сначала случай, когда иг(г)>0, если гг < г< ге, с ио (ео, А) . пУсть а, опРеделена по фоРмУле ио (а, ) = 7, (+ ) . если иг (е) изменяет знак вдоль ио(то, а') (или вдоль и,(а', А)), то можно построить кривую уровня 7г для (и„= 0),лежащую в области, ограниченной 7,7, и до(зо, а') (или до (а Т ) ) и частью Лог. Для атой кривой 7ъ( )~Лог, 7г(+ ) — ио(а )Яро(зз а ) (или до(а') С до(а', А)). ОпЯть, если и~ (е) изменЯет знак вдоль одной из дУг До (е, а ), Ро (а', А) (или Ро(а', а'), до(а', А)), то можно постРоить кРивУю УРовнЯ 7з длл ( и = 0), которая начинается на Лог н кончается на соответствующей дуге„скажем в а~, и тд.
Так как никакие две концевые точки кривой 7. не могут лежать в одном и том же плоском интервале, то процесс построения кривых должен быть завершен. Следовательно, существует кривая уровня, скажем 7;. такая, что 7; (- ) е Е Л„и 71(+ «) = ио(а1),ео < а; <з °,и иг (з) =-Опало(а;г ° ) = О.Следовательно, и, (з) <Опало(а;,А) ни, (з) ~ Опало(ег, а,). Рассуждения, следующие за (8.24), показьвают, что ~о (х, ) монотонно возраста.
ет при 0 < х, < 6 и монотонно убьвает при 8 < х, < Ь, где 71 ( — ) = (8, ~ (6) ) . Это завершает доказательство в сггучае 1г = 1 н показывает, что (так как 8 = 8) кри. ваЯ УРовнЯ 7; должна совпаДать с 7, те. го = а. Рассмотрим теперь случай общего й. Пусть 81 (1 </ <гчг) — точки строгого ло- кального максимума дпя ог(х~). Построим кривью уровня 7~ для ( и„= О) (так же как в лемме 8.10), которые начинаются в (81, р(81)); каждая г' должна окан- чиватьса в некотоРой точке ио(а;) и 7' О 7' = аеслиу' Ф! (иначе и„ю 0).пУсть 'Ч = До(еь ~ аг) 7 = ио(ан, г.), обозначим 231 область, ограниченную 7;, 71+!, ио (а;, а) ь г ) и Ло;, где Ло1 — часть Ло о т 13; до 13; о, .
Вдоль каждой дуги ио (а;, а; „), 1 <) <Ф вЂ” 1, знак и, (т ) не может быть фик. сированным (иначе р будет монотонной в (8;, 331;, )). Также не может случиться, что знак меняется в точности один раз с положительного на отрицательный; зто бы означало, что у(хг) возрастает в некотором интервале (!31, 81 + Л) н убьвает в интервале (331 + г1, бг е г ) (согласно доказательству при й = 1; заметим, что и „= 0 на 71, 7 ). Следовательно, иг (з) меняет знак с отрицательного на положительный в каждом интервале (а;, ат ь, ) . Наконец, условие и г (з) < 0 не имеет места на всем интер.
вале (О, а,) (иначе р(хг) будет убывающей для 0 < х, < бг), аналогично, условие и, (з) > 0 не может быть выполненным на всем интервале (ал,г, Т,). Таким образом, число изменений знака с положительного на отрицательный для иг (е) вдоль и о равно, по крайней мере, я.
Доказательство закончено. Т е о р е м а 8.11. Теорема 8.5 астаетсл верной и без предположения (8.8) . До к а з а т ел ь с т в о теоремы предоставляем читателю (см. задачу 1). Рассмотрим случай, когда г( — прямоугоггьник: йо ( — а<хг <а, — Ь<хг<Ь). По следствию 8.? существует, самое большее, четыре петли пластичности: Рг = ( — а<хг <а, — Ь<хг < — Ь+чг(хг)), Р, = ( — 13 < хг < б, — а < х, < — а + $ (х, ) ), Рз — отражение Р, относительно хг оси; Ро — отражение Р, относительно хг оси.
(8.31) Обозначим 1 биссектрису дй в ( — а, — Ь), т,е. 1: хо=х, +а — Ь, р(х) — отражение точки х = (хэ, хз) относительно!„где хэ <хэ + а — Ь, а р — сопряженное р. Те о рема 8.12. Если Ь < а, го р' (Рэ) С Рэ. До к а з а т ел ь с т в о.
Пусть Р = ((х,,хэ); х, <х, +а — Ь, — а <х, < — а+2Ь ), Р, =РОЕ. Рассмотрим функцию эо(х) = и( рх) — и(х) в Р, . Так как — гэи(х)<и в р(Р,), — ээи(х)=и в Рэ, — д ~Он Р. Граница Р, состоит из пяти дуг уг. 7„лежащая на прямой 1; уэ,лежащая на прямой хэ = — Ь' 7э лежащая на дР,; уо, лежащая на дР4 и 7„лежащая на прямой х, = — а+ 2Ь.
На у, имеем ю(х) = и(р х) — и(х) = и(х) — и(х) = О. На 72 ° н (х) = и(рх) — и(х) = =и( — а,хэ) — и(хэ,— Ь) 0 — 0=0 (хэ +а=х, +Ь). На 7э '-~7л: эо(х) = и(рх) — гу(х) < О, Таккак и(х)=ту(х), гу(рх) <аэ(х). Наконец, на уэ. и (х) = и(рх) — и(х) = 0 — и (х) < О. Таким образом, эо(х) < 0 на границе.Р,. Применяя принцип максимума, получаем, что эо(х)<0 в .Р,. Отметим, что для каждой точки хо Е .Р, такой, что рх' ~ дР„имеем гу(рхо)=г)Ы(рко,у), 7 — прямая хэ = — Ь, откуда И(рхо) =ту(хо). Поскольку и (рко) = эГГрхо),то и (рхо) =пэ(хо).
Следовательно, эо(хо) = и(рхо) — и(хо) = гу(хо) — и(хо), Так как эо (х ) < О, то и (х ) ) эу(х ), что невозможно. Противоречие показывает, что нет точек х в Р,, для которых рх Е дРэ, тя. р'(дРэ) содержится в Р,. Это за- вершает доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Д вЂ” ТРеУзольник со стоРонами 7з,7з,7з, (8.32) и обозначим ! 7;! длину уг По следствию 8.7 множество пластичности состоит из трех петель Рь Ря связано с 7я (оно может быль пустым множеством). Обозначим 1 биссектрису угла 7,, 7з и пусть рх — отражение х относительно 1, когда х меняется в полуплоскости, содержащей 7з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
